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九年级（上）一元二次方程单元测试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，一元二次方程共有个．( )
；；；；；．
A. B. C. D.
2. 方程的二次项系数是，则一次项系数，常数项分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 若是关于的一元二次方程为系数的根，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
6. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
7. 若，则代数式的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
8. 若关于的方程的两个根分别为和，则二次三项式可因式分解为( )
A. B. C. D.
9. 电影流浪地球讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事一经上映就获得追捧，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程( )
A. B.
C. D.
10. 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 若一元二次方程有一根为，则 ．
12. 方程是关于的一元二次方程，则_______．
13. 在______的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根．
14. 对于实数，，定义运算“”，例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则 ．
15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的部分种上草．要使草坪的面积为，道路的宽应是多少？
设路宽为，列方程得： ．
16. 如图，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物如图，已知一款塔吊的平衡臂部分构成一个直角三角形，且，起重臂可以通过拉伸进行上下调整现将起重臂从水平位置调整至位置，使货物到达位置挂绳的长度不变且始终与地面垂直，测得货物升高了米，且到塔身的距离缩短了米，．
点到的距离的长为 米
的长为 米
三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）
17. 按要求解下列方程
用配方法 用公式法
18. 已知关于的方程 ．
求证：方程一定有两个实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
19. 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
；
．
四、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
若为正整数，求的值；
若，满足，求的值．
21. 本小题分
某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．
为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为平方米，那么小路的宽是多少米？
22. 本小题分
某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个．
若使这种背包的月均销量不低于个，每个背包售价应不高于多少元？
在的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是元？
这种背包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
23. 本小题分
阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______；_______．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
本小题分
如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为
求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标；
动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？
当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标.
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九年级（上）一元二次方程单元测试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，一元二次方程共有个．( )
；；；；；．
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是根据一元二次方程的定义逐个进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：，符合一元二次方程的定义，故正确；
，没有二次项系数不为这个条件，不符合一元二次方程的定义，故错误；
不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故错误；
，符合一元二次方程的定义，故正确；
，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故错误；
，方程整理后，未知数的最高次数是，不符合一元二次方程的定义，故错误；
一元二次方程共有个，
故选B．
2. 方程的二次项系数是，则一次项系数，常数项分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式中的二次项系数、一次项系数及常数项，将原方程化成一般式是解题的关键．
一元二次方程的一般形式是：是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
先把方程化成一般形式，再确定一次项系数，常数项即可．
【解答】
解：方程化成一般形式是，
一次项系数为，常数项为．
故选C．
3. 若是关于的一元二次方程为系数的根，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】解：把代入方程中，得
，解得，
，
，
故选：．
把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值．
本题考查的是一元二次方程解的定义，能使方程成立的未知数的值，就是方程的解．
4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
【答案】
D
【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：，且．
故选：．
由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．
5. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】
D
【解析】解：方程的左边变形为：，
，即或，
解得：或，
则的值为或．
故选：．
把方程左边的第一、三项写出完全平方的形式，根据完全平方公式的特点：两数的平方和加上或减去这两个数积的倍，等于两数和或差的平方，得到第二项为第一、三项平方底数积的倍，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，也考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．同时本题的值有两解，注意不要漏解．
6. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】
B
【解析】
【分析】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出两根和为是解题的关键．由两根互为相反数可知两根之和为，再由根与系数的关系可得到关于的方程，即可求得的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系得，
互为相反数的两数之和为，
，
解得或，
当时，原方程为，方程无解；
当时，原方程为，，符合题意，故．
故选B．
7. 若，则代数式的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了换元法、因式分解法解一元二次方程，以及代数式求值。把看做为一个整体，记作，则原方程可变形为，通过因式分解法解得，，因为，从而得到代数式的值。
【解答】
解：令，
则原方程可变形为，
，
或，
解得，，
又，
，
故选：．
8. 若关于的方程的两个根分别为和，则二次三项式可因式分解为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程，用到的知识点为：若一元二次方程的两根为，，那么一元二次方程可整理为．
根据方程的两根为与，再根据等号左边的二次三项式分解为，它的根才可能是，，即可求出的分解形式．
【解答】
解：若方程的两根为与，
那么可化为：，
，
故选C
9. 电影流浪地球讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事一经上映就获得追捧，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程( )
