六安二中河西校区2022级高一第二学期
数学第四次统测试题
考试时间：120分钟；命题人：王承庆
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一 单选题
1. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2. 已知，则下列结论中成立的是（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，D，C三点共线 D. D，B，C三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解.
【详解】解：,
所以A，D，C三点共线.
故选:C.
3. 若，则使函数有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在解不等式即可得解.
【详解】要使函数有意义，则，，如下图所示：
，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦函数和余弦函数图象解不等式，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
4. 若点在函数的图像上，则
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值．
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．
【详解】∵ ， ，
，
则是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；
对 故可排除选项C．
故选：A．
6. 函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，
再利用特殊点求出值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，
即可求出的取值范围．
【详解】因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，
所以，则，所以，
又，，且，
所以，
故，
因为当时，不等式恒成立，
所以，
令，
因为，则，所以
所以的最小值为，
所以，即．
故选：．
7. 已知最大值为，若存在实数,使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：
=sin2015xcos+cos2015xsin+cos2015xcos+sin2015xsin
=sin2015x+cos2015x+cos2015x+sin2015x
=sin2015x+cos2015x
=2sin（2015x+），
∴f（x）的最大值为A=2；
由题意得，的最小值为，
∴的最小值为
考点：三角函数的最值
8. 点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
二 多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若与平行，与平行，则与平行
C. 若且则
D. 和的数量积就是在上的投影向量与的数量积
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A；当为零向量时，利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B；由移项变形，利用数量积的性质，进而判定C；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D.
【详解】，故A正确；
当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故B错误；
等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；
在上的投影向量为，，
所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故D正确.
故选：AD.
10. 下列命题中错误的有（ ）
A. 若平面内有四点，则必有；
B. 若为单位向量，且，则；
C. ；
D. 若与共线，又与共线，则与必共线；
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B；由数量积的运算判断选项C，由向量共线以及零向量的性质判断选项D．
【详解】对于A，，，正确；
对于B，为单位向量，且，则，错误；
对于C，，错误；
对于D，若，则与共线，与共线，而与不确定，错误；
故选：BCD
11. 下列四个关系式中错误的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，，利用两角和与差的正弦、余弦公式展开后可得相加减，实质就是和差化积公式．对D要注意目的要求．
【详解】由，，，，代入各选项，
得，A正确，B错误，右边应是；C错误，右边应是；D错误，由与两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即．
故选：BCD．
【点睛】本题考查各差化积公式，利用两角和与差的正弦余弦公式相加减后可得和差化积公式，注意和差化积公式是同名函数的和差才能化积．
12. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得，故A正确；
因为是的中点，所以，故B正确；
由题意知是的重心，
则，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
第II卷（非选择题）
三 填空题
13. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
15. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积及共线向量，列式求解作答.
【详解】因与是两个互相垂直的单位向量，则，，
又向量与的夹角为锐角，则，且向量与不共线，
由得：，解得，
当向量与共线时，，解得，因此向量与不共线，有且，
所以k的取值范围是且，即.
故答案为：
16. 关于函数，有下列命题：
（1）为偶函数；
（2）要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度；
（3）图象关于直线对称；
（4）在内的增区间为和．
其中正确命题的序号为__________．
【答案】（2）（3）
【解析】
【分析】化简函数的解析式判断函数的奇偶性判断（1）；利用函数的图象的平移，判断（2）；通过的值，代入函数的解析式，判断函数是否取得最值，判断（3）；利用函数的单调区间判断（4）．
【详解】（1）函数则不是偶函数，所以（1）不正确；
（2）将的图象向右平移个单位长度，
得到，
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位长度，所以（2）正确；
（3）当时，，
所以的图象关于直线对称，所以（3）正确；
（4）函数，
可得，，解得，，
在，内的增区间为，和，．
所以在，内的增区间为，和，，（4）不正确；
故答案为：（2）（3）．
【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查三角函数的奇偶性、单调性、对称性以及三角函数图象的变换规律，意在考查对基础知识的掌握与应用，是中档题．
四 解答题
17. 已知单位向量的夹角，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求向量的夹角.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，设 ，又不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出的值；
（2）根据题意，设向量的夹角为；由数量积的计算公式可得、以及，又由，即可求出结果．
【详解】（1）根据题意，向量 ，
若，设 ，
则有，
则有，解可得；
（2）根据题意，设向量的夹角为；
若，则 ，
所以，
所以，
又，则，
所以，
又，
所以，
又由，所以；
故向量的夹角为．
【点睛】本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
18. 设两个非零向量与不共线．
（1）若，，求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或.
