第六章:实数
一、单选题
1.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)的平方根是( )
A. B. C. D.
2.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)2的算术平方根是( )
A. B. C. D.2
3.(2022春·四川绵阳·七年级统考期末)已知,则( )
A.16 B.8 C.2 D.
4.(2022春·四川广元·七年级统考期末)下列结论正确的是( )
A.没有平方根 B.立方根等于本身的数只有0
C.4的立方根是 D.
5.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)一个正方体的体积扩大为原来的倍,则它的棱长为原来的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
7.(2022春·四川凉山·七年级统考期末)若规定“!”是一种数学运算符号,且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24, ,则的值为( )
A.9900 B.99! C. D.2
8.(2022春·四川广安·七年级统考期末)在实数,-3,,中,最小的数是( )
A. B.-3 C. D.
9.(2022春·四川绵阳·七年级统考期末)实数的值位于( )
A.3与4之间 B.4与5之间 C.5与5.5之间 D.5.5与6之间
10.(2022春·四川自贡·七年级统考期末)如图,数轴上表示实数的点可能是( )
A.点 B.点 C.点 D.点
11.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)下列各数中,属于无理数的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
12.(2022春·四川广元·七年级统考期末)若则________.
13.(2022春·四川凉山·七年级统考期末)若则 ________.
14.(2022春·四川广安·七年级统考期末)若的平方根是,的立方根是2,则的算术平方根是______.
15.(2022春·四川南充·七年级统考期末)若,则的值是________.
16.(2022春·四川广元·七年级统考期末)比较大小:______3.(填“”、“”或“”号)
17.(2022春·四川德阳·七年级统考期末)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是,著名的“断臂维纳斯”便是如此,这个数我们把它叫做黄金分割数.若介于整数n和之间,则n的值是_____.
18.(2022春·四川凉山·七年级统考期末)若a是介于与之间的整数,b是的小数部分,则ab-2的值为_________
三、解答题
19.(2022春·四川广元·七年级统考期末)计算:.
20.(2022春·四川广元·七年级统考期末)计算:.
21.(2022春·四川泸州·七年级统考期末)计算:.
22.(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知的平方根是,的立方根是2,c是的整数部分.
(1)求a,b,c的值;
(2)求的平方根.
23.(2022春·四川广元·七年级统考期末)如图,实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示.
(1)填空:______0,______0;(填“>”“<”或“=”)
(2)已知a是4的一个平方根,b是-27的立方根,c是-4的相反数,求的值.
24.(2022春·四川广安·七年级统考期末)【材料】∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为.
【应用】
(1)的整数部分是______,小数部分是______;
(2)已知的小数部分是,的小数部分是,求的值.
25.(2022春·四川广元·七年级统考期末)已知的立方根是,的算术平方根是,是的整数部分,求的立方根.
参考答案:
1.B
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可.
【详解】解:∵(±3)2=9,
∴9的平方根是±3.
故选:B.
【点睛】本题考查的是平方根的定义,即如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
2.B
【详解】解:2的算术平方根是,故选B.
3.A
【分析】根据算术平方根的定义求解即可.
【详解】解:∵的算术平方根是,
∴
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查的知识点是利用算术平方根的定义求未知数的值,掌握算术平方根的定义是解题的关键.
4.A
【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得.
【详解】解:A、负数没有平方根,则没有平方根,此项正确,符合题意;
B、立方根等于本身的数有0和,则此项错误,不符题意;
C、4的平方根是,立方根是,则此项错误,不符题意;
D、,则此项错误,不符题意;
故选:A.
【点睛】本题考查了平方根和立方根,熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键.
5.D
【分析】根据平方根和立方根的概念计算并判断即可.
【详解】解:A、,故选项错误,不符合题意;
B、,故选项错误,不符合题意;
C、,故选项错误,不符合题意;
D、,故选项正确,符合题意,
故选:D.
【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念,根据平方根和立方根的概念求出正确的结果是解答本题的关键.
6.A
【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可.
【详解】解:设原正方体的边长为,则体积为,
∴将体积扩大为原来的倍,为,
∴扩大后的正方体的边长为,
∴它的棱长为原来的倍,
故选:A.
【点睛】本题考查了正方体的体积和立方根的应用,熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键.
7.A
【分析】先根据数学运算符号“!”得出和的值,再计算有理数的乘除法即可得.
【详解】由题意得:
故选:A.
【点睛】本题考查了新运算下的有理数的乘除法,理解新运算是解题关键.
8.D
【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可.
【详解】解:∵,
∴,
在实数,-3,,中,最小的数是: ;
故选:D.
【点睛】本题主要考查实数的比较大小,关键在于绝对值符号的去掉,根据负数绝对值越大,反而越小.
