10.1.2事件的关系和运算（教学课件）2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）(共28张PPT)

(共28张PPT)
第10章 概率
人教A版2019必修第二册
10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
1.理解事件的关系与运算，培养学生数学抽象的核心素养；
2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念，
培养学生数学抽象的核心素养。
1. 样本空间有关概念：
(2)样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.
2. 随机事件有关概念：
(1)基本事件:只包含一个样本点的事件.
(3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.
(4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.
Ω为必然事件.
(5)不可能事件：在每次试验中都不会发生.
为不可能事件.
(2)随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.
(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.
复习回顾：
新知导入
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}，F＝{出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.
【问题 】在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？
【提示】(1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)事件C1与事件C2互斥；(4)事件E与事件F对立.
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
问题：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：；；……
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法.下面我们按照这一思路展开研究.
1.用集合的形式表示事件和事件，它们分别是和.
显然，如果事件发生，那么事件一定发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即.这时我们说事件包含事件.
一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作(或).可以用图表示.
特别地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作.
A
B
Ω
2.用集合的形式表示事件、和事件，它们分别是和和.
可以发现，事件和事件至少有一个发生，相当于事件发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即，这时我们称事件为事件和事件的并事件.
一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作(或).可以用图中的绿色区域和灰区域表示这个并事件.
A
B
Ω
3.事件可以用集合的形式表示为
可以发现，事件和事件同时发生，相当于事件发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是，即.我们称事件为事件和事件的交事件.
一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作(或).可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
A
B
Ω
4.用集合的形式表示事件和事件，它们分别是
显然，事件与事件不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是，即，这时我们称事件与事件互斥.
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容).可以用图表示这两个事件互斥.
A
B
Ω
5.用集合的形式表示事件、事件，它们分别是
在任何一次试验中，事件与事件两者只其中之一，而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为，即，且，即.此时我们称事件与事件互为对立事件.事件与也有这种关系.
一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为，可以用图表示.
A
Ω
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 发生导致发生
并事件(和事件) 与至少一个发生 或
交事件(积事件) 同时发生
互斥(互不相容) 不能同时发生
互为对立 有且仅有一个发生
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件(或)发生当且仅当中至少一个发生，
(或)发生当且仅当同时发生，等等.
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
解： (1) 用x1, x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则
可以用(x1, x2)表示这个并联电路的状态.
用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为
Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
(2) 根据题意, 可得 A = {(1, 0), (1, 1)}, B = {(0, 1), (1, 1)}，
= {(0, 0), (0, 1)}, = {(0, 0), (1, 0)}.
乙
甲
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系.
解： (3) A∪B = {(0,1), (1,0), (1,1)}, = {(0, 0)};
A∪B表示电路工作正常，
表示电路工作不正常.
∴A∪B和 互为对立事件.
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”.
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
解：(1) 所有的试验结果如图所示. 用数组(x1, x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间为
Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
(2) 因为R R1, 所以R1包含事件R；
因为R∩G = , 所以事件R与事件G互斥；
因为R∪G = Ω, M∩N = ，
所以事件M与事件N互为对立事件.
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)},
R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)},
R = {(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)},
M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，
N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }.
解：
(3) 因为R∪G = M，
所以事件M是事件R与事件G的并事件.
因为R1∩R2 = R，
所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
课堂练习
1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ).
(A) 至多一次中靶 (B) 两次都中靶
(C) 只有一次中靶 (D) 两次都没有中靶
D
2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci = “点数为i ”，其中i=1, 2, 3, 4, 5, 6；
D1= “点数不大于2”，D2= “点数大于2”, D3= “点数大于4”；
E= “点数为奇数”，F= “点数为偶数”.
判断下列结论是否正确.
(1) C1与C2互斥； (2) C2 , C3为对立事件；
(3) C3 D2； (4) D3 D2；
(5) D1∪D2=Ω, D1D2= ； (6) D3=C5∪C6；
(7) E= C1∪C3 ∪C5； (8) E, F为对立事件；
(9) D2∪D3=D2； (10) D2∩D3=D3.
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随堂检测
1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
【解析】　A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤. 【答案】　①②⑤
2.掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，
E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记 是事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
【解析】(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
C＝BC＝{出现2点}，
∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}，＋＝{出现1,2,4或5点}．
事件类型的判断
看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生；
要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
事件类型的判断方法
作出判断——一定发生的是必然是事件；不一定发生(有可能发生)的是随机事件；一定不发生的是不可能事件
课堂小结
事件的关系或运算的含义以及相应的符号
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
A发生导致B发生
A与B至少一个发生
A与B同时发生
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
课堂小结
事件与集合的对应关系
符号 概率论 集合论
必然事件 全集
不可能事件 空集
实验的可能结果 中的元素
事件 的子集
事件A与事件B的并事件 集合A与集合B的并集
事件A与事件B的交事件 集合A与集合B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与集合B的交集为空集
事件A与事件B对立 集合A与集合B互为补集
课堂小结
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
1. 事件的关系与运算
2. 互斥事件与对立事件联系与区别
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.
课堂小结