苏教版选修2第二章圆锥曲线与方程教案(江苏省淮阴市洪泽县)
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| 名称 | 苏教版选修2第二章圆锥曲线与方程教案(江苏省淮阴市洪泽县) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 493.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2007-09-18 21:17:00 | ||
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江苏省洪泽中学教案 第二章 圆锥曲线与方程
课 题：圆锥曲线
教学目标：
1、通过用平面截圆锥曲面，经历从具体抽象圆锥曲线过程；
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学过程：
一、问题情景
几何画板演示：天体的运行
二、建构数学
1、圆锥曲线：画板演示
2、椭圆、双曲线、抛物线的动画演示
3、椭圆、双曲线与抛物线的定义
椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于 ∣F1F2∣的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.
说明：①常数小于；
②这两个定点叫做双曲线的焦点；
③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.
抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
三、回顾总结：
四、布置作业：
课 题：椭圆（1）
教学目标：
1、掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；
2、能利用标准方程判断曲线是否是椭圆
教学重点：椭圆的定义与标准方程
教学难点：标准方程的推导过程
教学过程：
一、创设情景
1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程
2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考
二、建构数学
1、椭圆标准方程的推导
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.
设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).
又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
由椭圆定义，椭圆就是集合
P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝
因为∣MF1∣=，∣MF2∣=
所以得：+=2a
整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).
由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.
令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：
2、椭圆的标准方程：
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三、数学运用
1、例1 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
椭圆标准方程为：
2、课堂练习
课本28页练习1，2，3
四、回顾总结
通过本节学习，要求理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程
五、布置作业
《数学之友》T2.2椭圆得标准方程
课 题：椭圆（2）
教学目标：掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。
教学重点：椭圆的定义与标准方程
教学难点：根据已知条件求椭圆的标准方程。
教学过程：
一、复习准备
1、椭圆得定义与标准方程
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0,-2）、（0,2），并且椭圆经过点.
二、数学运用
1、例1 已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.
在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即
∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）
解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且
2c=6, 2a=16－6=10
∴c=3, a=5, b2=52－32=16
但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是
说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；
②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.
2、例2 将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线得方程，并说明它是什么曲线？
解：设所得曲线上任意一点得坐标为，圆
上对应点的坐标为
因为
所以
3、例2变式 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.
解：把已知椭圆方程变为
从而焦点F的坐标为（0，3）
设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1），则 25x12+16y 12=400 ①
由P分所成比为2，得
∴x1=3x, y1=3y－6 代入①得：225x2+144y2－576y+176=0.
说明：例4在求解曲线轨迹的过程当中，也使用到了利用中间变量求轨迹的方法.
4、课堂练习
（1）化简：
（2）已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程．
（3）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程；
三、回顾总结：
（1）椭圆的定义及标准方程；
（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中的关系；
（3）掌握判断焦点的方法；在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；
（4）用定义法求椭圆的方程
四、布置作业
课本28页2.2(1)2、4、5
五、备用练习
1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆经过两点P（，0），Q(0, )
(2)焦点坐标是（，0）和（，0），且经过点（，）
2、在三角形ABC中BC=24,AB、AC边上的中线长之和等于39，求三角形ABC的重心的轨迹方程
课 题：椭圆的几何性质（1）
教学目标：
１、掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
２、掌握椭圆标准方程中a、b、c关系；
３、能根据条件利用工具画出椭圆．
教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：椭圆离心率与椭圆关系
教学过程：
一、问题情景
1、椭圆的定义与标准方程
2、思想方法总结：利用平面直角坐标系，
把几何问题转化为代数问题处理。
建立曲线方程的目的就是要用代数的
方法研究几何问题，本课就是要根据椭圆
的标准方程去研究椭圆的几何性质。
在以前的学习中，我们已经接触到如
何通过方程研究几何问题，例如直线的平
行与垂直，函数奇偶性中函数解析式的特
征与图象的对称性的关系等等，请思考：
如何根据椭圆标准方程研究几何性质？
二、建构数学
１、范围：
由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
椭圆位于直线和所围成的矩形里．即,
2、对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
这就是研究方法
３、顶点：
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？（-a,0）,(a,0)
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？(０,-b), (0,b)
(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
4、离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．
说明①因为所以．
②e越接近１，则c越接近a，从而越小，
因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，从而
b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；（画板演示）
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．
[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．]
三、数学运用
1、例１ 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
解：把已知方程化成标准方程这里a=５,b=3,所以．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=6，离心率，两个焦点分别是F１（-4,０）和F２（4,０），椭圆的四个顶点是A１（-５,０），A２（５,０），B１（０,-3）和B２（０,3）．
将已知方程变形为，根据在０范围算出几个点坐标：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y 3 2.98 2.94 2.86 2.75 2.60 2.40 2.14 1.80 1.31 0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
Excel作图（右图）
说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用
图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出
反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为
邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用
曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称
性及顶点附近的平滑性．
四、回顾总结
标准方程
图象
范围
对称性
顶点
长轴、短轴
离心率
五、布置作业
《数学之友》选T2.3椭圆的几何性质（1）
课 题：椭圆的几何性质（2）
教学目标：
１、熟悉椭圆的几何性质；
２、利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；
３、了解椭圆在科学研究中的应用．
教学重点：椭圆的几何性质应用；
教学难点：椭圆两种标准方程的区别与联系
教学过程：
一、复习引入
1、椭圆的性质复习
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）经过点P（-３,０）、Q（０,-２）；
（２）长轴的长等于20，离心率等于．
解：（1）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为．
（2）由已知，2a=20,,
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．
二、数学运用
1、例1 如图8－8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．
解：如图８—８，建立直角坐标系，使点Ａ、Ｂ、Ｆ２在x轴上，Ｆ２为椭圆的右焦点（记F１为左焦点）．
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，
则
解得：
用计算器求得．因此，卫星的轨道方程是
2、例2 设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥
证明 ∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ①
在Rt△F1PF2中,
由①2，得
∴|PF1|·|PF2|=2(a2－c2) ②
由①和②，据韦达定理逆定理，
知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2(a2－c2)=0的两根，
则△=4a2－8(a2－c2)≥0,∴()2≥，即e≥.
