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广东省深圳市2023届高三下学期数学4月高考冲刺卷一
一、单选题
1．（2023·深圳模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·深圳模拟）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·深圳模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
6．（2023·深圳模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左 右两支分别交于两点，，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2023·深圳模拟）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·深圳模拟）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·深圳模拟）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·深圳模拟）某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是（ ）
患肺气肿 不患肺气肿 合计
吸烟 15
不吸烟 120
合计 200
参考公式与临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．不吸烟患肺气肿的人数为5人
B．200人中患肺气肿的人数为10人
C．的观测值
D．按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”
11．（2023·深圳模拟）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称
D．函数的图象关于点对称
12．（2023·深圳模拟）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．为R上的增函数 B．无极值
C． D．
三、填空题
13．（2023·深圳模拟）若函数为奇函数，则 .
14．（2023·深圳模拟）展开式中的系数为 .
15．（2023·深圳模拟）已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为 .
16．（2023·深圳模拟）已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．（2023·深圳模拟）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）等比数列的前n项和为，其公比，，求证：.
18．（2023·深圳模拟）某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.
（1）一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；
（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次 第2次取到的都是五仁月饼的概率；
（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.
19．（2023·深圳模拟）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
（1）求A；
（2）若，且，求c的值.
20．（2023·深圳模拟）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线CA与平面所成角的正弦值.
21．（2023·深圳模拟）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.
22．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，复数满足，
可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】化简复数，结合复数的坐标表示，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】
.
故答案为：B.
【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.
5．【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为，，
所以，
又，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性计算即可.
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设，，即，
解得，，即，故．
，，，，，即．
故答案为：C
【分析】设，根据双曲线性质得到，计算得到，再根据得到答案.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图可知，，，
因为是的中点，所以，
所以，
即，
所以，
由条件可得，，，
因为P为AC边上的一个动点，
故当P为AC中点时，最小，此时，
当P为A或C时，最大，，
所以，
所以，又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】如图可知，，，再利用向量数量积公式可得，再根据即可得解.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，
所以函数为上的偶函数，
又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，
又因为对于互不相等的任意，都有，
且当时，，所以对任意，则，
故有，所以函数在上单调递增，
则有，，，因为函数在上单调递增，
则，即，
故答案为：B.
【分析】根据函数的三个条件得到函数为上的偶函数，周期为4，且函数在上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.
9．【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A符合题意；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B不符合题意；
C选项，，故恒成立，C符合题意；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
10．【答案】A,D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】A选项，200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1，故肺气肿患者共有人，由于吸烟患肺气肿的人数为15人，故不吸烟患肺气肿的人数为5人，A符合题意，B不符合题意；
C选项，列联表如下：
患肺气肿 不患肺气肿 合计
吸烟 15 60 75
不吸烟 5 120 125
合计 20 180 200
则的观测值，C不符合题意；
D选项，由于，故按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意求出肺气肿患者人数，结合表格中数据得到不吸烟患肺气肿的人数为5人，判断AB选项，补充列联表，计算出卡方，并判断出相应结论，得到C错误，D正确.
11．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由，
所以最小正周期为，A不符合题意；
当，则，故在上递增，B符合题意；
由，故是的一条对称轴，C符合题意；
由，故是的一个对称点，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.
12．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知函数（且），
则，则，
所以，故在R上单调递增，A选项正确；
因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；
因为是增函数，所以，
因为是减函数，所以，
因为是减函数，所以，
综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.
13．【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由函数为奇函数，可得，
即，解得，
当时，，此时函数为奇函数，符合题意；
当时，，
则，即，
此时函数为奇函数，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.
14．【答案】-3
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项为：，，
取和，计算得到系数为：.
故答案为：-3.
【分析】变换，根据二项式定理计算得到答案.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，
因为，所以，故椭圆焦点在y轴上，
因为，离心率为，
所以，解得，
所以，，
由椭圆性质知，，
故答案为：．
【分析】根据椭圆方程及其离心率可求得，再根据椭圆的性质可求的最大值．
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】由可知数列是等差数列，设其公差为，
解方程得或，又，
，，
.
