余姚中学 2022 学年第二学期期中考试高二数学试卷
命题：丁莉静 审题：王澎钿
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．若集合 A= x | y = 4 x2 ，B = x | y = ln (1 x) ，则 A B =（ ▲ ） R
A． (1,2 B． 1,2 C． 2,1) D． 2,1
2．若复数 z 满足 i (1 z) = 1，则 z 的虚部为（ ▲ ）
A． i B． i C．1 D． 1
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，
则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ▲ ）
2
A． B． C． 2 D．2 2
2 2
4．将 2 个男生和 4 个女生排成一排，则男生既不相邻也不排两端的概率为（ ▲ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 5 3 5
5．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃
t
圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率v 与时间 t（月）近似地满足关系v = a b（其中a,b
为非零常数）．若经过 6 个月，这种垃圾的分解率为 5%，经过 12 个月，这种垃圾的分解率为 10%，那么这种
垃圾完全分解大约需要经过（ ▲ ）个月（参考数据： lg 2 0.3）
A．20 B．28 C．32 D．40
2 2
6．已知直线 y = kx +m（m 为常数）与圆 x + y = 4交于点M , N ．当 k 变化时，若 MN 的最小值为2，则m=
（ ▲ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 2
7．在边长为2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点 P 是圆Q
上及其内部的动点，则 AP AB的取值范围是（ ▲ ）
A． 2,8 B． 4,8 C． 2,10 D． 4,10
a
8．设函数 f (x) = ln x，g (x) = x (x 0,a 0)，若存在直线 l 既是曲线 y = f (x)的切线，也是曲线 y = g (x)
的切线，则实数 a 的取值范围是（ ▲ ）
(
1 1 1
A． 1,+ ) B． ,+ C． ,1 (1,+ ) D． 0, (1,+ )
e e e
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．某兴趣小组研究光照时长 x（单位：小时）和向日葵种子发芽数量 y（单位：颗）
之间的关系，采集 5 组数据，作如图所示的散点图．若去掉D(10,2)后，下列
说法正确的是（ ▲ ）
A． x 与 y 的线性相关性变强 B．样本相关系数 r 变小
C．残差平方和变大 2 D．决定系数R 变大
（第 9 题图）
10．已知正方体 ABCD A1BC D ，则（ ▲ ） 1 1 1
° °
A．直线BC 与DA 所成的角为90 B．直线BC 与CA 所成的角为90 1 1 1 1
C．直线BC1与平面BB D D 45
° °
所成的角为 D．直线BC1与平面 ABCD所成的角为 45 1 1
11．如图是函数 f (x) = sin ( x+ )的部分图象，则 f (x) =（ ▲ ）
A．sin x+ B．sin 2x
3 3
5
C．cos 2x + D．cos 2x
6 6 （第 10 题图）
x2 y2
12．如图，双曲线 =1(a 0,b 0)的左右焦点分别为F ,F ，过右焦点F 且斜率为1 2 2 3 的直线 l 交双曲
a2 b2
线C 的右支于 A, B 两点，且 AF2 = 7F2B，则（ ▲ ）
7
A．双曲线的离心率为
3
B．△AFF 与△BFF 的面积之比为7 :1 1 2 1 2
C．△AFF 与△BFF 的周长之比为7 : 2 1 2 1 2
D．△AFF 与△BFF 的内切圆半径之比为3:1 1 2 1 2
（第 12 题图）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
7
1
13．在 x 的展开式中，含 x 项的系数为 ▲ ．
x
14．从一批含有 13 件正品和 2 件次品的产品中不．放．回．地随机抽取 3 次，每次抽取 1 件．设抽到的次品数为 ，
则 E (5 +1) = ▲ ．
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ax+1, x a
15．设函数 f (x) = 2 存在最小值，则 a 的取值范围是 ▲ ．
(x 2) , x a
16．北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”
给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、
更团结”的奥林匹克格言．1904 年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从
一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边
（如图）．反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”．设原正三角形（图①）的边长为 1，则图③中的图形
比图②中的图形新增的面积为 ▲ ，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近
于 ▲ ．（第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）
① ② ③ ④
（第 16 题图）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题共 10 分）已知公差不为零的等差数列 an 满足a 是2 a1,a 的等比中项，a ． 4 5 +a6 =11
（I）求数列 an 的通项公式；