3、例3 P是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且∠F1PF2=α.求证：△PF1F2的面积为
证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
三、回顾总结
掌握椭圆的几何性质，正确求解椭圆的标准方程，了解椭圆在实际中的应用．
四、布置作业
《数学之友》选T2.4椭圆的几何性质（2）
五、备用练习
1、选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（ ）
A．=4y B．＋2xy＋y=0 C．－4＝5x D．9＋=4．
2、点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
课 题：双曲线及其标准方程
教学目标：
1、了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
2、能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
教学重点：根据已知条件求双曲线的标准方程。
教学难点：用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
教学过程：
一、创设情景
双曲线的定义是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
二、建构数学
双曲线的标准方程的推导方程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆标准方程的推导，推导双曲线的标准方程。
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.
设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
由定义可知，双曲线就是集合
因为
所以得 ①
将方程①化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2).
由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，令c2－a2=b2，其中b>0，代入上式得
(a>0,b>0).
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
．
三、数学运用
1、例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．
思考：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
2、例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
（2），经过点A（2，－5），焦点在y轴上。
解：（1）
（2）
3、例3已知，两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到炮弹爆炸声的时间比在处迟2s，设声速为．
（1）爆炸点在什么曲线上？
（2）求这条曲线的方程。
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
思考：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
所求双曲线方程为
4、课堂训练：
（1）已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1，求M到另一个焦点的距离。
（2）已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程。
思考：在△ABC中，B（－6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹。
四、回顾总结
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 哪项为正，焦点就在哪个轴上
五、布置作业
课 题：双曲线的简单几何性质（第1课时）
课时编号：SX2－02－07
教学目标：
1、了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2、能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
教学重点：双曲线的几何性质及初步运用。
教学难点：双曲线的渐近线。
教学过程：
一、创设情景
1、椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
2、双曲线的两种标准方程是什么？
二、建构数学
1、范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2、对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的
对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心。
3、顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点。
线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
4、渐近线
①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；
②从图中可以看出，双曲线的各支向
外延伸时，与直线y=±逐渐接近.
③“渐近”的证明：
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：
设是它上面的点，是直线上与有相同的横坐标的点，则
∵y=
∴
设是点M到直线y=的距离，则<，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON，在其他象限内，也可证明类似的情况。
④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
5.离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.
说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。
三、数学运用
1、例1 求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
，实轴长，虚轴长
焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线
2、例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。
解：
3、练习 求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为
四、回顾总结
通过本节学习，要求掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质.
