北师大版六年级下册 比例尺 教案
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文档简介
《比例尺》
“比例尺”是北师大版数学六年级下册第二单元的内容，是运用数学知识解决生活问题的一个典型范例。本课的主要内容是学习比例尺的相关知识，是在学生已经学习了比和比例的有关知识基础上进行教学的。就比例尺意义而言，我们既可以将其理解为一种特定的比，也可以将其理解为同一幅平面图中图上距离与相应实际距离的比的比值是一定的，因而可以从图中任意选出一个长度以及这个长度所表示的实际距离，与给定的比例尺组成相应的比例；就比例尺的应用而言，我们既可以联系比的意义进行分析和思考，也可以通过构建比例模型求出相应的图上距离或实际距离。所以，这部分内容具有较强的综合性，有助于学生通过学习更好地感受数学知识的应用特点，提高分析和解决实际问题的能力。此外，通过这部分内容的学习，也为接下来探索并理解“用方向和距离确定位置”以及“正比例和反比例”提供必要的支持。
“比例尺”是“比”知识的纵向加深，在学习本课内容之前，学生已经学习了比、比例、除法、分数、方向与位置等知识。虽然比例尺是比例知识在生活中最广泛的应用，但是比例尺对于学生来说比较陌生，因为它离学生的实际生活相对较远，不宜让学生直观理解。学生在学习时，对于比例尺的本质——比例尺是一个比，往往因为名称的误导产生歧义。同时，还会因为对于比例尺的规定形式——前项或后项为1理解不透彻而产生计算上的错误，这些都是教师在教学中需特别关注的方面。
1.结合具体情境，体会比例尺产生的必要性，理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺，学会求平面图的比例尺和根据比例尺求图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的有关知识，通过绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，进一步体会数学与日常生活的密切联系。
3.结合情境，使学生体验到数学与生活的密切联系，进一步激发学生学习数学的兴趣。
重点：理解比例尺的意义。
难点：掌握求比例尺的方法，并能熟练解答与比例尺相关的问题。
情境创设法、启发式教学、探究式教学、多媒体辅助教学等
一、问题驱动，初步感知
（出示党旗）师：同学们，这面旗你们一定不陌生吧。
师：是的，这是一面党旗。今年是中国共产党建党100周年，所以这面旗的出镜率特别高。
（出示格子图）师：如果我想把这面党旗画在这张格子图上，你需要我提供什么信息？你说。你想知道党旗的长度和宽度。你呢？你需要我提供党旗长和宽的比。
师：（出示数据）没问题。请看数据，然后在格子图上画党旗，党徽可以不画！
【设计意图】一个素材贯穿全课，通过情景式问题驱动和动手操作，引导学生聚焦图上距离与实际距离，产生好奇，调动学习积极性，体会数学与生活的联系。
二、对比辨析，认识比例尺
1.初辨——判断对与错
（课件出示三幅作品）
师：好了，完成的差不多了。一起来看看这三位同学画的，他们画的都对吗？最后一个男生，你来说。
预设：我觉得③号不对。因为党旗的长宽比是3∶2，可它的长宽比是5∶4，党旗都变形了！①号和②号是对的。
师：谁听明白他的意思了？你再来说说看。你们也是这么想的吗？
小结：看来，只要画出的长方形长和宽的比是3∶2，就是正确的。观察③号图，如果宽边不变，长边怎么调整一下就对了？（改成12∶8）谢谢你们的帮忙。请快速判断自己画的对不对？错的调整一下。调整好了吗？
2.再辨——认识比例尺
师：下面我们继续看，三幅图画的都是党旗，长宽比都是3∶2，怎么画出的长度和宽度却各不相同呢？你的看法是？你们觉得呢？
师：哦，原来是每幅图缩小的各不一样。那有什么办法能表示这各不相同的关系呢？
生：可以用比来表示。
师：很棒的想法，用数学符号，简单又准确。下面请以第一幅图为例，把想法记录下来吧！
（出示学生作品）
①6厘米∶96厘米 ②96厘米∶16厘米＝16∶1 ③6厘米∶96厘米＝1∶16
4厘米∶64厘米 64厘米∶4厘米＝16∶1 4厘米∶64厘米＝1∶16
师：我们先看第一幅图。比较这三位同学的想法，有什么相同点和不同点？
生：它们都表示图上距离和实际距离之间的比。
师：是呀，这就是“：”的魅力，它可以清楚又简洁的表示出两者之间的关系。