（II）从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列 bn 的前 n 项和 Sn ．
a 2a
① b = a 2 n b = 2nn n ； ② n ． (2an 1)(2an +1)
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
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18．（本小题共 12 分）农业强国是社会主义现代化强国的根基，推进农业现代化是实现高质量发展的必然要求．某
农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了 2023 年 1
月 1 日至 1 月 12 日大棚内的昼夜温差与每天每 100 颗种子的发芽数，得到如下资料：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 11 日 12 日
温差 x/℃ 10 11 13 12 8 10 9 11 13 10 12 9
发芽数 y/颗 21 24 28 28 15 22 17 22 30 18 27 18
12 12 12 12
xi =128， yi = 270， xi yi = 2965
2
， xi =1394．
i=1 i=1 i=1 i=1
已知发芽数 y 与温差 x 之间线性相关．该农科所确定的研究方案是：先从这 12 组数据中选取 2 组，用剩下
的 10 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验．
（I）若选取的是 1 日与 6 日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程
y = bx+a（a,b均精确到 1）；
（II）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为求得的线性回归
方程是可靠的，试问：（I）中所得的线性回归方程是否可靠？
参考公式：线性回归方程 y = bx+a中的斜率参数和截距参数的最小二乘估计公式分别为：
n n
(xi x)( yi y) xi yi nxy
b = i=1 = i=1 ，a = y bx ．
n 2 n 2
(xi x) x 2i nx
i=1 i=1
19．（本小题共 12 分）在△ABC中，内角 A, B,C 对应的边分别是a,b,c，且a = 2 2 ， 2csin A+ = b ．
4
（I）求角C ；
（II）若△ABC为锐角三角形，D为 AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
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20．（本小题共 12 分）如图①，在矩形 ABCD中， AD = 2AB = 2 2 ，E 为 AD的中点．如图②，沿 BE将
△ABE 折起，点P在线段 AD上．
（I）若 AP = 2PD，求证： AB// 平面PEC ；
（II）若平面 ABE ⊥平面 BCDE ，是否存在点
P，使得平面 AEC 与平面PEC 的夹角为
90°？若存在，求此时 AP的长度；若不存
在，请说明理由．
（第 20 题图）
21．（本小题共 12 分）已知函数 f (x) = xex ax+a，a 0．
（I）若a =1，求 f (x)的单调区间；
（II）若关于 x 的不等式 f (x) a ln x恒成立，求实数 a 的取值范围．
x2 y2
22．（本小题共 12 分）已知椭圆C : + =1(0 b 2)，设过点 A(1,0)的直线 l 交椭圆C 于M , N 两点，交
4 b2
直线 x = 4于点P，点E 为直线 x =1上不同于点 A的任意一点．
（I）若 AM 1恒成立，求实数b 的取值范围．
（II）若b =1，记直线EM , EN , EP的斜率分别为 k1,k2,k3 ，问是否
存在 k1,k2,k3 的某种排列 ki ,ki ,ki（其中 i1,i2 ,i3 = 1,2,3 ），1 2 3
使得 ki ,ki ,ki 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并1 2 3
加以证明；若不存在，请说明理由．
（第 22 题图）
第5页，共 5 页余姚中学 2022 学年第二学期期中考试高二数学参考答案
一、 单项选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B C C A D
1
8．设直线 l 为曲线 y = f (x)在点 (x1, f (x1 ))处的切线， f (x) = ．
x
1 1
l : y ln x1 = (x x1 )，即 y = x+ ln x1 1；
x1 x1
设直线 l 为曲线 y = g (x)在点 (x2 , f (x2 ))处的切线， g (x) = ax
a 1．
l : y x a2 = ax
a 1
2 (x x2 )，即 y x
a = ax a 12 2 x+ (1 a) x
a
2 ；
1
= ax a 1 2 ①
由题知 x1 注意到 x1, x2 0，故a 0．
ln x
a
1 1= (1 a) x2 ②
由①式得 ln x1 = ln a (a 1) ln x2 ，代入②式得 ln a (a 1) ln x2 1= (1 a) x
a
2 ．
a 1+ ln a
显然a 1，整理得 ln x2 x2 = ．
1 a
1 1 axa
记h(x) = ln x xa （a 0且a 1），则h (x) = axa 1 = ．
x x
1 1
1 a 1 a
当0 x 时，h(x)单调递增；当 x 时，h(x)单调递减．
a a
1
1 a 1+ ln a 1+ ln a 1+ ln a
h(x) = h = ，故 ． max a a 1 a a
1+ ln a 1
化简得 0，解得a 0, (1,+ ) a (1 a) e
数学试题答案 第1页（共 8 页）
二、 多项选择题：
9 10 11 12
AD ABD BC BD
12．设 F2B =m，则 F1B =m+2a， F2A = 7m， F1A = 7m+2a．
