2023年广西示范性高中高一年级联合调研测试
数学科
2023.4
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
本试卷命题范围；必修一（全一册）、必修二（第六章、第七章、第八章8.1至8.4）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C. D.
2.若复数，则（ ）
A． B． C. D.
3.已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C. D.
4．一物体在力和的作用下,由点移动到点,在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A． B． C. D.
5．如题图所示，长方体的
底面的斜二测直观图为平行四边形.
已知，则将该长方体截去
一个三棱锥后剩余的几何体体积为( )
A． B． C. D.
6. 下列命题为真命题的是( )
若，则 B.若，则
C. 若，则 D.若，则
7.若将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点中心对称，则的最小值是（ ）
A． B． C. D.
8. 若非零向量与满足，且,则为( )
A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线
C．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线
D．若是两条相交直线，且平面，则与的位置关系是平行或相交
10. 如题10图是函数的部分图象，则（ ）
A． B． C． D．
11. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为的偶函数，且，是奇函数，则（ ）
A． B． C. D.
12．已知分别是锐角三个内角的对边，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B. 的取值范围是.
C．的取值范围是 D. 若平分交AC于点，且=1，则的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知两个球的表面积之差为， 它们的大圆周长之和， 则这两个球的半径之差_______．
14．已知,若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
15．在菱形中， 是的中点， 是边上靠近点的三等分点，与交于点，若，则_______．
16．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为纯虚数；
（2）复数对应的点在第四象限．
18．（12分）
已知．
（1）若，求的值；
（2）求 的最值及取得最值时相应的的值．
19．（12分）
函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式．
20．（12分）
“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子 离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具．如题20图所示，有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为，较短边为.现将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长．
21．（12分）
已知在中，角的对边分别是，面积为，且 ．
在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
（1）求；
（2）若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（12分）
已知函数.
（1）若关于的方程的解是单元数集，求实数的取值范围;
（2）若对于任意,任意,恒有，求的最小值.2023年广西示范性高中高一年级联合调研测试
数学科参考答案
2023.4
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A A D B C
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 CD BCD ACD AC
三、填空题
13. 14. 15. 16.
1.【答案】D
【解析】
2.【答案】B
【解析】
3.【答案】C
【解析】
向量在上的投影向量为
4.【答案】A
【解析】由题可知物体的位移为
∵两个力的合力
∴两个力的合力对物体所作的功为
5.【答案】A
【解析】由底面的斜二测直观图为平行四边形可知：，
该长方体的体积，
三棱锥的体积，
所以该长方体裁去三棱锥后剩余的几何体的体积为.
6.【答案】D
【解析】对于选项A，当时不成立，选项A错误；
对于选项B，当时，选项B错误；
对于选项C，当，但，C选项错误；
对于选项D，由得：，又，所以，选项D正确.
7.【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数
由关于点对称得：，即
当时，取到最小值.
8.【答案】C
【解析】在的角平分线上，又，所以的角平分线与边垂直，故△ABC为等腰三角形；由得：,又 ，综上，△ABC底边和腰不相等的等腰三角形.
9.【答案】CD
【解析】对于选项A，当点在直线上时，该直线和点不能确定一个平面，选项A错误；
对于选项B，满足条件的直线还可能平行或者相交，选项B错误；
对于选项C，由直线和平面不平行可知：直线和平面相交或，但，所以直线和平面相交，故内不存在与平行的直线，选项C正确；
对于选项D，由平面可知：与平面内的直线没有公共点，又与相交，所以不在平面内，即与的位置关系只可能是平行或相交，选项D正确.
10.【答案】BCD
【解析】由图知，，所以，又，所以。
对于选项A，，是偶函数，而结合图象对应函数不是偶函数，选项A错误；
对于选项B，当时，，将点代入，得，解得，即，当时，得，所以，选项B正确；
对于选项C，，即，则，结合选项B正确，得到选项C正确；
对于选项D，，即，则，结合选项C正确，得选项D正确.
11.【答案】ACD
【解析】结合条件可以选择。
对于选项A，，选项A正确；
对于选项B， ，选项B错误；
对于选项C， ，选项C正确；
对于选项D，，选项D正确。
12. 【答案】AC
【解析】由及正弦定理得：
，即，
，又，选项A正确；
对于选项B，
是锐角三角形，即，解得：，
选项B错误；
对于选项C，由正弦定理得：
，选项C正确；
对于选项D，由得：
，
即，
，即，
当且仅当即时，取到最小值，但，选项D错误.
13.【答案】
【解析】设两个球的半径分别是，依题意，，得，所以。
14.【答案】
【解析】由是的充分不必要条件得：
又，所以，解得：,
所以的取值范围是
15.【答案】
【解析】如题15图，以为基底，，
由题知，，所以.
又因为三点共线，所以.
由平面向量基本定理得：，解得.
16.【答案】
【解析】作函数的图象（如题16图）
令，则
由函数有个零点及题16图可知：
关于的方程有个不等实数根，且或
或
即或
解得：或，即，
的取值范围是.
四、解答题
17.解：（1）由，…………3分
解得，所以当时，为纯虚数；…………5分
（2）由，…………7分
解得：，…………9分
所以当时，复数z对应的点Z在第四象限．…………10分
18. 解：（1）由得：
…………3分
，即，…………4分
又，即，，即.…………6分
（2）…………7分
…………9分
又，即…………10分
当，即时，取到最小值，最小值为；
当，即时，取到最大值，最大值为.…………12分
19. 解：由函数是定义在上的奇函数得：，解可得；…………1分
又，则有，解得:, …………2分
…………3分
（2）在区间上单调递增，证明如下：
设任意，且，则…………4分
…………5分
由得：，，，
，即，故在区间上单调递增. …………7分
（3）由是奇函数得：…………8分
又在区间上单调递增，所以，…………11分
解得：，即不等式的解集为…………12分
20. 解：（1）设的外接圆半径为，则，…………2分
由正弦定理…………4分
可得：.…………6分
（2）由正弦定理及得：，
，故为锐角，
，…………7分
，…………8分
由余弦定理得：
，…………10分
，又，…………11分
的周长为．…………12分
21. 解：（1）若选①，因为，
所以由正弦定理可得，…………2分
又，
，即，…………4分
又因为为三角形内角，，所以，…………5分
又因为，所以.…………6分
若选②，因为，
所以，…………2分
整理可得，
解得：或，…………4分
又因为，可得，
所以，…………5分
所以．…………6分
若选③，因为，所以，…………2分
可得，…………4分
即…………5分
又因为，所以．…………6分
（2）因为 ，所以，…………7分
因为是的中点，所以，…………8分
所以
…………10分
，所以当时，，即，
又，即
故线段长的取值范围为．…………12分
22.解：（1）由已知得: 关于的方程① 有唯一解,
即关于的方程，
亦即②有且唯一解满足方程①………1分
当，即时，方程②为，满足条件；………2分
②当时，方程②化为，解得:
若，即时， ，满足条件；………3分
若且时, 中有且只有一个是方程①的解,
当是方程①的解时， ，解得：，
当是方程①的解时，解得：，
故此时,满足条件有或解得: ………5分
综上, 实数的取值范围是………6分
(2)由任意,恒有得: ………7分
由在单调递减得：对于任意,
即恒成立………8分
对于任意,,即恒成立………9分
令 ,则
当且仅当，即，亦即时，取到最大值………11分
的最小值为.………12分