生：我觉得①号和③号，一个化简，一个没化简。化简比较好，因为它可以让我们一眼就看出图上距离和实际距离的比相等，都是1∶16。
师：说的真好，化简后的比更简洁更直观。还要其他发现吗？
生：我发现②和③都在表示图上1厘米代表实际16厘米。但它们的表示方法却不同。一个是1在前，一个是16在前。
师：你们发现了吗？如果表示方法不统一会带来什么后果？交流的不便，意义的误解，那你们有什么好建议。
师：分析都很有道理。数学家们也是这么认为并规定的——图上距离作前项，实际距离作后项，表示图上距离和实际距离的比就叫做这幅图的比例尺（板书）。就像①号图，不论是长还是宽，图上距离和实际距离的比都是1∶16。1∶16就是这幅图的比例尺。
师：想一想：比例尺1∶16表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
生：图上距离是实际距离的十六分之一，实际距离是图上距离的16倍。
师：你们也是这样想的吗？看来在比例尺中还可以看出这样的分数关系和倍数关系来，所以，有时比例尺也可以长这样。（板书关系式）比例尺1∶16，也可以写成。
师：下面请算一算②号和③号图的比例尺分别是多少？谁来算②号，③号呢？你算对了吗？
板书：②号3∶96＝1∶32或2∶64＝1∶32 ③号12∶96＝1∶8或8∶64＝1∶8
3.三辨——比例尺的大小
师：比例尺不同，对应图形的大小也不同。三个比例尺，哪个最大？哪个最小？对比三个比例尺，以及对应平面图的大小，你有什么发现？
小结：比例尺越小，画出的平面图形越小。比例尺越大，画出的平面图形越大。
如果比例尺继续变大，画出的图又会是怎样呢？比如，如果按1∶1的比例尺画党旗，画出的图有多大？可能画在哪里？如果8∶1呢？表示图上距离是实际距离的8倍。可能画在哪里？可见根据需要，生活中除了缩小比例尺，还有放大比例尺，或是等大比例尺。
【设计意图】任何概念的教学都必须让学生经历知识产生、形成、发展的过程，因此，我设计了三个不同层次的讨论活动，从体会比例尺产生的必要性到比例尺的意义理解，从缩小比例尺到等大比例尺，再到放大比例尺，教师时刻以问题为驱动，适时点拨、组织、引导，帮助学生逐步构建新知，发展思维，涵养积极情感。
三、应用新知，拓展延伸
1.算比例尺
师：刚才大家看到的党旗大小比较常见。前段时间，我们学校还定制了一面巨型党旗，组织了千名师生对党说的活动。活动前我们画了这样一幅平面图，党旗的实际长度是15米，图上画的是3厘米。你知道这幅平面图的比例尺是多少？动笔算一算吧！
师：算好了。看看，他们算对了吗？
算法1：3厘米∶15米＝1∶5
算法2: 3厘米∶15米＝3厘米∶1500厘米＝1∶500
生：第一个是错的，它没有转化。如果按1∶5，就表示图上1厘米是实际5厘米，那图上3厘米实际长度只有15厘米，那就不是巨型党旗，而是袖珍党旗了。
小结：计算比例尺时，如果单位不同要先转化。
师：算好比例尺，我们一起把它请到图上来。（出示数值比例尺1∶500）这个比例尺表示什么意思？
预设：
（1）图上1厘米表示实际5米。
（2）实际距离是图上距离的500倍。
（3）图上距离是实际距离的500分之一。
（4）实际几个5米，画出的图上距离就是几厘米。
师：比例尺的表示方法多样，这是比例尺的另一种表示方法叫线段比例尺，你能看明白是什么意思吗？如果要转化成数值比例尺，也要像刚才一样先转化，后化简。
2.算实际距离
师：如果测得图上操场的长是18厘米，根据这个比例尺，你能推算出学校操场实际的长度是多少吗？
生1：图上距离÷比例尺＝实际距离
生2：图上1厘米表示实际的5米，那么图上的18厘米就是18个5米，也就是90米。
小结：通过刚才的一张平面图，我们先后解决了求比例尺和求实际距离的两个问题。发现根据三者之间的关系，只要把图上距离除以实际距离就等于比例尺，而把图上距离除以比例尺就能推算实际距离，那如果要求图上距离呢？对了，实际距离×比例尺就可以做到。当然解决问题的方法很多样，下节课我们还会继续探究其他的解题策略。
【设计意图】本环节结以学校的“千名师生向党说”活动为契机，以一幅图引出两个问题，以巨型党旗和操场平面图为素材，巧设问题，推算比例尺和操场的实际距离，保证学生在课堂上的动笔时间，清晰线段比例尺和数字比例尺相互转化的方法，从而进一步理解比例尺的意义。
四、全课小结，微课点睛