五、布置作业
课 题：双曲线的简单几何性质（第2课时）
教学目标：
1、了解双曲线的简单几何性质，能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
2、双曲线渐近线性质的进一步研究
教学重点：双曲线的几何性质及初步运用。
教学难点：双曲线的渐近线。
教学过程：
一、复习引入
1、双曲线的简单几何性质
2、求双曲线的标准方程：
（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
（3）离心率，经过点；
（4）两条渐近线的方程是，经过点
二、专题探讨：与渐近线有关的性质归纳
1、已知双曲线渐近线
已知渐近线双曲线
2、经过双曲线上任一点，作平行于实轴的直线，与渐近线交于两点，则到的距离之积为定值， ；作平行于虚轴的直线，与渐近线交于两点，则到的距离之积为定值， 。
证明：如图1，设，则
直线方程为：
直线方程与渐近线方程联立
解得两点坐标分别为
；
同理可证。
3、由双曲线的一个焦点向一渐近线作垂线，垂线段长为定值，等于，且垂足恰在双曲线的准线上。
证明：如图2，设焦点，渐近线，即，
由点到直线的距离公式得：
；
又过点且与渐近线垂直
的直线方程为:，
两方程联立解得交点坐标为，显然该点在双曲线的准线上。
4、双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值，。
证明：设，则，点到两渐近线的距离之积：
5、经过双曲线上任一点，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于两点，则平行四边形的面积为定值，。
证明：如图3，设点到两渐近线的距离分别为，两渐进线的夹角为，则有：
，
代入上式并整理得：。
三、数学运用
课堂练习：课本41页练习1－4
四、布置作业
课 题：抛物线
教学目标：
掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。
教学重点：掌握抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
二、建构数学
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，
抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
由坐标表示得：
化简后得：
方案2：以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
由坐标表示得：
化简得：
方案3：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系
设，则焦点坐标为，准线方程为，设
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
标准方程
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
三、数学运用
1、例1 求抛物线的焦点坐标和准线方程
解：因为，所以
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
2、求过点的抛物线的标准方程。
解：分两种情况讨论，设方程为或，分别将P点坐标代入
可以解得
因此满足条件的双曲线有两条，它们的非常分别为
和
3、课堂练习
课本45页练习1－5
四、回顾总结
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；有时为了简化运算，可设焦点在轴和轴上的非常分别为和，避免对抛物线开口方向的讨论。
五、布置作业
课 题：抛物线的几何性质（1）
教学目标：
1．掌握抛物线的简单几何性质；
2．能根据抛物线方程解决简单的应用问题。
教学重点：抛物线的几何性质。
教学难点：抛物线的几何性质的推导。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线标准方程的四种形式； 2、椭圆、双曲线的几何性质。
二、建构数学
根据抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质
1、范围 当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
2、对称性 抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3、顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4、抛物线的几何性质归纳
标准方程
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
对称轴 x轴 y轴
顶点 坐标原点
抛物线的标准方程中的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段.
三、数学运用
1、例1 求顶点在原点，焦点为的抛物线的方程。
解 依据题意，设抛物线方程为
因为焦点为，所以
因此所求抛物线的标准方程为
2、例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光，应怎样安装灯泡？（精确到1mm）
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立坐标系，设抛物线方程为，灯应安装在焦点F处。
在轴上取一点C，使OC=69cm，过C作x轴的垂线，交抛物线与A、B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以A点坐标为，将A点坐标代入方程，解得，它得焦点坐标约为。因此灯泡应该安装在距顶点35mm处。
3、课堂练习
课本47页练习1－3
4、（补充）正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.
分析:观察图8—26,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.
解：如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则：
,所以.
由此可得,,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且
∠Aox=30°,所以.
说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点。
四、布置作业
课 题：抛物线的几何性质（2）
教学目标：
1．掌握抛物线的简单几何性质；
2．抛物线性质的进一步研究。
教学重点：抛物线的几何性质。
教学难点：抛物线几何性质的探讨。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线的定义
2、抛物线的性质：范围、顶点、对称性
二、建构数学
如图，已知抛物线，AB过抛物线焦点F，设
1、焦半径：
2、焦点弦：
（1）（其中为直线AB与x轴所成的角）
（2）过焦点且与对称轴垂直的弦叫作通径，抛物线的通径长为
（3）若设,则
（4）
3、垂直问题
（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在准线上的射影分别为，则等于
（2）抛物线的焦点为F，相准线是，以过焦点F的一条弦为直径的圆恰与直线相切。
（3）过抛物线的顶点作两条互相垂直的直线分别交抛物线与两点，则直线过定点
4、最小值问题
（1）A（3，2）为一定点，点F是抛物线y2=2x的焦点，P点是抛物线y2=2x上的动点，当|PA|+|PF|最小时，P点的坐标是 （2，2）
（2）抛物线上距离点最近的点恰好是顶点，则这个结论成立的充要条件是
三、数学运用
1、抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是__________.
2、一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必经过点 。
3、长度为的线段AB的两个端点A、B都在抛物线上滑动，则线段 AB的中点M到y轴的最短距离为 。
4、抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6、设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）-3
7、抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是 ( B )
（A） （B） （C） （D）0
8、若抛物线的准线为，焦点坐标为，则抛物线的对称轴方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是（ ）
（A）11.25cm （B）5.625cm （C）20cm （D）10cm
10、已知点，直线，点是上的动点，若过B垂直于轴的直线与线段 的垂直平分线相交于点，则点的轨迹是（ ）
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）圆 （D）抛物线
11、双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值（ A ）
(A) (B) (C) (D)
12、抛物线的焦点作直线，交这条抛物线于两点，若，则（ ）
A、10 B、8 C、6 D、4
13、如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
（如图建立坐标系中得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
课 题：圆锥曲线的统一定义
教学目标：
1．了解圆锥曲线的统一定义；
2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法
教学重点：圆锥曲线的统一定义。
教学难点：圆锥曲线的统一定义。
教学过程：
一、创设情境
我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L（F不在L上）
的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。如图即时，点P的轨迹
是抛物线。
下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P的轨迹又是什么曲线呢？动点P的轨迹怎么变化？
利用多媒体演示
二、师生探究
下面我们来探讨这样个问题：
例1 已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线
l：x=的距离的比是常数（a＞c＞0），求点P的轨迹。
解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合p=,
由此得
.
