北师大版八年级数学下册 第二章一元一次不等式（组）考点汇编 学案(含答案）

第二章 一元一次不等式（组）
考点汇编
直击考点
典例分析
考点1不等式的基本性质
一元一次不等式的概念：不等式左右两边都是整式，只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 .
不等式的基本性质
①不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，若，则；
②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；若,,则
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；若,,则
例1 下列说法中正确的有( ).
①若a>b,则ac >bc ;②若ac >bc ,则a>b;③若ab>c,则a>④若a-b>a,则b>0;⑤若ab>0,则a>0且b>0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
方法总结
１．不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，利用不等式的基本性质对不等式进行变形时，要注意基本性质２和基本性质３的区别．
２．应用不等式的基本性质应注意的事项：
（１）一变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（２）两不变：①不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；②不等号的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
变式训练
习题课上,老师在黑板上出了一道有关7a与6a大小比较的问题,李文不假思索地回答:“7a>6a.”张志华反驳道:“不对!应该是7a<6a.”赵芳说:“你们两人回答的都不准确,把你们两人的答案合在一起就对了.”你认为他们三人的观点.谁的正确 谈谈你的看法.
考点2一元一次不等式（组）的解法
解一元一次不等式的一般步骤:
①去分母；② 去括号；③移项；④合并同类项；⑤ 系数化为1.
在数轴上表示不等式的解集时要注意空心圆圈 和实心圆点所代表的不同意义.
不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做不等式的解集.准确写出不等式解集的有效方法:①利用数轴，从图中读出公共部分 ；②口诀法：同大取较大，同小取较小；大于小的小于大的取中间；大于大的，小于小的就是空的（即无解）.
例2 解不等式 -１≤ ,并把解集在数轴上表示出来．
方法总结
一元一次不等式的解法步骤一般是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为１．应特别注意去分母、系数化为１时,如果两边都乘或除以一个负数,不等号一定要改变方向．另外,用数轴表示不等式的解集时,一定要注意包含界点需用实心的圆点表示,不包含界点需用空心的圆圈表示．
变式训练
把不等式组, 的解集表示在数轴上,正确的是(　 　)
考点3求不等式(组)中待定字母的值或范围
例3已知关于x 的不等式组 仅有三个整数解,则a 的取值范围是___________．
方法总结
已知一个不等式（组）求其中待定字母的取值或范围时，需先求出不等式（组）的解集，再根据解集和特殊解的情况求待定字母的值或范围．
变式训练
若不等式无解，则m的取值范围________.
考点4不等式(组)在实际问题中的应用
例4 某中学为提升学生的课外阅读能力,拓展学生的知识面,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和不超过1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本．
(１)符合题意的组建方案有几种 请你帮学校设计出来．
(２)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(１)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元．
方法总结
利用一元一次不等式（组）解决实际问题，实际上是根据实际问题建立一元一次不等式（组）的模型，通过解一元一次不等式（组）达到解决实际问题的目的．在建立一元一次不等式（组）模型时，关键是找到题目中的不等关系，同时要注意题目中的关键性词语，如“至少”“不超过”“最多”等．
变式训练
某学校组织340名师生进行长途考察活动,带有行李170件,计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆.经了解,甲车每辆最多能载40人和16件行李,乙车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案;
(2)如果甲车的租金为每辆2000元,乙车的租金为每辆1800元,问哪种租车方案使租车费用最省.
考点5不等式(组)与方程、函数的综合应用
例5已知函数y ＝-x＋a 的图象与x 轴的交点是点(-3,０)关于y 轴的对称点,点(-１,-１)向右平移２个单位长度后在函数y ＝３x-b 的图象上．试确定当x 取何值时,满足下列各式:
(１)y１＜y２;　(２)y１＝y２;　(３)y１＞y２．
方法总结
不等式（组）、方程、函数都是重要的数学模型，三者是相互联系、相互渗透的，经常综合起来一起考查，题型大致分为以下三类：（１）利用方程（组）的解的特征列不等式（组），求字母系数的取值范围；（２）利用不等式（组）的解集列方程（组），求字母系数的值；（３）利用一次函数的图象，求不等式（组）的解集或求方程（组）的解．
变式训练
如图,过点(0,-2)的直线l :y =kx+b(k≠0)与直线l :y =x+1交于点P(2,m).
(1)写出使得y (2)求点P的坐标和直线l的解析式.
参考答案
例1 A
变式训练
解:三人的观点均不正确.正确观点:
(1)当a>0时，根据不等式的基本性质2可得7a>6a;
(2)当a<0时，根据不等式的基本性质3可得7a<6a;
(3)当a=0时，则有7a= 6a.
例2 解:不等式两边都乘６,得３x-６≤１４-２x．
移项、合并同类项,得５x≤２０．
两边都除以５,得x≤４．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
变式训练B
例3 解析:由４x＋２＞３(x＋a),解得x＞３a-２,
由２x＞３(x-２)＋５,解得x＜１,
所以３a-２＜x＜１．
由关于x 的不等式组仅有三个整数解,得-３≤３a-２＜-２,
解得-≤a＜０．
答案:-≤a＜０
变式训练m＜
例4 解:(１)设组建中型图书角x 个,则组建小型图书角(30-x)个．
由题意,得,
解得18≤x≤20．
因为x 只能取整数,所以x 的取值可以是18,19,20．
当x＝18时,30-x＝12;
当x＝19时,30-x＝11;
当x＝20时,30-x＝10．
故有三种组建方案:
方案一:组建中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二:组建中型图书角19个,小型图书角11个;
方案三:组建中型图书角20个,小型图书角10个．
(２)方案一的费用是860×18＋570×12＝22320(元);
方案二的费用是860×19＋570×11＝22610(元);
方案三的费用是860×20＋570×10＝22900(元)．
故方案一的费用最低,最低费用是22320元．
变式训练
解:(1)设租甲车x辆，则租乙车(10-x)辆.根据题意,得.
，
解得4≤x≤7.5,因车辆数为正整数,故x=4,5,6,7.所以租车方案共有4种:甲车4辆,乙车6辆;甲车5辆,乙车5辆;甲车6辆,乙车4辆;甲车7辆,乙车3 辆.
(2)设租车费用为y,则y=2 000x+1 800( 10-x)= 200x+18 000.
因为200>0,所以y随x的增大而增大.
所以当x=4时,y的值最小，所以租甲车4辆,乙车6辆租车费用最省.
例5 解:由题意可知,y１＝-x＋a 的图象与x 轴的交点为点(３,０),所以０＝-3＋a,即a＝3．
所以y１＝-x＋3．
因为点(-１,-１)向右平移２个单位长度后为点(１,-１),
将(１,-１)代入y２＝３x-b,得-１＝３×１-b,
解得b＝４,所以y２＝３x-４．
(１)若y１＜y２,则-x＋３＜３x-４,所以x＞．
(２)若y１＝y２,则-x＋３＝３x-４,所以x＝．
(３)若y１＞y２,则-x＋３＞３x-４,所以x＜.
所以当x＞时,y ＜y２;当x＝时,y１＝y２;当x＜时,y１＞y２．
变式训练
解:(1)根据图象分析,得y (2)由图象可知点P的横坐标为2，点P在直线l 上，
把x=2代人y =x+1,得y =3，
点P的坐标为(2,3).
把点P(2,3), (0,-2)代入y =kx+b,得
，
解得，
直线l 的解析式为y =x-2.