【解析】
【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；
(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.
【小问1详解】
因为，，，
所以
所以，共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线；
【小问2详解】
因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即 .
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.
19. 如图所示，在中，与相交于点.
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；
（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案.
【小问1详解】
由，可得.
【小问2详解】
（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
20. 如图所示，一条直角走廊宽为
（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且，试求铁棒的长；
（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；
【答案】（1）.
（2）米
【解析】
【分析】（1）在图1中，过点作的垂线，垂直分别为，则，，在中，分别求解再相加，即可.
（2）由（1）可知，，令，，则，判断单调性，再求最小值，即可.
【小问1详解】
在图1中，过点作的垂线，垂直分别为，如图：
则，，
在中，，
由中，
则
即，
【小问2详解】
由（1）可知，
令，
则，
即，
当时，单调递增，单调递减，
则即时
若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为
21. 已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；
（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.
【详解】解：（1）
，
，
.
（2）当时，，可得，
由，不等式可化为
，有.
令，，则，
若不等式恒成立，则等价于，解得：.
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.
（1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；
（2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问题，利用二次函数的图象和性质转化求解.
22. 设函数=Asin（A>0，>0，<≤）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1）=2 sin（2x+）；（2）（，]
【解析】
【分析】（1）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在x处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得g（x），，由，即可求得函数g（x）的值域．
【详解】解：（1）由题意可得：f（x）max＝A＝2，，
于是，
故f（x）＝2sin（2x+φ），
由f（x）在处取得最大值2可得：（k∈Z），
又﹣π＜φ＜π，故，
因此f（x）的解析式为．
（2）由（1）可得：，
故
，，
令t＝cos2x，可知0≤t≤1且，
即，
从而，
因此，函数g（x）的值域为．
【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．六安二中河西校区2022级高一第二学期
数学第四次统测试题
考试时间：120分钟；命题人：王承庆
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一 单选题
1. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则下列结论中成立的是（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，D，C三点共线 D. D，B，C三点共线
3. 若，则使函数有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若点在函数图像上，则
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的最大值为，若存在实数,使得对任意实数总有成立，则的最小值为
A. B. C. D.
8. 点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A. B. 3 C. D.
二 多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若与平行，与平行，则与平行
C 若且则
D. 和的数量积就是在上的投影向量与的数量积
10. 下列命题中错误的有（ ）
A. 若平面内有四点，则必有；
B. 若单位向量，且，则；
C. ；
D. 若与共线，又与共线，则与必共线；
11. 下列四个关系式中错误的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三 填空题
13. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
14. 已知向量，，，_______．
15. 已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
16. 关于函数，有下列命题：
（1）为偶函数；
（2）要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度；
（3）图象关于直线对称；
（4）在内的增区间为和．
其中正确命题的序号为__________．
四 解答题
17. 已知单位向量的夹角，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求向量的夹角.
18. 设两个非零向量与不共线．
（1）若，，求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
19. 如图所示，在中，与相交于点.
（1）用和分别表示和；
（2）若，求实数和的值.
20. 如图所示，一条直角走廊宽为
（1）若位于水平地面上一根铁棒在此直角走廊内，且，试求铁棒的长；
（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；
21. 已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22. 设函数=Asin（A>0，>0，<≤）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数 的值域．