化简得
设，就可化为：
结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。
变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）
三、建构数学
下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）
结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）
下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）
对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：
如：焦点Ｆ(-c,０)与准线x＝－对应，焦点Ｆ(c,０)与准线x＝对应．
思考一：想一想，焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？
思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？
四、数学运用
1、如图,点Ｏ是椭圆中心,为焦点,为顶点,准线交轴于在椭圆上且 于,于F,关于曲线的离心率有如下数值:
⑴,⑵,⑶ ,⑷, ⑸
其中正确的个数是 （ ）
（A）２ （B）３ （C）４ （D）５
2、如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为（ ）
（A） （B） （C）8 （D）10
3、设点P是双曲线上一点，焦点点，使有最小值时，则点P的坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若｜FA｜=2｜FB｜，则椭圆的离心率为 ( )
? (A)?? ?(B) ?? ? (C)? (D)
5、方程表示的曲线是（ ）
(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)不能确定
6、求到点A（1,1）和到直线x+2y=3距离相等的点的轨迹。
五、布置作业
《数学之友》选T2.11圆锥曲线的统一定义
课 题：曲线与方程
教学目标：
1．了解曲线方程的概念；
2．能用曲线方程的概念解决一些简单问题
教学重点：曲线和方程的概念
教学难点：曲线和方程概念的理解。
教学过程：
一、创设情境
1、利用平面直角坐标系，可以把平面图形与坐标建立对应关系，如图：
2、回忆以前学习的直线与圆、圆锥曲线等说明
二、建构数学
1、曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
2、点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f (x0,y0)=0
三、数学运用
1、例1 判断点是否在圆上。
解：把点的坐标代入方程，可以发现，点的坐标是方程的解，点在圆上，而不满足方程，不在圆上。
变式：已知P1（x1,y1）是直线l：f（x,y）=0上一点，P2（x2,y2）是直线l外一点
所表示的直线与l的关系是
2、例2 已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱为6m，以圆拱所对的弦AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，求圆拱的方程。
解：设圆心，圆拱上任一点P(x,y)，满足，即
即
因为点在圆上，所以
解得
所以圆拱的方程是
3、例3 如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－,0)，N (,0)．
由 |AM|=，|AN|=3得
(xA＋)2＋2PxA=17， ①
(xA－)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得
或．
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．
∴ P=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
四、回顾总结
五、布置作业
课 题：求曲线的方程
教学目标：
1．了解解析几何的基本思想；
2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；
3．初步掌握求曲线的方程的方法.
教学重点：求曲线方程的一般步骤
教学难点：求曲线的方程。
教学过程：
一、复习回顾：
师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.
二、师生探究
引例 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.
解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合
.
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
将上式两边平方，整理得：
x+2y－7=0 ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x+2y1－7=0
x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
三、建构数学
求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.
四、数学运用
1、例1 长为（是正常数）的线段AB的两端点分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹。
解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，
建立平面直角坐标系如图
因为是直角三角形，M是AB的中点，所以
即
两边平方得
2、求平面内到两个定点A,B得距离之比等于2得动点M的轨迹方程。
解：以A,B所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，令，则A,B两点的坐标分别为。
设M点坐标为，依题意，点M满足
化简整理得。
所以动点M的轨迹方程为
3、课堂练习
课本57页练习1，2
五、回顾总结
建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习。
六、布置作业
课 题：曲线的交点
教学目标：
1．掌握求两条曲线交点坐标的方法；
2．进一步学习方程思想与数形结合的方法。
教学重点：求两条曲线交点坐标。
教学难点：求两条曲线交点坐标。
教学过程：
x
y
o
圆的定义 坐标系中的圆 圆的方程
o
F1
椭圆的定义 坐标系中的椭圆 椭圆的方程
o
y
x
？
F2
P
P
F1
F2
o
x
F1
F2
P
y
方程
曲线
坐标
点
Q
y
P
F2
F1
o
x
P
M
x
y
o
x
图1
o
y
F
图2
x
o
y
M
Q
P
图3
B/
A/
B
A
O
x
y
O
A
B
P
Q
D
Ｆ
O
A
B
x
y
C
P
x
y
o
A
B
M
M
B
A
o
y
x
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第 41 页
课 题：圆锥曲线
教学目标：
1、通过用平面截圆锥曲面，经历从具体抽象圆锥曲线过程；
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义
教学过程：
一、问题情景
几何画板演示：天体的运行
二、建构数学
1、圆锥曲线：画板演示
2、椭圆、双曲线、抛物线的动画演示
3、椭圆、双曲线与抛物线的定义
椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于 ∣F1F2∣的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.
