福建省莆田市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（B卷）试题（含解析）

莆田市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题B
本试卷共4页全卷满分150分考试用时120分钟
一 单选题（本大题共8小题，共40分）
1.甲 乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ ）
A. B.
C. D.
2.在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知某运动员每次射击击中目标的概率为.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A.0.8 B.0.75 C.0.7 D.0.65
4.某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为（ ）
A.0.7 B.0.91 C.0.973 D.0.981
5.已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线（垂足为）交另一条渐近线于点，则线段的长度为（ ）
A.1 B. C.2 D.
6.设分别为椭圆的左 右焦点，点在上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单 方向性强 工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点到顶点的距离与口径的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角满足，则其焦径比为（ ）
A. B. C. D.
8.在编号分别为的名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以所得的余数如果恰好为，则选编号为的同学.下列哪种情况是不公平的挑选方法（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，共20分，每道题全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.设是两个随机事件，则下列说法正确的有（ ）
A.表示两个事件至少有一个发生
B.表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D.表示两个事件均不发生
10.某班级体温检测员对一周内甲 乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A.乙同学体温的极差为
B.乙同学体温的众数为，中位数与平均数相等
C.甲同学的体温比乙同学的体温稳定
D.甲同学体温的第70百分位数为
11.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的有（ ）
A.与互斥但不对立 B.与对立
C.与相互独立 D.与相互独立
12.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ）
A.直线的斜率
B.若，则
C.若，则
D.存在使得平分
三 填空题（本大题共4小题，共20分）
13.从5张分别写有的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为__________.
14.袋子中有6个大小质地相同的球，其中3个红球，3个黄球，从中不放回随机取出3个球，则概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是__________.
15.在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________，的最小值为__________.
16.若已知30个数的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除这10个数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数的方差为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（9分）设等比数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
18.（11分）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值和第60百分位数；
（2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
（3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19.（11分）已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的值域.
20.（12分）在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线交曲线于两点（均位于轴右侧），关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.
21.（12分）甲 乙 丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.
22.（12分）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
（1）求的最小值；
（2）记直线的斜率分别为，问是否存在的某种排列（其中），使得成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
参考答案（B卷）
1.D
两个元件均故障，则电路故障
2.A
在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项，
设该数列的公差为，则.
3.B
在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，至少击中3次的频率为.
据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.（另外，正难则反）
4.C
分为三种情况：第一次通过，第二次通过，第三次通过，结合相互独立事件概率乘法公式求解.
【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为.
故选：.
5.B
双曲线的渐近线为，所以，所以
所以
6.C
设，则
于是，
所以，即，得，
故
7.A
设抛物线方程为，则可令
由，则
所以
所以，
思路2.设抛物线方程为
由
8.C
如图抛掷两枚骰子，点数之和如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
则投掷出的点数和频数如下
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
若，则如下图所示，游戏是公平的
点数和余数 0 1
频数 18 18
若则如下图所示，游戏是公平的
点数和余数 0 1 2
频数 12 12 12
若则如下图所示，游戏是不公平的
点数和余数 0 1 2 3
频数 9 8 9 10
若则如下图所示，游戏是公平的
点数和余数 0 1 2 3 4 5
频数 6 6 6 6 6 6
9.BCD
因为是两个随机事件，
所以表示两个事件至少有一个发生，故正确；
表示两个事件恰有一个发生，故错误；
表示两个事件均不发生，故正确；
表示两个事件均不发生，故正确.故选：.
10.AB
选项，乙同学体温的极差为，故正确；
选项，乙同学的体温从低到高依次为，故众数为，而中位数和平均数都是，故正确；
选项，从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故错误；
选项，甲同学的体温从低到高依次为，
由，可知数据的第70百分位数为第5项数据，故错误.
11.AC
由题可知，“”“奇数”，“”，
则事件的所有情况为：共6种情况，所以；
事件的所有情况为：共9种情况，
所以，所以与互斥但不对立，故正确；错误；
事件的所有情况为：，，共18种情况，
，所以与独立，正确.
，可知，错误，
12.ACD
由抛物线的对称性，不妨设直线的方程为
则由则由整理得
由且，由韦达定理得，
选项.由上述不等式解得，故正确
选项.若，则，故错误.
选项，设在准线上的投影分别为，
则即故正确.
选项D.思路1.如图
所以
思路2.由抛物线几何平均性质可知，关于轴的对称点与三点共线，
所以，其余同上
思路3.若平分，则由角平分线定理可得，
所以
即化简得，所以解得，故选项正确.
思路4.只需即，所以有
即即解得或3（舍去）
13.
从5张卡片中无放回抽取2张，共有这10
种情况，其中数字之积为奇数的有共3种情况，故所求概率为.
14.取出2个黄球和1个红球；取出3个黄球
事件“至多取出一个黄球”的对立事件为“至少取出2个黄球”
15.答案：
解析：由阿波罗尼斯圆性质知：点在圆上，
16.8
依题意：，由得由
17.则有
由①②得，所以，代入①得，所以；
（2）由（1）可得
所以
.
.
18.（1）由图可知：，.
60百分位数：.
（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）.
（3）由图可知，认可程度平均分为：
，
“美食”工作需要进一步整改.
19.解：（1）在处取得极值，且，
，
，经验证符合题意
（2）由（1）得，
由解得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，
又，
函数在上的值域是.
20.（1）设点，依题意有
即，化简得.
（2）由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，
整理可得：，设，
则，所以
，
设，则，
，当时，取等号，所以的面积的取值范围是.
21.【分析】（1）前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙 乙胜甲 乙胜丙②乙胜丙 甲胜乙 甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
【详解】（1）记事件为甲胜乙，则，
事件为甲胜丙，则，
事件为乙胜丙，则，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为
（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为
.
根据“累计负两场者被淘汰”列表如下：
第一场负方 第二场负方 第三场负方 第四场负方 第五场负方 最终获胜者
乙 甲 乙 甲 丙
丙 甲 丙
丙 甲
丙 甲 乙 丙
丙 乙
乙 甲 丙
丙 甲
丙 乙 丙 甲
甲 甲 丙
丙 甲
甲 丙 甲 乙
乙 甲
乙 甲 丙
丙 甲
丙 ……
22.（1）
设点，其中，
则
，当时取最小值
（2）或成等差数列，证明如下：
则，设点.
①若直线斜率为0，则点，不妨令点，
则，此时的任意排列均不成等比数列，
或成等差数列.
②直线斜率不为0，设直线，
则点，
由得，
故，
因为，
所以
，
所以或成等差数列，
综合上述，或成等差数列.