A. B.
C. D.
【答案】
C
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】
解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故正确；
方程有两个不相等的实根，
则方程的判别式
方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则
若，等式仍然成立
但不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
或
或
故正确．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 若一元二次方程有一根为，则 ．
【答案】
【解析】解：把代入一元二次方程得：，
即．
故答案是：．
由方程有一根为，将代入方程，整理后即可得到的值．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12. 方程是关于的一元二次方程，则_______．
【答案】
【解析】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得，，
，
故答案为．
根据一元二次方程的定义得出且，求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高指数为，二次项系数不等于．
13. 在______的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【答案】
【解析】解：
要使方程有两个相等的实数根，则
得
故一次项为
故答案为
要使方程有两个相等的实数根，即，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根，但有个共轭复根．上述结论反过来也成立．
14. 对于实数，，定义运算“”，例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】
【解析】略
15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的部分种上草．要使草坪的面积为，道路的宽应是多少？
设路宽为，列方程得： ．
【答案】
【解析】见答案
16. 如图，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物如图，已知一款塔吊的平衡臂部分构成一个直角三角形，且，起重臂可以通过拉伸进行上下调整现将起重臂从水平位置调整至位置，使货物到达位置挂绳的长度不变且始终与地面垂直，测得货物升高了米，且到塔身的距离缩短了米，．
点到的距离的长为 米
的长为 米
【答案】
；
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用和实际问题和一元二次方程，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
根据货物升高了米即可解得；
过点作于点，由题意易得，，米，米，则四边形是矩形，设米，则米，然后根据勾股定理可得的长，设米，在中，利用勾股定理得出，在中，利用勾股定理得出，进而列式计算即可求出的值，从而得出答案．
【解答】
解：货物升高了米，
米；
故答案为：．
如图，过点作于点，
由题意得：，，米，米，
四边形是长方形，
，，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
米，米，
设米，
米，
米，米，
在中，，
，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：或舍去；
即的长为米．
故答案为：．
三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）
17. 按要求解下列方程
用配方法 用公式法
【答案】
解：，
，
，
，
所以，；
，，，
，
，
所以，．
【解析】本题考查了解一元二次方程配方法，解一元二次方程公式法．
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
根据求根公式求方程的解．
18. 已知关于的方程 ．
求证：方程一定有两个实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
【答案】
证明：，
，
方程一定有两个实数根；
解：
，，
方程的两个实数根都是整数，
正整数或．
【解析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程一定有两个实数根；
利用因式分解法求出，，然后利用整除性确定的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
19. 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
；
．
【答案】
解：设，则原方程可变形为．
．
或．
当时，
，；
当时，
，．
原方程的解为：，，，；
设，则．
所以原方程可化为：．
．
或舍去．
当时，
．
两边平方，得．
．
．
，．
经检验，是原方程的解，
原方程的解为：，．
【解析】设，把原方程转化为关于的一元二次方程，先解关于的方程，再利用直接开平方法求出；
设，把原方程转化为关于的一元二次方程，先解关于的方程，再解无理方程求出．
本题考查了利用换元法解高次方程和无理方程，看懂题例掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键．
四、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
若为正整数，求的值；
若，满足，求的值．
【答案】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
为正整数，
或；
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
，
解得：，，
，
．
【解析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
由根与系数的关系可得：，，把变形为，代入解方程即可得到结论．
21. 本小题分
某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．
为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为平方米，那么小路的宽是多少米？
【答案】
解：设与墙垂直的一边为米，另一边则为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，舍去
当时，，此时，另一边长为米，
答：这个车棚的长为米，宽为米．
设小路的宽为米，
根据题意得：，
，
解得：舍去，，
经检验符合题意．
答：小路的宽为米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
设与墙垂直的一边为米，然后可得另一边为米，然后利用其面积为平方米列出方程求解即可；
设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案．
22. 本小题分
某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个．
若使这种背包的月均销量不低于个，每个背包售价应不高于多少元？
在的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是元？
这种背包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】
解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个，
依题意，得：，
解得：．
答：每个背包售价应不高于元．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当这种背包销售单价为元时，销售利润是元．
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，
答：这种背包的销售利润不可能达到元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
设每个背包的售价为元，则月均销量为个，根据月均销量不低于个，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；
根据总利润每个背包的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论；
根据总利润每个背包的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种背包的销售利润不能达到元．
23. 本小题分
阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______；_______．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．