由得，
，设，
则，
由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，
设，，
令解得，即在上单调递增，
令解得，即在上单调递减，
，，，
当，，
当，时，，即，，
当，，即，
即从，开始单调递减，
即，，即，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
17．【答案】（1）解：因为是等比数列，公比为，则，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，，
则等比数列的前项和为
因为，所以，所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可求出数列的通项公式为；
（2） 由（1）知，，， 利用等比数列的前n项和公式得，即可得到结论.
18．【答案】（1）解：一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁的有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为；
（2）解：依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次 第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次 第2次取到的都是五仁月饼的概率是；
（3）解：依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁 第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥 第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据组合知识，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；
（3）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；
19．【答案】（1）解：依题意，
因为，由正弦定理得：
，
由，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，所以.
（2）解：由（1）以及余弦定理变形式得：
即，
由，
解得或（舍去），
所以，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；
（2）结合余弦定理与条件即可求解.
20．【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）解：取线段的中点分别为，连接，
易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示；
由侧棱长为，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
即；
易得即为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，即；
即二面角的大小为.
（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，
设直线CA与平面所成的角为，
所以，
即直线CA与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；
（2） 取线段的中点分别为，连接， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的一个法向量为， 即为平面的一个法向量，利用空间向量的坐标运算即可得解；
（3） 由（2）可知，平面的一个法向量为， 利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.
21．【答案】（1）解：因为直线的斜率为1且过点，
所以直线的方程为：，
设，
由，得：，
所以，
所以，
因为为线段的中点，的纵坐标为2，
所以，
所以抛物线的方程为：.
（2）解：设直线的方程为：，，
，得：，
所以，
由
由，
所以，
即，
所以，
所以点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知直线的方程为： ，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；
（2） 设直线的方程为：，，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出，将韦达定理代入=0，化简求出参数即可得点的坐标为.
22．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
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广东省深圳市2023届高三下学期数学4月高考冲刺卷一
一、单选题
1．（2023·深圳模拟）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：C
【分析】由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果.
2．（2023·深圳模拟）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，复数满足，
可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】化简复数，结合复数的坐标表示，即可求解.
3．（2023·深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
4．（2023·深圳模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】
.
故答案为：B.
【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.
5．（2023·深圳模拟）某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（ ）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为，，
所以，
又，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性计算即可.
6．（2023·深圳模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的左 右两支分别交于两点，，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设，，即，
解得，，即，故．
，，，，，即．
故答案为：C
【分析】设，根据双曲线性质得到，计算得到，再根据得到答案.
7．（2023·深圳模拟）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图可知，，，
因为是的中点，所以，
所以，
即，
所以，
由条件可得，，，
因为P为AC边上的一个动点，
故当P为AC中点时，最小，此时，
当P为A或C时，最大，，
所以，
所以，又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】如图可知，，，再利用向量数量积公式可得，再根据即可得解.
8．（2023·深圳模拟）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，
所以函数为上的偶函数，
又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，
又因为对于互不相等的任意，都有，
且当时，，所以对任意，则，
故有，所以函数在上单调递增，
则有，，，因为函数在上单调递增，
则，即，
故答案为：B.
【分析】根据函数的三个条件得到函数为上的偶函数，周期为4，且函数在上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.
二、多选题
9．（2023·深圳模拟）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A符合题意；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B不符合题意；
C选项，，故恒成立，C符合题意；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
10．（2023·深圳模拟）某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是（ ）
患肺气肿 不患肺气肿 合计
吸烟 15
不吸烟 120
合计 200
参考公式与临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．不吸烟患肺气肿的人数为5人
B．200人中患肺气肿的人数为10人
C．的观测值
D．按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”
【答案】A,D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】A选项，200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1，故肺气肿患者共有人，由于吸烟患肺气肿的人数为15人，故不吸烟患肺气肿的人数为5人，A符合题意，B不符合题意；
C选项，列联表如下：
患肺气肿 不患肺气肿 合计
吸烟 15 60 75
不吸烟 5 120 125
合计 20 180 200
则的观测值，C不符合题意；
D选项，由于，故按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意求出肺气肿患者人数，结合表格中数据得到不吸烟患肺气肿的人数为5人，判断AB选项，补充列联表，计算出卡方，并判断出相应结论，得到C错误，D正确.
