2022-2023学年度太和中学高二下学期数学期中复习试卷
一、单选题
1. 在等比数列中，，公比，则与等比中项是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.
【详解】解：因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
2. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．
【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，
则切线，
，，
故选：D．
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可得，进而可求解.
【详解】由得，所以，
故选：A
4. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（ ）
A. 6 B. 15 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式系数之和为64求出，从而求出展开式的通项公式，求出第5项.
【详解】由题意得：，解得：，
则展开式的通项公式为，
第五项是
故选：D
5. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为480
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为300
D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126
【答案】D
【解析】
【分析】根据乘法原理，结合排列和组合的定义逐一判断即可.
【详解】每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项A错误，
每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：
，即选项C错误，
每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，
则不同安排方案的种数是，即选项D正确，
故选：D．
6. 第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行．根据世界杯足球赛的比赛规则，第一阶段是小组赛，每个小组有四支球队，每两队之间比赛一场，每场比赛的双方，若可以分出胜负，则胜方积3分，负方积0分，若平局，则双方各积1分．已知某小组在小组赛结束后，四支球队的积分之和为16分，则该小组比赛的不同结果有（ ）．
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
【答案】D
【解析】
【分析】先分析得出一组比赛得分总和情况，再分析得16分的情况可知有4场比赛可分出胜负能满足，而每场比赛包含2种胜负情况，从而得出结果.
【详解】由题可知，第一阶段该小组共进行场比赛，每场比赛两队的积分之和为3+0=3分或1+1=2分两种情况，
因为小组赛结束后，该小组四支球队的积分之和为16分，
所以该小组的6场比赛中，有2场是平局，其余4场可分出胜负，
所以共有种不同的结果．
故选：D．
7. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ）
A. B. C. 2023 D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故选：A.
8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，所以，，
又因为，所以，函数在上只有一个零点；
因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，
则当时，，则，
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，只需，解得.
故选：C.
二、多选题
9. 某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（ ）
A. 若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种
B. 若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种
C. 若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种
D. 若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用排列、组合，结合分步乘法计数原理逐项列式求解作答.
【详解】对于A，周一必须安排两位老师，从5位老师中取两位周一值班，余下3位全排列，不同的安排方法有种，A正确；
对于B，甲、乙均值班且在同一天，与余下3位一起的4个元素全排列，不同的安排方法共有种，B错误；
对于C，五位老师都值班一天，则有两位老师在同一天值班，不同的安排方法有种，C正确；
对于D，显然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外还有两位老师各值班一天，
甲必须在乙之前值班的不同安排方法有种，D错误.
故选：AC
10. 已知，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
【详解】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
11. 设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】将选项中的a、b值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可.
【详解】当，时，，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故正确.
当，时，，即.因为，所以，
则，故错误.
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为2的周期数列，则，故错误.
当，时，，则，即.
因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，故正确.
故选：AD
12. 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，可用特殊值法，令，可知不等式不成立；选项B，将中的替换为，用赋值法可得，然后根据同向不等式相加可判断B选项的正误；选项C，将中的替换为，可得，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D，将中的替换为，可得，然后再根据同向不等式相加可判断D的正误，另外，也可用特殊值法即由即可说明选项D的正误．
【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故，当且仅当时等号成立，
A选项：时不等式左右两端相等，故错误；
B选项：将中的替换为，可得，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中，
所以，B正确；
C选项：将中的替换为，显然，
则，
故，
当时，，故成立；
当时，显然成立，
故正确；
选项：将中的替换为，其中，且，则，
则，故，
则，又，D错误.
故选：BC．
三、填空题
13. 的展开式中，的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为，
所以的系数为，
故答案为：
14. 受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．
【答案】8
【解析】
【分析】根据相邻问题捆绑法，特殊位置（元素）法求解即可.
【详解】解：先将乙、丙班排序，并绑在一起，看成一个元素，有种方案，
此时考虑将甲，丁及乙、丙的整体3个元素排序，
由于甲班不能排在最后，故将甲班选取1个位置安排，有种方案，
最后，再将丁及乙、丙的整体安排在剩下的两个位置上，有种方案，
所以，根据乘法原理，共有种方案.
故答案为：
15. 德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为______．（，）
【答案】
【解析】
【分析】依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，即可得到保留下来的所有小正方形面积之和，从而得到不等式，再两边取对数，根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以保留下来的所有小正方形面积之和为，若使得，两边取对数可得，即，
所以至少操作次；
故答案为：
16. 已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设零点为，将方程看作点在直线上，而的最小值代表含义即是直线到点的距离，根据点到直线距离公式列式求解即可.
