江苏省宿迁市宿迁学院附属中学八年级数学（苏科版）上册教案：用一次函数解决问题（1）

课题
6.4　用一次函数解决问题（1）
课型
新授
上课时间
同备人
张毅 徐寿松 孙委 李秀英
主备人
程刚
备课时间
教学目标
1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式；
2．能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数，从而解决实际问题；
3．通过具体问题的分析，发展解决问题的能力，增强应用意识．
教学重点
根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式．
教学难点
如何将实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，并解决实际问题．
教学过程（教师）
学生活动
二次备课
问题的引入
在前几节课里，我们分别学习了一次函数、一次函数的图像、一次函数图像的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图像的应用．
名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城北15km，由12座山峰组成，主峰海拔5596m．海拔4500m处一条黑白分明的雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因，雪线平均每年约上升10m，假如按此速度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将由现在的4500m退至山顶而消失？

问题1　某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．
（1）写出每天的生产成本（包括固定成本和原料成本）与产量之间的函数表达式 ；
（2）如果每件产品的出厂价为1200元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利？
学生读题，找清数量关系，即该产品每天的生产成本由两部分构成，一部分是固定成本，这是一个与产量无关的常量；另一部分是原料成本，它随产量的变化而变化．
解：每天的销售收入y2（元）与产量x（件）之间的函数表达式是：
y2＝1200x．
当销售收入y2大于生产成本y1时，工厂有赢利，即
1200 x＞ 900x＋12000．
解得　x ＞40．

交流
在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第1年的月工资为2000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加 300元．
（1）某人在该公司连续工作n年，写出他第n 年的月工资 y与n的函数表达式．
（2）他第5 年的年收入能否超过40000元？

练习
某市出租车收费标准：不超过3千米计费为 7.0元，
3千米后按2.4元/千米计费．
（1）当路程表显7km时，应付费多少元？
（2）写出车费 y（元）与路程x（千米）之间的函数表达式；
（3）小亮乘出租车出行，付费19元，计算小亮乘车的路程．
在这里需要说明的是：在现实生活中，两个变量之间的数量关系并不完全遵循同一个标准，在这样的情况下，往往根据自变量不同的取值范围，分别列出不同的函数表达式．
（1）7.0＋（7－3）×2.4＝16.6．
（2）写出车费y（元）与路程x（km）之间的关系式．
解：第一种情况，当x不超过3km时，y＝7.0，第二种情况，当x超过3km时，y＝7.0＋（x－3）×2.4．
（3）因为小亮的付费19＞7.0元，因此小亮乘车的路程超过了3km．
所以小亮的付费方式应该属于第二种情况，所以19＝7.0＋（x－3）2.4，
解得x＝8．所以，小亮乘车的路程等于8km．

总结
通过探讨研究，你有哪些收获，你认为还有哪些困惑？
本节课我们从生活中的问题出发，将实际问题转化为数学问题，建立了一次函数的模型，从而解决实际问题．
学生尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．

课后作业
P156练习1、2．
教学后记：
宿迁学院附属学校八年级数学第16次集体备课教案
课题
6.4　用一次函数解决问题（2）
课型
新授
上课时间
同备人
张毅 徐寿松 孙委 李秀英
主备人
程刚
备课时间
教学目标
1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式．
2．能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题．
3．在应用一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性．
4．通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法——从一次函数图像中读信息，发展解决问题的能力，增强应用意识．
教学重点
能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题．
教学难点
能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题，体会分类．
教学过程（教师）
学生活动
二次备课
问题2　
甲、乙两家公司的月出租汽车收取的月租费分别是y1（元）和y2（元），它们都是用车里程x（千米）的函数，图像如图所示，
（1）每月用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等？
（2）每月用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少？
（3）每月用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少？
观察图像，可知x＝2000时，两个图像相交于一点，即此时两个函数的自变量相同，函数值也相同，所以，每月用车里程为2000km时，两家公司的租车费相同．当x＜2000时，y1＜y2，所以每月用车里程小于2000km，甲公司的租车费较少．当x＞2000时，y1＞y2，所以，每月用车里程大于2000km时，乙公司的租车费较少．
引导学生先求函数表达式，再求交点，画图像，看图说话．