说明：①常数小于；
②这两个定点叫做双曲线的焦点；
③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.
抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
三、回顾总结：
四、布置作业：
课 题：椭圆（1）
教学目标：
1、掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；
2、能利用标准方程判断曲线是否是椭圆
教学重点：椭圆的定义与标准方程
教学难点：标准方程的推导过程
教学过程：
一、创设情景
1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程
2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考
二、建构数学
1、椭圆标准方程的推导
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.
设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).
又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
由椭圆定义，椭圆就是集合
P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝
因为∣MF1∣=，∣MF2∣=
所以得：+=2a
整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).
由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.
令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：
2、椭圆的标准方程：
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三、数学运用
1、例1 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
椭圆标准方程为：
2、课堂练习
课本28页练习1，2，3
四、回顾总结
通过本节学习，要求理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程
五、布置作业
《数学之友》T2.2椭圆得标准方程
课 题：椭圆（2）
教学目标：掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。
教学重点：椭圆的定义与标准方程
教学难点：根据已知条件求椭圆的标准方程。
教学过程：
一、复习准备
1、椭圆得定义与标准方程
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0,-2）、（0,2），并且椭圆经过点.
二、数学运用
1、例1 已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.
在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即
∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）
解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且
2c=6, 2a=16－6=10
∴c=3, a=5, b2=52－32=16
但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是
说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；
②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.
2、例2 将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线得方程，并说明它是什么曲线？
解：设所得曲线上任意一点得坐标为，圆
上对应点的坐标为
因为
所以
3、例2变式 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.
解：把已知椭圆方程变为
从而焦点F的坐标为（0，3）
设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1），则 25x12+16y 12=400 ①
由P分所成比为2，得
∴x1=3x, y1=3y－6 代入①得：225x2+144y2－576y+176=0.
说明：例4在求解曲线轨迹的过程当中，也使用到了利用中间变量求轨迹的方法.
4、课堂练习
（1）化简：
（2）已知椭圆的焦点坐标是，，椭圆上的任意一点到、的距离之和是10，求椭圆的标准方程．
（3）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程；
三、回顾总结：
（1）椭圆的定义及标准方程；
（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中的关系；
（3）掌握判断焦点的方法；在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；
（4）用定义法求椭圆的方程
四、布置作业
课本28页2.2(1)2、4、5
五、备用练习
1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆经过两点P（，0），Q(0, )
(2)焦点坐标是（，0）和（，0），且经过点（，）
2、在三角形ABC中BC=24,AB、AC边上的中线长之和等于39，求三角形ABC的重心的轨迹方程
课 题：椭圆的几何性质（1）
教学目标：
１、掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
２、掌握椭圆标准方程中a、b、c关系；
３、能根据条件利用工具画出椭圆．
教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：椭圆离心率与椭圆关系
教学过程：
一、问题情景
1、椭圆的定义与标准方程
2、思想方法总结：利用平面直角坐标系，
把几何问题转化为代数问题处理。
建立曲线方程的目的就是要用代数的
方法研究几何问题，本课就是要根据椭圆
的标准方程去研究椭圆的几何性质。
在以前的学习中，我们已经接触到如
何通过方程研究几何问题，例如直线的平
行与垂直，函数奇偶性中函数解析式的特
征与图象的对称性的关系等等，请思考：
如何根据椭圆标准方程研究几何性质？
二、建构数学
１、范围：
由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
椭圆位于直线和所围成的矩形里．即,
2、对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
这就是研究方法
３、顶点：
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？（-a,0）,(a,0)
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？(０,-b), (0,b)
(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；
(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
4、离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．
说明①因为所以．
②e越接近１，则c越接近a，从而越小，
因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，从而
b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；（画板演示）
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．
[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．]
三、数学运用
1、例１ 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
解：把已知方程化成标准方程这里a=５,b=3,所以．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=6，离心率，两个焦点分别是F１（-4,０）和F２（4,０），椭圆的四个顶点是A１（-５,０），A２（５,０），B１（０,-3）和B２（０,3）．
将已知方程变形为，根据在０范围算出几个点坐标：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y 3 2.98 2.94 2.86 2.75 2.60 2.40 2.14 1.80 1.31 0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
Excel作图（右图）
说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用
图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出
反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为
邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用
曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称
性及顶点附近的平滑性．
四、回顾总结
标准方程
图象
范围
对称性
顶点
长轴、短轴
离心率
五、布置作业
《数学之友》选T2.3椭圆的几何性质（1）
课 题：椭圆的几何性质（2）
教学目标：
１、熟悉椭圆的几何性质；
２、利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；
３、了解椭圆在科学研究中的应用．
教学重点：椭圆的几何性质应用；
教学难点：椭圆两种标准方程的区别与联系
教学过程：
一、复习引入
1、椭圆的性质复习
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）经过点P（-３,０）、Q（０,-２）；
（２）长轴的长等于20，离心率等于．
解：（1）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为．
（2）由已知，2a=20,,
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．
二、数学运用
1、例1 如图8－8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．
解：如图８—８，建立直角坐标系，使点Ａ、Ｂ、Ｆ２在x轴上，Ｆ２为椭圆的右焦点（记F１为左焦点）．
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，
则
解得：
用计算器求得．因此，卫星的轨道方程是
2、例2 设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥
证明 ∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ①
在Rt△F1PF2中,
由①2，得
∴|PF1|·|PF2|=2(a2－c2) ②
由①和②，据韦达定理逆定理，
知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2(a2－c2)=0的两根，
则△=4a2－8(a2－c2)≥0,∴()2≥，即e≥.
