陕西省西北农林科大附高2022-2023学年高二下学期期中考试理科数学试题（含答案）

西北农林科大附高2022-2023学年高二下学期期中考试
理科数学
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填写在答题卡相对应的位置.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是（ ）
A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D. 非以上答案
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数，则（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
4. 设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若，则或；类比向量，，若，则或
②实数a，b，有；类比向量，，有
③向量，有；类比复数z，有
④实数a，b，有，则；类比复数，，有，则
其中类比结论正确的命题个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 用数学归纳法证明时，由k到，不等式左边的变化是（ ）
A. 增加一项
B. 增加和两项
C. 增加和两项，同时减少一项
D. 以上结论都不对
8. 定义运算：，例如，则下列等式不能成立的是（ ）
A. B.
C. D. （其中）
9. 曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A. 1 B. C. D.
10. 设，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B. 为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点
12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. ______.
14. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______.
15. 在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式.如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质.那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出的性质.
16. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离是______.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知复数在复平面内表示的点为A.
（1）实数m取什么值时，z为实数？
（2）实数m取什么值时，z为纯虚数？
（3）实数m取什么值时，A位于第三象限？
18.（本小题满分12分）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线，试求a、b、c的值.
19.（本小题满分12分）设，分别求，，，归纳猜想一般性结论，并证明.
20.（本小题满分12分）用分析法证明：若，则.
21.（本小题满分12分）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
22.（本小题满分12分）设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围.
西北农林科大附高2022-2023学年高二下学期期中考试
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. C 2. D 3. A 4. B 5. A 6. B 7. C 8. C 9. D 10. B 11. D 12. B
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 5 14. 15. （合理即可） 16.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）当，即或时，z为实数；
（2）当，，即时，z为纯虚数;
（3）当，即，即时，A位于第三象限.
18.（本小题满分12分）
解：∵点在曲线上，
∴，∴，
函数和的导数分别为和，且在点P处有公切线，
∴，得，
又由点在曲线上可得，得.
综上，，，.
19.（本小题满分12分）
解：，
同理可得，，
并注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当时，均有.
证明：设，
∵
.
20.（本小题满分12分）
证明：要证，只需证.
∵，∴两边均大于零，因此只需证，
只需证，
只需证，只需证，
即证，它显然成立，∴原不等式成立.
21.（本小题满分12分）
解：易知的定义域为.
（1）
.
当时，；
当时，；
当时，，
从而在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由（1）知在区间上的最小值为.
又因为
，
所以在区间上的最大值为.
22. （本小题满分12分）
解：（1）当时，，
，
令，得或；令，得，
∴的单调递增区间为，.
的单调递减区间为；
（2），
令，，，
当时，，在上为增函数，而，从而当时，，即恒成立，
若当时，令，得，当时，，在上是减函数，而，从而当时，，即，
综上得a的取值范围为.