交流
某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地， 有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：
运输
方式
速度
/（千米/时）
途中综合费用
/ （元/时）
装卸费用
/ 元
汽车
60
270
200
火车
100
240
410
（1）请分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数表达式．
（2）你认为用哪种运输方式好？
独立思考：怎样从表格中提取信息？
分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数表达式，
y1＝200＋4.5x，
y2＝410＋2.4x．
根据函数表达式求出函数图像的交点坐标．
讨论：（1）x为何值，y1＝y2．
（2）x为何值，y1＞y2．
（3）x为何值，y1＜y2．
合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动．

问题3
根据图中的函数图像，说出x、y变化过程的实际意义．
分析：x、y的变化过程可以分为三个部分．
（1）当x从0增大到8时，y从0增大到2；
（2）当x从8增大到14时，y的值不变；
（3）当x从14增大到24时，y的值从2减少到0．
解：设 x表示时间（分钟）、y表示路程（千米），则图的实际意义可以是：小明以250米/分钟的速度匀速骑自行车8分钟到达某地；在该地休息了6分钟；然后以200米/分钟的速度匀速骑自行车10分钟返回出发地．
仿照上面过程，试根据图像说出x、y变化过程的另一种实际意义．

练习
1．某公司要租用一辆汽车，甲汽车出租公司按每100 km150元收取租车费；乙汽车出租公司按每100 km50元收取租车费，另加每月管理费800元．试判断租用哪家公司的汽车费用较少？
2．A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为90元/人，但优惠办法不同．A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：每人均按票价优惠．你将选择哪家旅行社？
先确定函数表达式；再求交点；画图像，看图说话．
学生充分思考，小组交流、讨论，教师适时指点．

总结
通过这节课你学到了什么？有什么收获？还有什么疑问？
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．

课后作业
P159第3、5题．
教学后记：
宿迁学院附属学校八年级数学第16次集体备课教案
课题
6.5　一次函数与二元一次方程
课型
新授
上课时间
同备人
张毅 徐寿松孙委 李秀英
主备人
程刚
备课时间
教学目标
1．知道一次函数与二元一次方程的关系．
2．会用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解．
3. 在探究一次函数与二元一次方程(组)的关系的过程中，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内在联系，进一步体会数形结合的数学思想．
教学重点
1. 知道一次函数与二元一次方程的关系，掌握二元一次方程组的图像解法；
2. 感受一次函数在数学内部的应用，探索函数与方程之间的关系，进一步体会数形结合的数学思想．
教学难点
用函数的观点探究问题，画函数图像.
教学过程（教师）
学生活动
二次备课
一、温故知新
1．请写出几个二元一次方程和一次函数．
2．请把其中的一次函数转化为二元一次方程kx－y＋b＝0的形式．
3．请把其中的二元一次方程转化为一次函数y＝kx＋b的形式．
1．尝试复习二元一次方程和一次函数．
2．会将二元一次方程和一次函数进行转化．
3. 初步感受二元一次方程和一次函数的关系（都是只含有两个字母的式子）．

二、探索归纳
活动一：
1．请把二元一次方程2x－y－3＝0转化为一次函数 y＝ ，并画出其图像.
2．在（1）中所得的图像上任取一点，它的坐标是方
程y＝2x－3的解吗？其他的点呢？为什么？
3．二元一次方程2x－y－3＝0的解有多少个？请写
出其中的几个．
4．在(1)中的直角坐标系中描出这些以方程2x－y－3＝0的解为坐标的点，你有什么发现？其他的解呢？为什么？
归纳：一般地，一次函数y＝kx＋b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的一个解；以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上．
活动二：
1．在同一平面直角坐标系中画出y＝2x－3和y＝x－的图像.
2．解方程组
3．二元一次方程组的解与一次函数
y＝2x－3和y＝x－的图像有怎样的关系？
归纳：一般地，如果两个一次函数的图像有一个交
点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．
1. 理解一次函数图像上点的坐标就是其相应的二元一次方程的解.
2．理解以二元一次方程的解为坐标的点都在其相应的一次函数的图像上.
3．理解以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（也是一条直线）．
4．学生讨论得出二元一次方程组的图像解法和一般步骤并能规范的应用．