3、例3 P是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且∠F1PF2=α.求证：△PF1F2的面积为
证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
三、回顾总结
掌握椭圆的几何性质，正确求解椭圆的标准方程，了解椭圆在实际中的应用．
四、布置作业
《数学之友》选T2.4椭圆的几何性质（2）
五、备用练习
1、选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（ ）
A．=4y B．＋2xy＋y=0 C．－4＝5x D．9＋=4．
2、点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
课 题：双曲线及其标准方程
教学目标：
1、了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
2、能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
教学重点：根据已知条件求双曲线的标准方程。
教学难点：用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
教学过程：
一、创设情景
双曲线的定义是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
二、建构数学
双曲线的标准方程的推导方程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆标准方程的推导，推导双曲线的标准方程。
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.
设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
由定义可知，双曲线就是集合
因为
所以得 ①
将方程①化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2).
由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，令c2－a2=b2，其中b>0，代入上式得
(a>0,b>0).
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
．
三、数学运用
1、例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．
思考：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
2、例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
（2），经过点A（2，－5），焦点在y轴上。
解：（1）
（2）
3、例3已知，两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到炮弹爆炸声的时间比在处迟2s，设声速为．
（1）爆炸点在什么曲线上？
（2）求这条曲线的方程。
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
思考：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
所求双曲线方程为
4、课堂训练：
（1）已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1，求M到另一个焦点的距离。
（2）已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程。
思考：在△ABC中，B（－6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹。
四、回顾总结
标准方程
不同点 图形
焦点坐标
相同点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断 哪项为正，焦点就在哪个轴上
五、布置作业
课 题：双曲线的简单几何性质（第1课时）
课时编号：SX2－02－07
教学目标：
1、了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2、能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
教学重点：双曲线的几何性质及初步运用。
教学难点：双曲线的渐近线。
教学过程：
一、创设情景
1、椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
2、双曲线的两种标准方程是什么？
二、建构数学
1、范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2、对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的
对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心。
3、顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点。
线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
4、渐近线
①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；
②从图中可以看出，双曲线的各支向
外延伸时，与直线y=±逐渐接近.
③“渐近”的证明：
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：
设是它上面的点，是直线上与有相同的横坐标的点，则
∵y=
∴
设是点M到直线y=的距离，则<，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON，在其他象限内，也可证明类似的情况。
④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
5.离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.
说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。
三、数学运用
1、例1 求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
，实轴长，虚轴长
焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线
2、例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程。
解：
3、练习 求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为
四、回顾总结
通过本节学习，要求掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质.
