四川省成都市新津县为明学校2022-2023学年高二下学期期中考试理科数学试卷（含答案）

成都新津为明学校高2021级（高二下）期中考试
数学试卷 理科
总分：150 分 时间：120 分钟
一、单选题(共60分）
1．(本题5分)已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．(本题5分)为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（ ）
A．12人 B．18人 C．80人 D．120人
3．(本题5分)函数（为自然对数的底数），则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(本题5分)通过随机调查名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表： 由公式算得：，附：，
其中参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
5．(本题5分)如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
6．(本题5分)已知，是空间中两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则存在，，使得 B．若，则存在，，使得
C．若，则存在，使得 D．若，则存在，使得
7．(本题5分)已知随机变量，且，则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
8．(本题5分)已知在处取得极小值，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．(本题5分)在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务，要求每个展区至少分配一人，每名志愿者只分配到一个展区，则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有（ ）
A．72种 B．54种 C．36种 D．18种
10．(本题5分)已知函数恰有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
11．(本题5分)“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．(本题5分)已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分
13．(本题5分)已知椭圆的焦距是，则的值是____．
14．(本题5分)设随机变量X的分布列如下（其中），则随机变量X的期望________.
X 0 1 2
P a
15．(本题5分)在的展开式中，常数项为15，则实数a的值为____________.
16．(本题5分)已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.
三、解答题(共70分
17．(本题10分)为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
18．(本题12分)已知函数，且．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值．
19．(本题12分)某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度（％）对亩产量（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表.
海水浓度（％） 3 4 5 6 7
亩产量（吨） 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30
残差 -0.01 0.02 m n 0
绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量（吨）与海水浓度（％）之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.
(1)求的值；（参考公式：）
(2)统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的．请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的？
附残差相关指数其中
20．(本题12分)如图在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
21．(本题12分)已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
22．(本题12分)已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
考后反思：
成都新津为明学校高2021级（高二下）期中考试
数学试卷 理科参考答案：
1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．A
11．D 12．A
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
13． 14．1 15． 16．
17．【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
18．【详解】（1）因为，故，解得，
因为，所以，
则所求切线的斜率为，且，
故所求切线方程为，即；
（2）因为，，所以，
令，得（舍去），
由，可得，函数单调递减，
由，可得，函数单调递增，
所以的极小值为，又，，
所以的最大值为2，最小值为.
19．【详解】（1）因为，
所以，即，
所以线性回归方程为，
所以.
，.
（2），
所以相关指数.故亩产量的变化有是由灌溉海水浓度引起的.
20．【详解】（1）证明：取的中点为，连接，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面
平面，所以平面，
因为平面，所以 ,
又因为底面为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以平面平面
过点作，可得平面，即为四棱锥的高，
因为四棱锥的体积为，所以，
解得，又因为，所以，所以为中点，取中点为点，连接，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系
所以，，，,
所以，，,
设平面的法向量为，则，即，
令，解得，，所以，
同理设平面的法向量，则，即，
解得，所以二面角的余弦值为，
所以二面角的正弦值为.
21．【详解】（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
22．【详解】（1）由题意得，设点，则点，
因为，所以，则，
因为点在圆上，所以，则，即，
所以点轨迹方程为.
（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，
联立，得，
设直线与曲线两交点的坐标分别为，则，
；
直线，
同理可得：，
设直线与轴交于点，
则当直线斜率存在时，由得，
，即直线恒过点；
当直线斜率不存在时，由得，则，
则直线恒过点；
②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过，
综上：直线恒过点
在以中点为圆心，为直径的圆上，
取，则为定值；
存在点，使得为定值.
.