2 2 2
在△AFF 中，由余弦定理得 (7m+ 2a) = (7m) + (2c) 2 7m 2c cos120°． 1 2
2a2 2c2 = 7cm 14am．①
2 2 2
在△BFF 中，由余弦定理得 (m+ 2a) = (m) + (2c) 2 m 2c cos60°． 1 2
2a2 2c2 = cm 2am．②
综合①②得2c = 3a．
c 3
故离心率 = ，A 选项错误．
a 2
S△AF AF1F2 = 2 = 7 :1，B 选项正确．
S△BF1F BF2 2
5 19
将 2c = 3a代入①式可得m = a，故 F2 A = 5a， F1A = 7a， F1B = a ，
7 7
45
所以△AFF 的周长为15a ，△BFF 的周长为 a，C 选项错误． 1 2 1 2
7
设△AFF 与1 2 △BFF 的内切圆半径分别为1 2 r1,r2．
1
S 15a r1△AF1F2 = 2 = 7，所以 r : r =3:1，D 选项正确．
S 1 45
1 2
△BF1F2 a r2
2 7
三、 填空题：
3 2 3
13．35 14．3 15． 0,1 16． ；
27 5
16．若第 n 幅图中图形的边数记为 Nn ，则 Nn = 4Nn 1 (n 2)，又 N1 = 3，故
N = N 4n 1 = 3 4n 1n 1 ．
注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，故第 n 幅图比第n 1幅图新增部分的面
1 3 4n 2
积 Sn = S N ，从而图形的总面积 n 1 n 1 = S9 9n 1
数学试题答案 第2页（共 8 页）
2 n n3 4 4 4 8 3 4
Tn = S + S2 + S3 + + Sn = S + S + + + = S ，
4 9 9 9 5 5 9
8 8 3 2 3
不断地趋于 S = = ．
5 5 4 5
四、 解答题：
17．（I） a 是a ,a 的等比中项． 2 1 4
a 2
2
= a a + d = a a +3d2 1a4，即 ( 1 ) 1 ( 1 )．① ------------------------------------------------------------------------------1 分
a ． 5 +a6 =11
(a1 +4d )+ (a1 +5d ) =11．② -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分
又 d 0，联立①②可得a1 = d =1．-------------------------------------------------------------------------------------------4 分
an = a1 + (n 1)d = n．---------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
（II）若选①：bn = n 2
n ．
S =1 21n + 2 2
2 + + n 2n ．------------------------------------------------------------------------------------------------6 分
2S = 1 22 + 2 23 + + n 2n+1n ．
S = n 2n+1 2 (22 + 23 + + 2n ) ----------------------------------------------------------------------------------------------7分 n
2 1 2n
= n 2n+1
( )
= n 2n+1 + 2(1 2n ) = (n 1)2n+1 + 2．-----------------------------------------------------10 分
1 2
4n2
若选②：bn = ．-------------------------------------------------------------------------------------------------6 分(2n 1)(2n+1)
1 1 1 1
=1+ =1+ ---------------------------------------------------------------8 分 (2n 1)(2n+1) 2 2n 1 2n+1
1 1 n 2n
2 + 2n
Sn = n+ 1 = n+ = ．-----------------------------------------------------------------------10 分
2 2n+1 2n+1 2n+1
数学试题答案 第3页（共 8 页）
18．（I）设剩下的 10 组数据分别为 (u1,v1 ),(u2 ,v2 ), ,(u10,v ． 10 )
10 12
uivi = xi yi 10 21 10 22 = 2535．---------------------------------------------------------------------------------1 分
i=1 i=1
1 12 1 12
u = xi 20 =10.8， v = yi 43 = 22.7．
10 i=1 10 i=1
10uv =10 10.8 22.7 = 2451.6．----------------------------------------------------------------------------------------------3 分
10 12
u 2i = x
2 102 2i 10 =1194．
i=1 i=1
2
10u =10 10.82 =1166.4．------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
10
uivi 10uv 2535 2451.6
b = i=1 = 3．---------------------------------------------------------------------------------8 分
10