【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上．
因为零点存在，则，即，
令，，
令，，当时，,单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，的最小值为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
某函数出现零点与双参数问题时，常见思路为将零点当作常数，则零点所对应方程就成为关于双参数的直线方程，将所求问题转换为该直线与某点的位置关系问题进行求解.（注意：虽然零点在找直线方程时当作常数看待，但得到问题所需解析式后，零点取值范围将影响解析式取值范围，这也就是零点范围的作用.）
四、解答题
17. 已知为等差数列的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，的前n项和为，证明：．
【答案】（1）；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为关系，即可求解；
（2）根据通项公式，用裂项相消法求出和，即可证明结论.
【小问1详解】
由设数列的公差为，则
解得，，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以；
【小问2详解】
由，可得，
所以
,
又，故.
18. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可；
(2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，，，
所以切点为，
，则，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
，，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若， 则在上恒成立，
所以上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，.
19. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列 若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，满足的组合有和两种情况，进而选择一种，求解即可；
（2）结合（1）中组合，求得，再根据等比中项求解方程即可.
【小问1详解】
解：由题意可知，有两种组合满足条件.
①，此时等差数列中，，公差d=4，
所以数列的通项公式为 .
②，此时等差数列中，，公差d=2，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：若选择①，，
则 .
若成等比数列，则，
即，整理得，即
此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.
若选择②，，
则.
若成等比数列，则，
即，整理得，
因为k为正整数，所以 .
故存在正整数 ，使得成等比数列.
20. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，且极小值大于，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，；（2）．
【解析】
【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，当时，不满足条件，当时，利用导数求得函数的极小值，根据，得到，当时，的极小值，根据求得，即可求解．
【详解】（1）当时，，则，
令，解得或，
当或时，，故的单调增区间为，，
当时，，故的单调增区间为，
所以的单调增区间为，单调减区间为，．
（2）由函数，
可得，
当时，，解得，不满足条件，
当时，，解得或，
因为函数有两个极值点，故，
当时，，函数在时取到极小值
，
由题意，解得，即，故；
当时，，在时取到极小值，
由题意，解得，故．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】解答有关函数的极值问题的方法与策略：
1、求得函数的导数，不要忘记定义域，求得方程的根；
2、判定的根的左右两侧的符号，确定函数的极值点或函数的极值；
3、注意的根不是函数极值点的充要条件，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
21. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，且，记数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令得到数列的公比为2，从而得到，即为等差数列，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）由得到，进而得,从而得到，再分组求和即可.
【小问1详解】
因为，令得，
又数列为等比数列，所以，
则，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）知数列数列是公比为2的等比数列，
由得，所以，则，
所以，
数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列；偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，
.
22. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值为2
【解析】
【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案；
（2）将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案.
【小问1详解】
若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则二次函数图象对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，
综上，.
【小问2详解】
因为恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
当时，因，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，,
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，,
即关于的不等式恒成立，
所以整数的最小值为2.
【点睛】方法点睛：解答关于的不等式恒成立问题，需将问题转化求函数最值，因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决.2022-2023学年度太和中学高二下学期数学期中复习试卷
一、单选题
1. 在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
2. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（ ）
A. 6 B. 15 C. D.
5. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为480
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排不同方法数为300
D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126
6. 第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行．根据世界杯足球赛的比赛规则，第一阶段是小组赛，每个小组有四支球队，每两队之间比赛一场，每场比赛的双方，若可以分出胜负，则胜方积3分，负方积0分，若平局，则双方各积1分．已知某小组在小组赛结束后，四支球队的积分之和为16分，则该小组比赛的不同结果有（ ）．
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
7. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ）
A. B. C. 2023 D.
8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（ ）
A. 若周一必须安排两位老师，则不同安排方法共有60种
B. 若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种
C. 若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种
D. 若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种
10. 已知，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C D.
11. 设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12. 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A.
B
C.
D.
三、填空题
13. 的展开式中，的系数为__________．
14. 受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．
15. 德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为______．（，）
16. 已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
四、解答题
17. 已知为等差数列的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，的前n项和为，证明：．
18. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值．
19. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列 若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.
20. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，且极小值大于，求实数的取值范围．
21. 已知数列满足，数列为等比数列，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，且，记数列满足，求数列的前项和.
22. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