三、例题讲解
例　利用一次函数的图像解二元一次方程组
用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．
解题的一般步骤是什么？
变函数——画图像——找交点——写结论．
1．学生掌握二元一次方程组的图像解法和一般步骤并能规范的应用．
2．学生通过用画函数图像的方法得出二元一次方程组的解，进一步体会数形结合的数学思想．

四、巩固练习
1.把下列二元一次方程写成一次函数的形式．
（1）3x＋y＝7；
（2）3x＋4y＝13．
2．若方程x－y＝1有一个解为则一次函数
y＝x－1的图像上必有点 .
3．若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是（3，2）.则方程2x－y＝4必有一个解为 .
4．若二元一次方程组的解为，则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图像的交点坐标为 .
5．如图，一次函数y＝2x＋3和y＝x－的图像交于点A(－3，－3)，则方程组的解是 .
6．用图像法解下列二元一次方程组．
（1） 
（2）
1．应用二元一次方程和一次函数的关系解决问题．
2．学生在经历了实践和探索后，交流得出结论：如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．

五、课堂总结
通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．

课后作业
必做：P162习题6.5第1（2）、3题．
选做：思考．
如果二元一次方程组转化成的一次函数的图像没有交点，那么二元一次方程组的解是什么呢？《几何画板》演示．


教学后记：
宿迁学院附属学校八年级数学第16次集体备课稿
课题
6.6　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
课型
新授
教学时间
同备人
张毅 徐寿松 孙委 李秀英
主备人
程刚
上课时间
教学目标
1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.
2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
3．通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
教学重点
通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．
教学难点
了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
教学过程（教师）
学生活动
二次备课
一、热身训练
填空：
（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；
（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；
（3）不等式2x＋4＜0的解集为________.
复习一元一次方程和一元一次不等式的解法．

二、探索归纳
1．一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（ ， ），点（ ， ）的直线．
2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．
归纳总结：
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.
已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值．
当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．
初步感受一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．函数刻画现实世界数量之间变化的关系，方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系．

三、例题讲解
例　一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．
你还能用什么方法解决这个问题？
尝试用不同的方法解决问题．
函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决．

四、巩固练习
1．x取什么值时，函数y＝－2(x＋1)＋4的值是正数？负数？非负数？
2．声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）与气温x（℃）之间的函数表达式为y＝x＋331．求：
（1）音速为340 m/s时的气温；
（2）音速超过340 m/s时的气温范围.
变式训练：
3．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝6的解和不等式2x＋4＞6、2x＋4＜6的解．
尝试：
一辆汽车行驶了35 km后，驶入高速公路，并以105 km/h的速度匀速行驶了x h.试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．
学生自己先做，两人板演.
变式训练与前面的探索活动相呼应，培养学生的逻辑思维能力，进一步渗透数形结合的数学思想.
由学生自己先做 (或互相讨论)，然后回答.

五、课堂小结
这节课你有什么收获？
函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化过程的重要模型，三者之间相互联系. 尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验.
六、布置作业
必做：P165习题6.6第2、3题．
选做：P166习题6.6第4题.
已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x＋8＞0？

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？
（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴所围成的三角形的面积？
过去学习方程和不等式时，是直接面对这些概念，没有把它们与其他概念更多的联系起来.现在是在学习新概念（函数）后回头审视老概念，看问题的角度和高度都发生了变化，认识应更深刻，即应能将老概念纳入扩大后的新知识体系中，这样才能体现学习中的进步.

教学后记：