五、布置作业
课 题：双曲线的简单几何性质（第2课时）
教学目标：
1、了解双曲线的简单几何性质，能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
2、双曲线渐近线性质的进一步研究
教学重点：双曲线的几何性质及初步运用。
教学难点：双曲线的渐近线。
教学过程：
一、复习引入
1、双曲线的简单几何性质
2、求双曲线的标准方程：
（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
（3）离心率，经过点；
（4）两条渐近线的方程是，经过点
二、专题探讨：与渐近线有关的性质归纳
1、已知双曲线渐近线
已知渐近线双曲线
2、经过双曲线上任一点，作平行于实轴的直线，与渐近线交于两点，则到的距离之积为定值， ；作平行于虚轴的直线，与渐近线交于两点，则到的距离之积为定值， 。
证明：如图1，设，则
直线方程为：
直线方程与渐近线方程联立
解得两点坐标分别为
；
同理可证。
3、由双曲线的一个焦点向一渐近线作垂线，垂线段长为定值，等于，且垂足恰在双曲线的准线上。
证明：如图2，设焦点，渐近线，即，
由点到直线的距离公式得：
；
又过点且与渐近线垂直
的直线方程为:，
两方程联立解得交点坐标为，显然该点在双曲线的准线上。
4、双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值，。
证明：设，则，点到两渐近线的距离之积：
5、经过双曲线上任一点，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于两点，则平行四边形的面积为定值，。
证明：如图3，设点到两渐近线的距离分别为，两渐进线的夹角为，则有：
，
代入上式并整理得：。
三、数学运用
课堂练习：课本41页练习1－4
四、布置作业
课 题：抛物线
教学目标：
掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。
教学重点：掌握抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
二、建构数学
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，
抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
由坐标表示得：
化简后得：
方案2：以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．
由坐标表示得：
化简得：
方案3：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系
设，则焦点坐标为，准线方程为，设
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
标准方程
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
三、数学运用
1、例1 求抛物线的焦点坐标和准线方程
解：因为，所以
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
2、求过点的抛物线的标准方程。
解：分两种情况讨论，设方程为或，分别将P点坐标代入
可以解得
因此满足条件的双曲线有两条，它们的非常分别为
和
3、课堂练习
课本45页练习1－5
四、回顾总结
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；有时为了简化运算，可设焦点在轴和轴上的非常分别为和，避免对抛物线开口方向的讨论。
五、布置作业
课 题：抛物线的几何性质（1）
教学目标：
1．掌握抛物线的简单几何性质；
2．能根据抛物线方程解决简单的应用问题。
教学重点：抛物线的几何性质。
教学难点：抛物线的几何性质的推导。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线标准方程的四种形式； 2、椭圆、双曲线的几何性质。
二、建构数学
根据抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质
1、范围 当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
2、对称性 抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3、顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4、抛物线的几何性质归纳
标准方程
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向 向右 向左 向上 向下
对称轴 x轴 y轴
顶点 坐标原点
抛物线的标准方程中的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段.
三、数学运用
1、例1 求顶点在原点，焦点为的抛物线的方程。
解 依据题意，设抛物线方程为
因为焦点为，所以
因此所求抛物线的标准方程为
2、例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光，应怎样安装灯泡？（精确到1mm）
解：如图，在车灯的一个轴截面上建立坐标系，设抛物线方程为，灯应安装在焦点F处。
在轴上取一点C，使OC=69cm，过C作x轴的垂线，交抛物线与A、B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以A点坐标为，将A点坐标代入方程，解得，它得焦点坐标约为。因此灯泡应该安装在距顶点35mm处。
3、课堂练习
课本47页练习1－3
4、（补充）正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.
分析:观察图8—26,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.
解：如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则：
,所以.
由此可得,,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且
∠Aox=30°,所以.
说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点。
四、布置作业
课 题：抛物线的几何性质（2）
教学目标：
1．掌握抛物线的简单几何性质；
2．抛物线性质的进一步研究。
教学重点：抛物线的几何性质。
教学难点：抛物线几何性质的探讨。
教学过程：
一、复习引入
1、抛物线的定义
2、抛物线的性质：范围、顶点、对称性
二、建构数学
如图，已知抛物线，AB过抛物线焦点F，设
1、焦半径：
2、焦点弦：
（1）（其中为直线AB与x轴所成的角）
（2）过焦点且与对称轴垂直的弦叫作通径，抛物线的通径长为
（3）若设,则
（4）
3、垂直问题
（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在准线上的射影分别为，则等于
（2）抛物线的焦点为F，相准线是，以过焦点F的一条弦为直径的圆恰与直线相切。
（3）过抛物线的顶点作两条互相垂直的直线分别交抛物线与两点，则直线过定点
4、最小值问题
（1）A（3，2）为一定点，点F是抛物线y2=2x的焦点，P点是抛物线y2=2x上的动点，当|PA|+|PF|最小时，P点的坐标是 （2，2）
（2）抛物线上距离点最近的点恰好是顶点，则这个结论成立的充要条件是
三、数学运用
1、抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是__________.
2、一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必经过点 。
3、长度为的线段AB的两个端点A、B都在抛物线上滑动，则线段 AB的中点M到y轴的最短距离为 。
4、抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6、设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）-3
7、抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是 ( B )
（A） （B） （C） （D）0
8、若抛物线的准线为，焦点坐标为，则抛物线的对称轴方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是（ ）
（A）11.25cm （B）5.625cm （C）20cm （D）10cm
10、已知点，直线，点是上的动点，若过B垂直于轴的直线与线段 的垂直平分线相交于点，则点的轨迹是（ ）
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）圆 （D）抛物线
11、双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值（ A ）
(A) (B) (C) (D)
12、抛物线的焦点作直线，交这条抛物线于两点，若，则（ ）
A、10 B、8 C、6 D、4
13、如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
（如图建立坐标系中得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
课 题：圆锥曲线的统一定义
教学目标：
1．了解圆锥曲线的统一定义；
2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法
教学重点：圆锥曲线的统一定义。
教学难点：圆锥曲线的统一定义。
教学过程：
一、创设情境
我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线L（F不在L上）
的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。如图即时，点P的轨迹
是抛物线。
下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P的轨迹又是什么曲线呢？动点P的轨迹怎么变化？
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二、师生探究
下面我们来探讨这样个问题：
例1 已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线
l：x=的距离的比是常数（a＞c＞0），求点P的轨迹。
解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合p=,
由此得
.