【答案】
解：，；
一元二次方程的两根分别为、，
，，
；
实数、满足，，
与看作是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
．
【解析】一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
见答案；
见答案；
根据根与系数的关系进行求解即可；
根据根与系数的关系可得：，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
可把与看作是方程的两个实数根，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把，看作是相应的方程的两个实数根．
24. 本小题分
如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为
求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标；
动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动设点运动的时间为秒，求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？
当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】
解：四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为
根据题意得：，
化简得：，
解得：，
即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半．
秒时，的面积是平行四边形的一半．
综上所述，或时，的面积是平行四边形的一半．
时，由知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
根据平行四边形的性质，可知点的坐标为，，
时，同法可得：或或
【解析】根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点；
，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可；
根据中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可．
本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据准确列出方程式，求出满足题意的值，有一定的难度，同时要注意细心运算．
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九年级（上）一元二次方程单元测试卷 28.若关于 x 的方程 3x + px + q = 0 的两个根分别为 2 和 3 3x2， 则二次三项式 + px + q 可 因式分解
为 ( )
A. (x 2)(x + 3) B . (x + 2)(x 3) C . 3(x 2)(x + 3) D. 3(x + 2)(x 3)
姓名： 班级：
准考证号 9.电影《流浪地球》讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开
考场/座位号：
启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事 . 一 经上映就获得追捧，第一天
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项 票房收入约 8 亿 元，第三天票房收入达到了 11.52 亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
率为 x ，则可列方程 ( )
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 8(1 + x) = 11.52 2 23．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 A. B. 8(1 + 2x) = 11.52 C. 8(1 + x) = 11.52 D . 8(1 x) = 11.52
4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 2
10.对于一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) ，下列说法：
5．保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] ①若 a + b + c = 0 ， 则 b2 4ac 0 ；
正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] ②若方程 ax2 + c = 0 有两个不相等的实根，则方程 ax2 + bx + c = 0 必 有两个不相等的实根；
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
2
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] ③若 c 是 方程 ax + bx + c = 0 的一个根，则一定有 ac + b + 1 = 0 成立；
x ax2 + bx + c = 0 b2 4ac = (2ax + b)2④若 0 是 一元二次方程 的 根，则 0
客观题
其中正确的 ( )
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
A. 只有①② B . 只有①②④ C. ①②③④ D . 只有①②③
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
填空题
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 211. 若 一元二次方程 ax bx 2020 = 0 有一根为 x = 1 ，则 a + b = __________ .
m2 2
( ) 12. 方程 (m 2)x + (5 + m)x + 3 = 0 是 关于 x 的 一元二次方程，则 m = _______.1.下列方程中，一元二次方程共有 个．
2 2
① x2 2x 1 = 0 ； 2 ② ax + bx + c = 0 ； 2 13. 在 x + ______ +4 = 0 的括号中添加一个关于 x 的 一次项，使方程有两个相等的实数根． ③ + 3x 5 = 0 ；④ x = 0 ； ⑤
x2 2
(x 2 a ab(a > b),1) + y2 = 2 ； ⑥ (x 1)(x 3) = x2. 14. 对于实数 a ， b ， 定义运算“ ”， a b = { 例 如 4 2 ， 因为 4 > 2 ， 所以ab b2 (a b),
A. 1 B. 2
4 2 = 42 4× 2 = 8. 若 x1 ， x2 是一元二次方程 x2 8x + 16 = 0 的两个根，则 x1 x2 =
C. 3 D. 4
__________.
2
2.方程 2x 6x = 9 的 二次项系数是 2 ，则一次项系数，常数项分别为 ( )
15. 如图，在宽为 12m 、 长为 20 m 的矩形地面上修筑相同宽度的道路，余下的部分种上草．要使草坪的面A. 6 ， 9 B. 6 ， 9 C . 6 ， 9 D . 6 ， 9
积为 180 m2 ，道路的宽应是多少？
3.若 x = 0 是 关于 x 的一元二次方程 (k 1)x2 + 3x + k2 1 = 0(k 为 系数 ) 的根，则 k 的值为 ( )
设路宽为 x m ， 列方程得：__________.
A. k = 1 B . k = 1 C . k ≠ 1 D. k = ±1
4.若一元二次方程 ax2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( )
A. a < 1 B. a 1
C. a 1 且 a ≠ 0 D. a < 1 且 a ≠ 0
16. 如 图 1 ， 塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物 . 如 图 2 ， 已知一款塔吊的平衡臂
2
5.若方程 9x (k + 2)x + 4 = 0 的左边可以写成一个完全平方式，则 k 值 为 ( ) ABC 部分构成一个直角三角形，且 AC = BC ， 起重臂 AD 可以通过拉伸 BD 进 行上下调整 . 现将起
A. 10 B . 10 或 14 C. 10 或 14 D . 10 或 14 重臂 AD 从 水平位置调整至 AD1 位置，使货物 E 到 达 E1 位置 ( 挂绳 DE 的 长度不变且始终与地面垂直
关于 x 的一元二次方程 x2 + (a26. 2a)x + a 1 = 0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为 ( ) ) ，测得货物 E 升 高了 24 米，且到塔身 AH 的距离缩短了 16 米， AB⊥ BD1 .