2 1194 1166.4
u 2i 10u
i=1
a = v bu = 22.7 3 10.8= 9.7 10．
所以所求回归方程为 y = 3x 10．----------------------------------------------------------------------------------------------10 分
（II）当 x =10 时， y = 20．
因为21 20 =1 2 ，22 20 = 2，所以（II）中所得的线性回归方程可靠．--------------------------------------12 分
19．（I） 2csin A+ = b．
4
2 2
2 sinC sin A+ cos A = sin B ，即sinC sin A+ sinC cos A = sin B． --------------------------------2 分
2 2
sin B = sin (A+C) = sin AcosC +cos AsinC．-------------------------------------------------------------------------3 分
sinC = cosC，即 tanC =1．-------------------------------------------------------------------------------------------------4 分
C = ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
4
数学试题答案 第4页（共 8 页）
1 1
（II）因为D为 AB边的中点，所以CD = CA+ CB ．---------------------------------------------------------------6 分
2 2
2 2
2 a +b + 2abcosC b2 +4b+8
CD = = ．-------------------------------------------------------------------------------8 分
4 4
△ABC为锐角三角形． 2 b 4．-------------------------------------------------------------------------------10 分
2
CD (5,10)，即线段CD长的取值范围为 ( 5, 10 )．--------------------------------------------------------------12 分
20．（I）如图 1，连结BD与CE交于点Q ，连结PQ．
1 DQ DE 1
由题可得DE//BC ， DE = BC ，所以 = = ．
2 BQ BC 2
DP DQ 1
又 AP = 2PD，所以 = = ，所以 AB//PQ．----------------------------2 分
PA BQ 2
PQ 平面PEC ， AB 平面PEC ．
AB //平面PEC ．----------------------------------------------------------------4 分
（II）连结点 A与BE的中点O，过点O作BE的垂线与BC 交于点M ，易
知M 为BC 的中点．
由已知可得 AE = AB，所以 AO ⊥ BE ．
平面 ABE ⊥平面 BCDE ，平面 ABE 平面 BCDE = BE ， AO 平面
ABE．
AO ⊥平面BCDE ． AO ⊥OM ．
如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系．
A(0,0,1),B(1,0,0,),C ( 1,2,0), D( 2,1,0), E ( 1,0,0)，
所以 AE = ( 1,0, 1), AC = ( 1,2, 1), AD = ( 2,1, 1),CE = (0, 2,0)．
设 AP = AD = ( 2 , , )(0 1)，则点P( 2 , ,1 )，
所以PE = (2 1, , 1)．--------------------------------------------------7 分
设平面 AEC 和平面PEC 的法向量分别为m = (x1, y1, z1 ) ,n = (x2 , y2 , z2 )．
m AE = 0 , x1 z1 = 0 ,
由 得 取m = (1,0, 1)．-----------------------------------------------------------------8 分
m AC = 0 , x1 + 2y1 z 1
= 0 ,
数学试题答案 第5页（共 8 页）
n PE = 0 , (2 1) x2 y2 + ( 1) z2 = 0 ,
由 得 取n = ( 1,0,1 2 )．------------------------------------10 分
n CE = 0 , 2y2 = 0 ,
2
由题可知m n = 0，解得 = ．-----------------------------------------------------------------------------------------------11 分
3
2 2 2 6
所以 AP = AD = AD = ．--------------------------------------------------------------------------------------------12 分
3 3 3
（其他解法酌情给分）
x x
21．（I）当a =1时， f (x) = xe x+1，则 f (x) = (x+1)e 1．
f (x) = ex (x+ 2)．
f (x)在 ( , 2)单调递减， ( 2,+ )单调递增．----------------------------------------------------------------------2 分
注意到 f (0) = 0，
① 当 x ( ,0)时，因为 x+1 1且0 ex 1，所以 (x+1)ex 1，
