2022-2023学年陕西省西安市大联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市大联考高一（下）期中
数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共12小题，共60。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是边长为的正三角形，则向量在上的投影是( )
A. B. C. D.
2. 在中，已知是边上一点，若，，则( )
A. B. C. D.
3. 设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 已知复数，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为( )
A. B. C. D.
7. 已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 在复平面内，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若复数满足，则是实数
9. 如图，在长方体中，，则下列说法错误的是( )
A.
B. 与异面
C. 平面
D. 平面平面
10. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，则棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
11. 设，为向量，则是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. （多选） 下列说法正确的有( )
A. 已知，若与共线，则
B. 若，，则
C. 若，为锐角，则实数的范围是
D. 若，则一定不与共线
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角为______ ．
14. 如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为______．
15. 已知复数，的虚部减去它的实部所得的差为，则 ______ ．
16. 若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，在复平面内对应的点分别为，，．
若，求的值；
若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上，求的值．17. 本小题分
18. 本小题分已知向量．
若，求实数的值；
若可以构成平面上的一个基底，求实数的取值范围．
19. 本小题分
如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点，为上异于的任意一点，
求的值．
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
20. 本小题分
如图，三棱柱中，侧面侧面，，，为棱的中点，为的中点．
求证：平面；
，求三棱柱的体积．
21. 本小题分
如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．
证明：平面；
若，，证明：平面平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知，向量与的夹角为，
向量在上的投影是．
故选：．
根据平面向量数量积的几何意义，即可得解．
本题考查平面向量数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据题意可得，由此得解．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若，，则或或，故A错误．
B.若，，则或或，故B错误．
C.若，，，则，正确．
D.若，，，则或或，故D错误．
故选：
根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．
本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
4.【答案】
【解析】解：如图，
设底面正三角形的中心为，连接交于，则，
是边长为，，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得，
则，
要使三棱锥体积最大，则在的延长线与球的交点处，
三棱锥高的最大值为，
可得三棱锥体积的最大值为．
故选：．
由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再求出球心到平面的距离，得到三棱锥高的最大值，代入三棱锥体积公式求解．
本题考查多面体的外接球，考查多面体体积最值的求法，是中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．
先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式进行求解．
【解答】
解：，
则．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，，设正四面体的棱长为，则，
故，
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为．
故选：．
设正四面体的棱长为，结合勾股定理可求两球的半径，从而可得它们的体积之比．
本题考查了正四面体的内切球与外接球体积的计算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题可得，，所以要求的最小值，需求的最小值，
因为与的夹角为，
所以的最小值为，
所以，
即的最小值为．
故选：．
利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
两个虚数不能比较大小，故C错误；
设，则，
复数满足，
则，解得，故是虚数，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚数不能比较大小，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：如下图所示，连接，，，，
根据题意，由可得，，且；
同理可得，，且；
由，而，所以不可能平行于，即A错误；
易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；
在长方体中，，
所以，，即四边形为平行四边形；
所以，又，所以；平面，平面，
所以平面，即C正确；
由，平面，平面，所以平面；
又，平面，平面，所以平面；
又，且，平面，
所以平面平面，即D正确．
故选：．
根据题目信息和相似比可知，不可能平行于，与异面，可得A错误，B正确；再利用线面平行和面面平行的判定定理即可证明CD正确．
本题主要考查直线，平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为是矩形，，，
所以，
因此矩形的外接圆的直径为，
设棱锥的高为，
根据勾股定理可得，解得，
则棱锥的体积为．
故选：．
先求出矩形的对角线的长，再求出球心到矩形的距离，由此能求出棱锥的体积．
本题考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件．
利用向量的数量积公式得到 ，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】
解：若，至少有一个为零向量，显然成立；
若为非零向量，设的夹角为，
，
若，
则与的夹角为零角或平角，
即，故充分性成立．
而，若至少有一个为零向量，
则，
若为非零向量，
则与的夹角为零角或平角，
有，故必要性成立，
因此是的充分必要条件．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，与共线，则，解得，A正确；
当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；
，为锐角，则，且与不共线，
即，且，解得，C正确；
若，，满足，而与共线，D错误．
故选：．
利用共线向量的坐标表示判断；举例说明判断；利用向量数量积结合向量共线计算判断作答．
本题主要考查向量的共线，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，，
与互相垂直，
则，即，
又与互相垂直，即，
，；
由组成方程组，
解得，，
向量与的夹角的余弦值为，
所以向量与的夹角为．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以、所在直线分别为、，建立如图坐标系，可得
，，，
坐标为，，
，．
则的最大值为：．
故答案为：．
以、所在直线分别为、，建立如图坐标系，求出相关点的坐标，即可求解的表达式，确定最大值．
本题在一个直角三角形中求向量数量积的最大值，着重考查了直角梯形的性质、平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：，
且复数
，
，
解得或，
当，可得，
当，可得，
所以或．
故答案为：或．
根据题意列出方程，解方程求出的值，再求即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，正四棱柱的底面边长是，
所以它的体对角线的长是，
所以球的直径是，
所以这个球的表面积是：．
故答案为：．
先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．
本题考查正四棱柱的外接球的表面积．考查计算能力，是基础题．
17.【答案】解：，解得或；
，由于对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，解得．
【解析】由复数线性运算及模运算建立方程求解；
由复数乘法运算得，利用对应的点在第一、三象限的角平分线上建立方程求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
18.【答案】解：由已知可得，解得或．
因为可以构成平面上的一个基底，所以不平行，
所以，所以且，
即实数的取值范围是．
【解析】由向量数量积的坐标运算求解即可；
由不平行可得关于的不等式，求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：法：由已知可得，，
的值为一个常数为为线段的垂直平分线，与交与点，为上异于的任意一点，
，
故：
解法：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设点坐标为，
，
常数．
【解析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：由题意可以以所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
设点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可
本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量
20.【答案】证明：连结，，，是等边三角形，，
，，
又侧面侧面，侧面侧面，平面，
平面，平面，
D.
四边形是平行四边形，，四边形是矩形，
，，，，
又，∽，，
，，
又平面，平面，，
平面．
连结，，，平面，平面，，
平面，
平面，平面，
．
，，．
．
【解析】由是等边三角形可得，所以，利用面面垂直的性质得平面，故AH，在矩形中，由可证，从而平面．
连结，则可证明平面，由分割补形可知三棱柱的体积等于．
本题考查了线面垂直的判定与性质，棱柱的体积计算，属于中档题．
22.【答案】证明：连接交于点，则为中点，
连接，又是中点，
则，
因为平面，平面，
所以平面．
因为是直三棱柱，
所以平面，
又平面，
所以，
由已知，为的中点，
所以．
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以
由，，得，，，
故，即，
因为，D、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【解析】连接交于点，则为中点，连接，又是中点，证明，然后证明平面
证明，推出平面，得到，证明，然后证明平面，推出平面平面．
本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
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