A. 2 B . 0 C. 1 D. 2 或 0
2 2 2
7.若 (a + b ) 2(a2 + b2) 3 = 0 ，则代数式 a2 + b2 的值为 ( )
A. 1 或 3 B. 1 或 3 C . 1 D. 3
答 题 卡 答 题 卡
19. 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程： (x2 6)2 (x2 6) 2 = 0.
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的
基本方法是“降次”，我们发现本方程是以 x2 6 为基本结构搭建的，所以我们可以把 x2 6 视为一个整
体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法
叫做换元法．
解：设 x2 6 = m ， 则原方程换元为 m2 m 2 = 0.
(1) 点 D1 到 AD 的距离 D1F 的 长为__________米 ; (m 2)(m + 1) 解得： m1 = 2 ， m2 = 1
2 2
(2)AC 的 长为__________米. ∴ x 6 = 2 或 x 6 = 1.
解得 x1 = 2√2 ， x2 = 2√2 ， x3 = √5 ， x4 = √5.
计算题
请参考例题解法，解下列方程：
17. 按要求解下列方程 (1)x4 5x2 + 6 = 0 ；
(1)x2 4x = 5\ ( 用配方法 ) (2)2x2 3x + 1 = 0 ( 用公式法 ) (2)x2 + 3x √x2 + 3x 2 = 0.
2
18. 已 知关于 x 的方程 kx + (k + 3)x + 3 = 0(k ≠ 0).
(1) 求 证：方程一定有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数 k 的值．
解答题
2 2
20. 已 知关于 x 的 一元二次方程 x 2(a 1)x + a a 2 = 0 有 两个不相等的实数根 x1 ， x2.
(1) 若 a 为 正整数，求 a 的 值；
(2) 若 x ， x 2 2 1 2 满 足 x + x x1x2 = 16 ， 求 a 的值．1 2
答 题 卡 答 题 卡
九年级（上）一元二次方程单元测试卷 22. 某 商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个 30 元 的价格进货，经过市场发现当每个背包的
售价为 40 元 时，月均销量为 280 个 ，售价每增长 2 元，月均销量就相应减少 20 个 ．
(1) 若使这种背包的月均销量不低于 130 个，每个背包售价应不高于多少元？
姓名： 班级： (2) 在 (1) 的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是 3120 元？
准考证号
考场/座位号： (3) 这 种背包的销售利润有可能达到 3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项
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1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
5．保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
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正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
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21. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为 12 米 ．计划建造车棚 23. 阅 读材料：
的面积为 80 平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为 26 米 ． 材料 1 ：若关于 x
2
的一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 的 两个根为 x1 ， x2 ，则
b c
x1 + x2 = ， x1x2 =
a a
材料 2 2 ：已知一元二次方程 x x 1 = 0 的 两个实数根分别为 m ， n 2 2 ，求 m n + mn 的 值．
解： ∵ 一元二次方程 x2 x 1 = 0 的两个实数根分别为 m ， n ，
2 2
(1) 为 了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个 2 米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为 ∴ m + n = 1 ， mn = 1 ，则 m n + mn = mn(m + n) = 1 × 1 = 1
多少米？ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
2
(2) 如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为 (1) 材料理解：一元二次方程 2x 3x 1 = 0 的 两个根为 x1 ， x2 ，则 x1 + x2 = _ ______；
54 平 方米，那么小路的宽是多少米？ x1x2 = _ ______.
n m
(2) 2类 比应用：已知一元二次方程 2x 3x 1 = 0 的两根分别为 m 、 n ， 求 + 的值．
m n
1 1
(3) 思 维拓展：已知实数 s 、 t 满足 2s2 3s 1 = 0 ， 2t2 3t 1 = 0 ，且 s ≠ t ，求
s t
的值．
答 题 卡 答 题 卡
24. 如 图，在直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 OABC 是 平行四边形，点 A 的 坐标为 (14, 0) ， 点
B 的坐标为 (18, 4√3).
(1) 求 点 C 的 坐标和平行四边形 OABC 的 对称中心的点的坐标；
(2) 动 点 P 从 点 O 出发，沿 OA 方 向以每秒 1 个单位的速度向终点 A 匀 速运动，动点 Q 从点 A 出发，
沿 AB 方 向以每秒 2 个 单位的速度向终点 B 匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动 . 设点 P 运 动的
时间为 t 秒，求当 t 为何值时， △ PQC 的面积是平行四边形 OABC 的 一半？
(3) 当 △ PQC 的 面积是平行四边形 OABC 面 积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点 M ， 使以
M 、 P 、 Q 、 C 为 顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 M 的坐标.