师：今天我们以党旗为研究素材，认识了比例尺，了解了比例尺的意义和不同的表现形式。我们一起来通过一个微课回顾比例尺的秘密！
师：谁来说说你都记住了比例尺的哪些秘密？关于比例尺，你还想知道些什么？请带着你们的收获和问题，继续探究比例尺更多的秘密。下课！
【设计意图】课末，通过精心制作微课回顾学习过程，以幽默风趣的方式进行全课小结，起到画龙点睛的作用，将课堂再次推向高潮。微课最后以留白的方式再度引发学生的思考，将学习延伸至课外，达到课已毕学未尽的目的。
问题驱动，激活课堂
1.情境式问题驱动，唤醒学生的生活经验
本课以热点话题“庆百年”为切入口，以一面党旗贯穿始终，通过“画、比、辨、议、算”等活动，有效调动学生的学习热情，让学生充分观察、操作和交流。
2.启发式问题驱动，提升学生的思维能力
基于学情，结合学生画的三幅作品展开深入交流，通过三比三辨突破教学难点。巧借一幅巨型党旗和操作平面图巧设问题，进一步理解比例尺在生活中的应用，把握比例尺的内涵——图上距离与实际距离的比，认识比例尺的表示方法——数字式、文字式和线段式。
3.开放式问题驱动，培养学生的创新能力
学会运用比例尺各部分之间的关系推算比例尺及实际距离的方法。精心制作的微课在回顾学习过程的同时以留白的方式进行全课小结，起到画龙点睛的作用，将课堂再次推向高潮，引发学生的思考，将学习延伸至课外，达到课已毕学未尽的目的。
“比例尺”是北师大版数学六年级下册第二单元的内容，是运用数学知识解决生活问题的一个典型范例。本课的主要内容是学习比例尺的相关知识，是在学生已经学习了比和比例的有关知识基础上进行教学的。就比例尺意义而言，我们既可以将其理解为一种特定的比，也可以将其理解为同一幅平面图中图上距离与相应实际距离的比的比值是一定的，因而可以从图中任意选出一个长度以及这个长度所表示的实际距离，与给定的比例尺组成相应的比例；就比例尺的应用而言，我们既可以联系比的意义进行分析和思考，也可以通过构建比例模型求出相应的图上距离或实际距离。所以，这部分内容具有较强的综合性，有助于学生通过学习更好地感受数学知识的应用特点，提高分析和解决实际问题的能力。此外，通过这部分内容的学习，也为接下来探索并理解“用方向和距离确定位置”以及“正比例和反比例”提供必要的支持。
“比例尺”是“比”知识的纵向加深，在学习本课内容之前，学生已经学习了比、比例、除法、分数、方向与位置等知识。虽然比例尺是比例知识在生活中最广泛的应用，但是比例尺对于学生来说比较陌生，因为它离学生的实际生活相对较远，不宜让学生直观理解。学生在学习时，对于比例尺的本质——比例尺是一个比，往往因为名称的误导产生歧义。同时，还会因为对于比例尺的规定形式——前项或后项为1理解不透彻而产生计算上的错误，这些都是教师在教学中需特别关注的方面。
1.结合具体情境，体会比例尺产生的必要性，理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺，学会求平面图的比例尺和根据比例尺求图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的有关知识，通过绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，进一步体会数学与日常生活的密切联系。
3.结合情境，使学生体验到数学与生活的密切联系，进一步激发学生学习数学的兴趣。
重点：理解比例尺的意义。
难点：掌握求比例尺的方法，并能熟练解答与比例尺相关的问题。
情境创设法、启发式教学、探究式教学、多媒体辅助教学等
一、问题驱动，初步感知
（出示党旗）师：同学们，这面旗你们一定不陌生吧。
师：是的，这是一面党旗。今年是中国共产党建党100周年，所以这面旗的出镜率特别高。
（出示格子图）师：如果我想把这面党旗画在这张格子图上，你需要我提供什么信息？你说。你想知道党旗的长度和宽度。你呢？你需要我提供党旗长和宽的比。
师：（出示数据）没问题。请看数据，然后在格子图上画党旗，党徽可以不画！
【设计意图】一个素材贯穿全课，通过情景式问题驱动和动手操作，引导学生聚焦图上距离与实际距离，产生好奇，调动学习积极性，体会数学与生活的联系。
二、对比辨析，认识比例尺
1.初辨——判断对与错
（课件出示三幅作品）
师：好了，完成的差不多了。一起来看看这三位同学画的，他们画的都对吗？最后一个男生，你来说。
