2022-2023学年广东省佛山市S7高质量发展联盟高一（下）第一次联考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市S7高质量发展联盟高一（下）第一次联考数学试卷（4月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，则( )
A. B. C. D.
2. 若向量，，与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 为得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
4. 如图所示，、、三点在地面同一直线上，，从、两点测得点的仰角分别是、则点离地面的高等于( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6. 已知的三边长为，，，其外心为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 若，是第二象限的角，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，能确定为锐角的有( )
A. B.
C. ，均为锐角，且 D.
10. 已知函数，则以下说法中正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 是的一个对称中心
D. 当时，的最大值为
11. 如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 关于函数下列说法正确的有( )
A.
B. 不等式的解集是
C. 若方程有个实数根，则
D. 若存在实数，，满足，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知为一个单位向量，与的夹角是若在上的投影向量为，则______．
14. 若，则 ．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，若的面积为，且，，则外接圆的面积为______．
16. 函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点．
若点的横坐标为，求的值．
若将绕点逆时针旋转，得到角即，若，求的值．
18. 本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求的解析式及对称中心坐标；
Ⅱ先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值．
19. 本小题分
已知向量，，，．
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
20. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知为锐角，．
求；
若，且边上的高为，求的面积．
21. 本小题分
在中，，，，为边的中点，为中线的中点．
求中线的长；
求与的夹角的余弦值．
22. 本小题分
设，函数，．
讨论函数的零点个数；
若函数有两个零点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
所以，
化简得，
解得；
又，
所以，
所以．
故选：．
由同角的三角函数关系求出，再利用二倍角公式计算的值．
本题考查了同角三角函数的关系及二倍角公式计算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，，
，，
与共线，
，解得．
实数的值为．
故选：．
利用平面向量坐标运算法则先求出，，再由与共线，能求出实数的值．
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
只需将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选：．
先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，
在中，由正弦定理得，即，
在中，．
故答案为：．
先在中根据正弦定理表示，再在表示出，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，且，
，即，，
．
故选：．
由数量积的坐标运算列式求解，再由二倍角的正切求解．
本题考查数量积的性质及运算，训练了倍角公式的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，的三边长为，，，其外心为，三角形是直角三角形，
为斜边的中点，
故选：．
根据为的外心推出的位置，然后利用向量的数量积的运算转化求解可得出答案．
本题考查了三角形外心的定义，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知，是第二象限的角，
故，
所以
故选：．
直接利用三角函数的定义和半角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义和关系式的变换，半角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8.【答案】
【解析】解：，，
由正弦定理可得：，可得，
，解得：，
由余弦定理可得：，解得：．
故选：．
由已知及正弦定理可得：，利用同角三角函数基本关系式可得，利用三角形面积公式可求，由余弦定理即可解得的值．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，为锐角，故A正确；
对于，，，，为钝角，故B错误；
对于，，均为锐角；且，，，可得，则为锐角，故C正确；
对于，，由正弦定理得，，，则，为锐角，故D正确．
故选：．
利用余弦定理判断为锐角，判断的正误；通过向量的阿拉基判断为钝角，判断；利用数据想的边角关系，判断为锐角，判断的正误；正弦定理判断的正误．
本题考查命题的真假的判断与应用，三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，向量的数量积的应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，二倍角公式，诱导公式以及正弦函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由诱导公式和二倍角公式，可将化简为，再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项即可．
【解答】
解：，对于选项，最小正周期，即选项A正确；
对于选项，令，则，即选项B正确；
对于选项，令，，则，，取，得，此时，所以是的一个对称中心，即选项C正确；
对于选项，因为，所以，当，即时，取得最大值，即选项D错误．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
由向量的线性运算即可判断选项A，；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项C，．
【解答】
解：对于，由，所以，故A正确；
对于，由，可得，
所以，
所以，故B不正确；
对于，，
因为，所以，
所以，
所以，故C不正确；
对于，，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：选项，，A正确；
选项，时，，解得，或，
时，，无解，所以不等式的解集是，B正确；
选项，时，，时，单调递减，，，若方程有个实数根，则，C错误；
选项，因为存在实数，，满足，则有个不同的交点，其中，关于对称，故，
当时，，故的取值范围是，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为，D正确．
故选：．
根据分段函数的性质逐项求解即可．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
因为在上的投影向量为，
所以．
故答案为：．
由已知结合向量数量积的定义及性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的定义及投影的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式可求的值，进而利用二倍角的余弦公式即可计算得解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：由余弦定理：，可得：，
又，可得，
由，可得：，可得，
，
，
设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，
，，可得：，
外接圆的面积．
故答案为：．
由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求，结合范围，可求的值，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，利用圆的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
对任意恒成立，
，在上的最大值为，
，的最小值是．
故答案为：．
化简得，根据条件得在上恒成立，然后求出在上的最大值即可．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：在单位圆上，且点的横坐标为，
则，，
．
由题知，则，
又，
则．
【解析】本题主要考查了三角函数的定义，二倍角公式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
由题意，利用三角函数的定义可求，的值，进而利用二倍角公式即可计算求解．
由题可得，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．
18.【答案】解：Ⅰ根据函数的部分图象，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有
根据图象可得，是的图象的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
Ⅱ先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得的图象，
再向右平移个单位，得到的图象，
最后将图象向上平移个单位后得到的图象．
令，求得，可得的减区间为，，
结合，可得的单调减区为
，故当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为．
【解析】Ⅰ由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论．
Ⅱ由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值．函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ设，
，
解得或，
当时，
，
，
，
解得，
当时，
，
，
，
解得，故．
Ⅱ设与的夹角
由Ⅰ可知，当时，，
则，
当时，取最小值，则，，
，
当时，，
则，
当时，取最小值，则，，
，
．
综上所述，当取最小值时，与的夹角的余弦值为．
【解析】本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直以及二次函数的性质，属于中档题．
Ⅰ根据向量的数量积和向量的模，先求出，再根据向量的垂直即可求出的值，
Ⅱ根据二次函数的性质即可求出的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
20.【答案】解：因为，所以，
由余弦定理得，，所以，即，
由正弦定理得，，所以，
因为为三角形内角，所以，故，由为锐角，．
由题意得，，所以，
因为，所以，，
由余弦定理得，，解得，
所以．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．属于基础题．
由已知结合正弦定理，余弦定理进行化简可求，进而可求；
由已知结合三角形面积公式可得，，之间关系，然后结合余弦定理可求，再由三角形面积公式可求．
21.【答案】解：以点为原点，为轴，过点且垂直于的直线为轴建系，
则，，，
因为为边的中点，所以，
，所以．
因为为中线的中点，由知，，
所以，
所以，
，
所以．
【解析】建立直角坐标系，利用向量的模可求得的长；
利用向量的夹角公式求解即可．
本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，是中档题．
22.【答案】解：，．
由可得，
令，
由可得，
故，
当或，即或时，无解；
当，即时，有一解，此时仅有一解；
当，即时，有两解，此时各有一解，有两个零点，
综上，时，无零点，
时，一个零点，
时，有两个零点；
证明：函数有两个零点，，
令，，
则，为方程的两根，
则，，
所以，
两边平方得，
因为，
所以，
所以，
由可得，
所以，
则，
因为在上单调递减，
所以，
即．
【解析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数的性质可求；
先令，，由题意得，为方程的两根，，然后结合余弦函数单调性即可证明．
本题主要考查了函数性质在函数零点个数判断中的应用，还考查了函数单调性在不等式证明中的应用，属于难题．
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