11．（2023·深圳模拟）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称
D．函数的图象关于点对称
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由，
所以最小正周期为，A不符合题意；
当，则，故在上递增，B符合题意；
由，故是的一条对称轴，C符合题意；
由，故是的一个对称点，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.
12．（2023·深圳模拟）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．为R上的增函数 B．无极值
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：已知函数（且），
则，则，
所以，故在R上单调递增，A选项正确；
因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；
因为是增函数，所以，
因为是减函数，所以，
因为是减函数，所以，
综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.
三、填空题
13．（2023·深圳模拟）若函数为奇函数，则 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由函数为奇函数，可得，
即，解得，
当时，，此时函数为奇函数，符合题意；
当时，，
则，即，
此时函数为奇函数，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.
14．（2023·深圳模拟）展开式中的系数为 .
【答案】-3
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的展开式的通项为：，，
取和，计算得到系数为：.
故答案为：-3.
【分析】变换，根据二项式定理计算得到答案.
15．（2023·深圳模拟）已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，
因为，所以，故椭圆焦点在y轴上，
因为，离心率为，
所以，解得，
所以，，
由椭圆性质知，，
故答案为：．
【分析】根据椭圆方程及其离心率可求得，再根据椭圆的性质可求的最大值．
16．（2023·深圳模拟）已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】由可知数列是等差数列，设其公差为，
解方程得或，又，
，，
.
由得，
，设，
则，
由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，
设，，
令解得，即在上单调递增，
令解得，即在上单调递减，
，，，
当，，
当，时，，即，，
当，，即，
即从，开始单调递减，
即，，即，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
四、解答题
17．（2023·深圳模拟）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）等比数列的前n项和为，其公比，，求证：.
【答案】（1）解：因为是等比数列，公比为，则，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，，
则等比数列的前项和为
因为，所以，所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可求出数列的通项公式为；
（2） 由（1）知，，， 利用等比数列的前n项和公式得，即可得到结论.
18．（2023·深圳模拟）某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.
（1）一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；
（2）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次 第2次取到的都是五仁月饼的概率；
（3）依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.
【答案】（1）解：一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁的有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为；
（2）解：依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次 第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次 第2次取到的都是五仁月饼的概率是；
（3）解：依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁 第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥 第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据组合知识，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；
（3）根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；
19．（2023·深圳模拟）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
（1）求A；
（2）若，且，求c的值.
【答案】（1）解：依题意，
因为，由正弦定理得：
，
由，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，所以.
（2）解：由（1）以及余弦定理变形式得：
即，
由，
解得或（舍去），
所以，.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；
（2）结合余弦定理与条件即可求解.
20．（2023·深圳模拟）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线CA与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：由为正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）解：取线段的中点分别为，连接，
易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示；
由侧棱长为，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
即；
易得即为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，即；
即二面角的大小为.
（3）解：由（2）可知，平面的一个法向量为，
设直线CA与平面所成的角为，
所以，
即直线CA与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；
（2） 取线段的中点分别为，连接， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的一个法向量为， 即为平面的一个法向量，利用空间向量的坐标运算即可得解；
（3） 由（2）可知，平面的一个法向量为， 利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.
21．（2023·深圳模拟）已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.
（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；
（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.
【答案】（1）解：因为直线的斜率为1且过点，
所以直线的方程为：，
设，
由，得：，
所以，
所以，
因为为线段的中点，的纵坐标为2，
所以，
所以抛物线的方程为：.
（2）解：设直线的方程为：，，
，得：，
所以，
由
由，
所以，
即，
所以，
所以点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题知直线的方程为： ，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；
（2） 设直线的方程为：，，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出，将韦达定理代入=0，化简求出参数即可得点的坐标为.
22．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
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