江西省上犹县2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版含答案）

上犹县2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试卷
考生注意：
1.请将各题答案填写在答题卡上，填写在试卷上无效。
2.考试期间考生不得向监考老师提出任何与试卷内容相关问题，若有违反一律按考试舞弊处理（本场考试科目记做0分）。
3. 请勿在草稿纸上做任何标记，考试结束后请立即停止作答，由监考老师回收试卷、答题卡、草稿纸，期间考生不得离开考场。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（ ）里.
A．6 B．12 C．24 D．48
2．设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A．32 B．47 C．54 D．86
3．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．将一枚质地均匀的骰子先后拋两次，设事件{两次点数互不相同}，{至少出现一次3点}，则
A． B． C． D．
5．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为
A．6 B．4 C．94 D．96
6．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知实数满足，，，则的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．12
8．若存在，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中各项系数和为
C．第项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为
10．已知等差数列前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列是递减数列 D．为的最大值
11．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
三、填空题（共20分）
13．已知函数，则 的值为_________.
14．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______.
15．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________ .
16．已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
四、解答题（共70分）
17．（本小题10分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
18．（本小题12分）已知数列，满足，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求.
19．（本小题12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点在椭圆的长轴上，且椭圆的四个顶点到抛物线准线的距离之和等于6，求抛物线的方程．
20．（本小题12分）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值．
21．（本小题12分）已知各项均为正数的数列满足，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项之和为，对任意的，总有，求实数的取值范围.
22．（本小题12分）已知，其导函数为
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若，则函数的图象上是否存在一个定点，，使得对于任意的，都有成立 证明你的结论．
1．B
设此人第天走里路，由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列，
由等比数列前n项和公式得：，解得，
∴
故选：B.
2．D
解：由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
其首项为2，公差为13,
∴，
故选：D
3．A
因为若函数在区间上单调递减，则其导函数在区间上恒小于等于零，即有，
令，显然其在上单调递减，则
故
故选：A
4．D
由题意事件={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是，至少出现一个三点的情况分二类，给两个骰子编号，号与号，若号是出现三点，号没有三点，共五种，号是三点，号不是三点，有五种，故至少出现一个三点且没有两点相同的情况是种，故，应选D.
考点：条件事件的概率及求法．
5．B
由题意，知，可得，
又由对称轴为，所以，
所以成绩小于分的样本个数为个．
故选B．
6．D
的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.
故选：D
7．D
如图：
设，，则原题等价于点 ， 是圆上两点，
并且，所以 ，
，
所以所求最大值就是 两点到直线 的距离之和 的 倍，
设AB的中点为M，由上图可知： ，就是M点到直线 的距离的 倍，
由于 是直角三角形， ，设的中点为，所以在圆上运动，
所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值，
显然，最大值=原点O到直线 的距离与圆 的半径之和的 倍
；
故选：D.
8．A
解：由得，
即，
即设，则，
则条件等价为，即有解，
设，为增函数，
，
当时，，当时，，
即当时，函数取得极小值为，
即，
若有解，则，即，则或，
实数的取值范围是．
故选：A．
9．ABD
由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；
令，得，B选项正确；
时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；
，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项正确；
故选：ABD.
10．BCD
解：在等差数列中，，
设公差为，则，
即，所以数列是递减数列，正确．
，错误．
，正确．
，
对应的抛物线开口向下，对称轴为，当或，取得最大值，正确．
故选：．
11．AD
由题，，，
若在上为“凸函数”，则在上成立，
即，，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，
所以，为充要条件，
由选项可知，必要不充分条件可以是：或，
故选：AD.
12．BD
令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，
令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则有，
所以，，
当，令，则有，
所以，所以，所以为奇函数，
综上，为奇函数，故C错误；
令，则，
所以，故D正确．
故选：BD．
13．2.
根据导数的定义知,
由，所以，
则
故答案为2
14．
记“第一次取到白球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，“第二次才取到黄球”为事件，所以.
故答案为：.
15．7
由题意，当时，，又，解得，
当时，由，
所以，，即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
又，，
所以，
.
故答案为：.
16．
对于函数．
当时，．
令，解得：或；令，解得：；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
而，；，．
当时，．
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增．
而；，，．
作出的图像如图所示：
解关于的方程有两个不相等的实数根,
即关于的方程有两个不相等的实数根，
只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根，
即函数与有一个交点，横坐标．
结合图像可得：或，
所以的取值范围是．
17．（1）；（2）最大值为，最小值为
（1）由题意得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以在上的最大值为，最小值为.
18．（2）.
（1）由，得，
所以，因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列.
（2）设，
由（1）得数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，
所以，
所以，
且.
所以是首项，公差为的等差数列，
所以.
19．（1）；（2）
解：（1）由题意得e ==，所以c =，所以①，
又点在E上，所以②，
联立①②，解得，所以椭圆E的方程为．
（2） 设抛物线的方程为：，
由题意得：椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6，
又因为椭圆长轴上的两个顶点到准线的距离和为4，所以，则
即的方程为．
20．(1)
(2)
(3)
（1）解：取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
（2）解：取中点，连接，，
则因为为中点，所以为的中位线，
所以且，
因为为的中点，四边形为矩形，
所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以；
（3）连接，过作于点，由题意得平面，
因为，所以，
所以为的平面角，即，
所以，，
过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,1,，,2,，,2,，，
设平面的法向量为，又，
则，令，则，
设平面的法向量为,,，又因为，
则，令，可得：，
设两平面夹角为，
则
所以平面和平面夹角余弦值为.
21．(1) (2)
（1）由得，
∵，∴，∴，
∴数列是以2为公比的等比数列.
设数列的首项为，又，
∴，.
（2）由（1）知，∴，
则数列的前项和为 .
由，可得，即.
∵对任意的，总有，∴，
∴实数的取值范围是.
22．（1）.
（1），
，
切线方程：
（2）假设存在定点满足条件．
由得：
又因为点在曲线上，
所以，
又
所以
又
故，
变形得，
令，则，
构造函数
所以在单调递增，又，故只有唯一解，
即，又因为，所以，故不存在定点满足条件．