所以 f (x) = (x+1)ex 1 0，故 f (x) 单调递减．-------------------------------------------------------------------------4 分
② 当 x (0,+ )时， f (x) f (0) = 0，故 f (x)单调递增．
综上， f (x)的单调递减区间为 ( ,0)，单调递增区间为 (0,+ )．---------------------------------------------------6 分
（II）法一： f (x) a ln x x恒成立等价于 xe ax + a a ln x 0恒成立．
令h(x) = xex ax+a a ln x(a 0)，则h(x) 0．
min
a (x +1)(xex a)
则 h (x) = (x +1)ex a = ．---------------------------------------------------------------------------7 分
x x
令 g (x) = xex a，则 g (x) = (x+1)ex 0，故 g (x)在 (0,+ )上单调递增．
g (0) = a 0， g (a) = aea a = a(ea 1) 0，
x
存在 x0 (0,a)，使得 g (x0 ) = x 00e a = 0，此时 x0 + ln x0 = lna．---------------------------------------------9 分
则 h(x) 在 (0, x0 )单调递减，在 (x0,+ )单调递增．
h(x) = h(x0 ) = x e
x0
0 a(x0 + ln x0 )+a = 2a a lna 0．-------------------------------------------------------11 分 min
因为a 0，所以0 a e2 ．
综上，实数 a的取值范围为 (0,e2 ．-------------------------------------------------------------------------------------------12 分
数学试题答案 第6页（共 8 页）
法二： f (x) a ln x恒成立等价于 xex a ln xex + a 0恒成立．-------------------------------------------------------8 分
令 t = xex (0,+ )，则 t a ln t + a 0．
a t a
令 (t ) = t a ln t +a，则 (t ) =1 = ．--------------------------------------------------------------------------10 分
t t
(t)在 (0,a)单调递减， (a,+ )单调递增．
故只需 (t) = (a) = 2a a lna 0，所以2 ln a 0，所以0 a e2 ．-----------------------------------12 分
min
x 2 y 2
22．（I）设点M (x0, y0 )，其中
0 + 0 =1(0 b 2)，则 2 x0 2且 x0 1．
4 b2
2
2 2 b
AM = (x0 1) + y
2 = (x 2 20 0 1) +b x0 1．------------------------------------------------------------------2 分
4
2 2
x 2 2x +b2
b
x 2 0，即 x 2 2x +b2
x
1
0
0 （*）． 0 0 0 0 0
4 4
若 x0 = 2，则（*）式恒成立；
4x 8
若 2 x0 2且 x0 1
2
，则b = 4 b2，故 2．
2+ x x + 2
综上， 2 b 2．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分
（II） k1,k3,k2 或 k2,k3,k1成等差数列．证明如下：--------------------------------------------------------------------------7 分
x2
若b =1，则C : + y2 =1．设点E(1,t)(t 0)．
4
t t
① 若直线 l 斜率为0 ，则点P(4,0)，不妨令点M (2,0), N ( 2,0)，则 k1 = t , k2 = , k3 = ，
3 3
此时 k , k , k 的任意排列 ki ,ki ,k1 2 3 i 均不成等比数列，k1,k3,k2 或 k2,k3,k1成等差数列．--------------------------8 分 1 2 3
3
② 若直线 l 斜率不为0 ，则直线 l : x =my+1(m 0)，M (x1, y1),N (x2, y2 )，易知P 4, ．
m
x = my +1
联立 2 得 (m2 2 x + 4) y + 2my 3= 0．
+ y
2 =1
4
数学试题答案 第7页（共 8 页）
2m 3
y1 + y2 = , y1y2 = ．---------------------------------------------------------------------------------------10 分
m2 + 4 m2 + 4
3
t
y t y t 3 mt
k 1 2 m1 = ,k2 = ,k3 = = ,
x1 1 x2 1 3 3m
y1 t y2 t y y y t + y y t k + k = + = 1
t y2 t 2 ( 1 ) 1 ( 2 )
1 2 + =
x1 1 x2 1 my1 my2 my1y2
6 2mt
2y1y2 t ( y1 + y
+
2 2
= 2
)
= m + 4 m + 4
my y 3m1 2
m2 + 4
6 2mt
= = 2k3
3m
k1,k3,k 或2 k2,k3,k1成等差数列．
综上，k1,k3,k2 或 k2,k3,k1成等差数列．---------------------------------------------------------------------------------------12 分
数学试题答案 第8页（共 8 页）