9.B
【分析】利用“夹逼法”得到:16<18<25,然后开方即可得到答案.
【详解】解:∵16<18<25,
∴4<<5,
∴的值在4与5之间.
故选:B.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小.注意首先估算无理数的值,再根据不等式的性质进行计算.现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
10.C
【分析】估计的范围即可.
【详解】解:∵,
∴,
数轴上在这个范围内的只有点P.
故选:C.
【点睛】本题考查无理数的估计,正确估计的范围是求解本题的关键.
11.C
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
【详解】解:A、是分数,属于有理数,故此选项不符合题意;
B、3.是有限小数,属于有理数,故此选项不符合题意;
C、是无理数,故此选项符合题意.
D、,是整数,属于有理数,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如,,每两个之间依次多个等形式.
12.1
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出a=﹣2,b=1,然后代入计算即可.
【详解】解:∵
∴a+2=0,b﹣1=0,
∴a=﹣2,b=1,
∴.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了代数式的求值、算术平方根的非负性、绝对值的非负性等知识点,根据算术平方根和绝对值的非负性求出a、b的值是解答本题的关键.
13.
【分析】根据平方与二次根式的非负性即可求解.
【详解】依题意得2a+3=0,b-2=0,
解得a=-,b=2,
∴==
故答案为:
【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知实数的性质.
14.
【分析】根据平方根、立方根的定义求出x,y值,再根据算术平方根的定义解决此题.
【详解】解:由题意得,x-2=4,y+7=8,
∴x=6,y=1.
∴x2+y2=62+12=37.
∴x2+y2的算术平方根是.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根,熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解决本题的关键.
15.
【分析】如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说,如果,那么叫做的立方根.据此解答即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查了立方根,正确理解立方根的意义是解题的关键.
16.
【分析】估算的大小,与3比较即可.
【详解】解:∵4<5<9,
∴2<<3,
则<3,
故答案为:<.
【点睛】本题考查了实数大小比较,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.0
【分析】先估计,再求n值.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∵,n为整数,
∴n=0.
故答案为:0.
【点睛】本题考查无理数的估计,正确判断的范围是求解本题的关键.
18.-2
【分析】先估算无理数的范围,再求出a、b的值,最后代入求出即可.
【详解】∵12,23,a是介于与之间的整数,∴a=2.
∵12,b是的小数部分,∴b1,∴ab﹣22×(1)﹣22.
故答案为﹣2.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值,解答此题的关键是求出a、b的值.
19.
【分析】根据绝对值的性质及平方根、立方根的性质化简,再计算结果.
【详解】解:原式
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、绝对值等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
20.
【分析】先化简绝对值,计算有理数的乘方、立方根和算术平方根,最后进行加减计算即可.
【详解】解:原式=
.
【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的乘方、立方根和算术平方根的求解,解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序.
21.
【分析】先计算平方、开平方和开立方,再计算加减.
【详解】解:原式=
=
=.
【点睛】本题考查平方、算术平方根、立方根,解题关键是熟练掌握定义.
22.(1),,
(2)
【分析】(1)先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c;
(2)根据(1)所求,结合平方根的定义求解即可.
【详解】(1)解:∵的平方根是,的立方根是2,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵c是的整数部分,
∴;
(2)解:∵,,
∴,
∵11的平方根为,
∴的平方根为.
【点睛】本题主要考查了平方根,立方根,无理数的估算,熟知相关知识是解题的关键.
23.(1)
(2)3
【分析】(1)根据数轴的性质可得,再根据实数的加减法则即可得;
(2)先分别根据平方根、立方根、相反数的定义求出的值,再代入计算即可得.
【详解】(1)解:由数轴可知,,
则,,
故答案为:.
(2)解:由数轴可知,,
是4的一个平方根,是的立方根,是的相反数,
∴,,,
则
.
【点睛】本题考查了数轴、平方根、立方根、代数式求值等知识点,熟练掌握数轴的性质和平方根与立方根的性质是解题关键.
24.(1)4,
(2)1
【分析】(1)根据题干中的方法即可求出结果;
(2)分别求出和的范围,从而得到m和n,再计算结果.
【详解】(1)解:∵,即,
∴的整数部分为4,小数部分为;
(2)∵,
∴,
∴,,
∴m=,
n=,
∴m+n==1.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小,求整式的值的应用,解此题的关键是求出m、n的值.
25.2
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法确定a、b、c的值,然后代入代数式求出值后,最后求立方根即可.
【详解】解:的立方根是,的算术平方根是,是的整数部分,
,,c=3
,,,
,的立方根是.
答:的立方根是.
【点睛】本题主要考查了立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算等知识点,根据题意确定a、b、c的值是解答本题的关键.