6.2.3向量的数乘运算（2） 课件（共17张PPT）

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6.2.3 向量的数乘运算（2）
复习回顾
λ(μ1±μ2)=λμ1±λμ2.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量, , 以及任意实数λ, μ1, μ2, 恒有
设λ, μ为实数, 那么
(1) λ(μ)=(λμ);(结合律)
(2) (λ+μ)=λ+μ; (第一分配律)
(-λ)=-(λ)=λ(); (结合律)
(3) λ(+)=λ+λ (第二分配律).
λ(-)=λ-λ . (分配律)
一、向量数乘运算的运算律
特别地,
二、向量的线性运算
新知：共线向量定理
共线向量定理：
判断下列各小题中的向量与是否共线：
作者：湛江市第五中学钟景荣
(1) , ;
(2) , .
练习
例1 如图, 已知 ， 试判断 与
是否共线．
A
B
D
E
C
∴ 与 共线．
解：
例2.如图，已知任意两个向量 ，试作
猜想A、B、C三点之
间的位置关系，并证明你的猜想.
A
B
C
O
解:
,且有公共点Ａ
证明三点共线的方法:
小结:
AB=λBC 　　
试一试：
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
共线向量定理的运用——三点共线问题
①
AC
P143-4
运用：三点共线问题
共线向量定理的运用——求参数
相应向量
系数相等
练习 已知, 是两个不共线的向量, 向量, 共线, 求实数t的值.
练习 已知, 是两个不共线的向量, 向量, 共线, 求实数t的值.
解：由, 不共线, 易知向量为非零向量.
由向量, 共线,
否则, 不妨设, 则= ,由两个向量共线的充要条件知, 共线, 这与已知条件相矛盾.
可知存在实数λ, 使得
=
即=.
由于, 不共线, 必有==0 .
对于两个非零向量, 只有共线, 它们的和或差才有可能为零向量.
因此, 当向量, 共线时, .
由
解得 .
一般地, 若, 是两个不共线的向量, 且, (, )
则必有=0 .
作者：湛江市第五中学钟景荣
已知, 是两个不共线的向量, =-2, =2+k,
若与是共线向量, 求实数k的值.
练习 教材P16页第3题
作者：湛江市第五中学钟景荣
∵与是共线向量,
∴存在λ∈R,使得.
∴
所以实数k的值是-4.
解得
即2+k=λ(-2),
∴ 2+k=λ-2λ ,
已知, 是两个不共线的向量, =-2, =2+k,
若与是共线向量, 求实数k的值.
解：由已知得,
即.
∴
解得k=-4.
所以实数k的值是-4.
练习 教材P16页第3题
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC 　　
　　　　　　　　且有公共点Ｂ
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
A,B,C三点共线
AB∥CD
一、向量共线定理
向量 与 共线
小结