化简得
设，就可化为：
结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。
变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）
三、建构数学
下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）
结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）
下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）
对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：
如：焦点Ｆ(-c,０)与准线x＝－对应，焦点Ｆ(c,０)与准线x＝对应．
思考一：想一想，焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？
思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？
四、数学运用
1、如图,点Ｏ是椭圆中心,为焦点,为顶点,准线交轴于在椭圆上且 于,于F,关于曲线的离心率有如下数值:
⑴,⑵,⑶ ,⑷, ⑸
其中正确的个数是 （ ）
（A）２ （B）３ （C）４ （D）５
2、如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为（ ）
（A） （B） （C）8 （D）10
3、设点P是双曲线上一点，焦点点，使有最小值时，则点P的坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若｜FA｜=2｜FB｜，则椭圆的离心率为 ( )
? (A)?? ?(B) ?? ? (C)? (D)
5、方程表示的曲线是（ ）
(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)不能确定
6、求到点A（1,1）和到直线x+2y=3距离相等的点的轨迹。
五、布置作业
《数学之友》选T2.11圆锥曲线的统一定义
课 题：曲线与方程
教学目标：
1．了解曲线方程的概念；
2．能用曲线方程的概念解决一些简单问题
教学重点：曲线和方程的概念
教学难点：曲线和方程概念的理解。
教学过程：
一、创设情境
1、利用平面直角坐标系，可以把平面图形与坐标建立对应关系，如图：
2、回忆以前学习的直线与圆、圆锥曲线等说明
二、建构数学
1、曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
2、点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f (x0,y0)=0
三、数学运用
1、例1 判断点是否在圆上。
解：把点的坐标代入方程，可以发现，点的坐标是方程的解，点在圆上，而不满足方程，不在圆上。
变式：已知P1（x1,y1）是直线l：f（x,y）=0上一点，P2（x2,y2）是直线l外一点
所表示的直线与l的关系是
2、例2 已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱为6m，以圆拱所对的弦AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，求圆拱的方程。
解：设圆心，圆拱上任一点P(x,y)，满足，即
即
因为点在圆上，所以
解得
所以圆拱的方程是
3、例3 如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－,0)，N (,0)．
由 |AM|=，|AN|=3得
(xA＋)2＋2PxA=17， ①
(xA－)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得
或．
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．
∴ P=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
四、回顾总结
五、布置作业
课 题：求曲线的方程
教学目标：
1．了解解析几何的基本思想；
2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；
3．初步掌握求曲线的方程的方法.
教学重点：求曲线方程的一般步骤
教学难点：求曲线的方程。
教学过程：
一、复习回顾：
师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.
二、师生探究
引例 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.
解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合
.
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
将上式两边平方，整理得：
x+2y－7=0 ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即
x+2y1－7=0
x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
三、建构数学
求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.
四、数学运用
1、例1 长为（是正常数）的线段AB的两端点分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹。
解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，
建立平面直角坐标系如图
因为是直角三角形，M是AB的中点，所以
即
两边平方得
2、求平面内到两个定点A,B得距离之比等于2得动点M的轨迹方程。
解：以A,B所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，令，则A,B两点的坐标分别为。
设M点坐标为，依题意，点M满足
化简整理得。
所以动点M的轨迹方程为
3、课堂练习
课本57页练习1，2
五、回顾总结
建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习。
六、布置作业
课 题：曲线的交点
教学目标：
1．掌握求两条曲线交点坐标的方法；
2．进一步学习方程思想与数形结合的方法。
教学重点：求两条曲线交点坐标。
教学难点：求两条曲线交点坐标。
教学过程：
x
y
o
圆的定义 坐标系中的圆 圆的方程
o
F1
椭圆的定义 坐标系中的椭圆 椭圆的方程
o
y
x
？
F2
P
P
F1
F2
o
x
F1
F2
P
y
方程
曲线
坐标
点
Q
y
P
F2
F1
o
x
P
M
x
y
o
x
图1
o
y
F
图2
x
o
y
M
Q
P
图3
B/
A/
B
A
O
x
y
O
A
B
P
Q
D
Ｆ
O
A
B
x
y
C
P
x
y
o
A
B
M
M
B
A
o
y
x
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