预设：我觉得③号不对。因为党旗的长宽比是3∶2，可它的长宽比是5∶4，党旗都变形了！①号和②号是对的。
师：谁听明白他的意思了？你再来说说看。你们也是这么想的吗？
小结：看来，只要画出的长方形长和宽的比是3∶2，就是正确的。观察③号图，如果宽边不变，长边怎么调整一下就对了？（改成12∶8）谢谢你们的帮忙。请快速判断自己画的对不对？错的调整一下。调整好了吗？
2.再辨——认识比例尺
师：下面我们继续看，三幅图画的都是党旗，长宽比都是3∶2，怎么画出的长度和宽度却各不相同呢？你的看法是？你们觉得呢？
师：哦，原来是每幅图缩小的各不一样。那有什么办法能表示这各不相同的关系呢？
生：可以用比来表示。
师：很棒的想法，用数学符号，简单又准确。下面请以第一幅图为例，把想法记录下来吧！
（出示学生作品）
①6厘米∶96厘米 ②96厘米∶16厘米＝16∶1 ③6厘米∶96厘米＝1∶16
4厘米∶64厘米 64厘米∶4厘米＝16∶1 4厘米∶64厘米＝1∶16
师：我们先看第一幅图。比较这三位同学的想法，有什么相同点和不同点？
生：它们都表示图上距离和实际距离之间的比。
师：是呀，这就是“：”的魅力，它可以清楚又简洁的表示出两者之间的关系。
生：我觉得①号和③号，一个化简，一个没化简。化简比较好，因为它可以让我们一眼就看出图上距离和实际距离的比相等，都是1∶16。
师：说的真好，化简后的比更简洁更直观。还要其他发现吗？
生：我发现②和③都在表示图上1厘米代表实际16厘米。但它们的表示方法却不同。一个是1在前，一个是16在前。
师：你们发现了吗？如果表示方法不统一会带来什么后果？交流的不便，意义的误解，那你们有什么好建议。
师：分析都很有道理。数学家们也是这么认为并规定的——图上距离作前项，实际距离作后项，表示图上距离和实际距离的比就叫做这幅图的比例尺（板书）。就像①号图，不论是长还是宽，图上距离和实际距离的比都是1∶16。1∶16就是这幅图的比例尺。
师：想一想：比例尺1∶16表示图上距离是实际距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
生：图上距离是实际距离的十六分之一，实际距离是图上距离的16倍。
师：你们也是这样想的吗？看来在比例尺中还可以看出这样的分数关系和倍数关系来，所以，有时比例尺也可以长这样。（板书关系式）比例尺1∶16，也可以写成。
师：下面请算一算②号和③号图的比例尺分别是多少？谁来算②号，③号呢？你算对了吗？
板书：②号3∶96＝1∶32或2∶64＝1∶32 ③号12∶96＝1∶8或8∶64＝1∶8
3.三辨——比例尺的大小
师：比例尺不同，对应图形的大小也不同。三个比例尺，哪个最大？哪个最小？对比三个比例尺，以及对应平面图的大小，你有什么发现？
小结：比例尺越小，画出的平面图形越小。比例尺越大，画出的平面图形越大。
如果比例尺继续变大，画出的图又会是怎样呢？比如，如果按1∶1的比例尺画党旗，画出的图有多大？可能画在哪里？如果8∶1呢？表示图上距离是实际距离的8倍。可能画在哪里？可见根据需要，生活中除了缩小比例尺，还有放大比例尺，或是等大比例尺。
【设计意图】任何概念的教学都必须让学生经历知识产生、形成、发展的过程，因此，我设计了三个不同层次的讨论活动，从体会比例尺产生的必要性到比例尺的意义理解，从缩小比例尺到等大比例尺，再到放大比例尺，教师时刻以问题为驱动，适时点拨、组织、引导，帮助学生逐步构建新知，发展思维，涵养积极情感。
三、应用新知，拓展延伸
1.算比例尺
师：刚才大家看到的党旗大小比较常见。前段时间，我们学校还定制了一面巨型党旗，组织了千名师生对党说的活动。活动前我们画了这样一幅平面图，党旗的实际长度是15米，图上画的是3厘米。你知道这幅平面图的比例尺是多少？动笔算一算吧！
师：算好了。看看，他们算对了吗？
算法1：3厘米∶15米＝1∶5
算法2: 3厘米∶15米＝3厘米∶1500厘米＝1∶500
生：第一个是错的，它没有转化。如果按1∶5，就表示图上1厘米是实际5厘米，那图上3厘米实际长度只有15厘米，那就不是巨型党旗，而是袖珍党旗了。
小结：计算比例尺时，如果单位不同要先转化。
师：算好比例尺，我们一起把它请到图上来。（出示数值比例尺1∶500）这个比例尺表示什么意思？
预设：
（1）图上1厘米表示实际5米。
（2）实际距离是图上距离的500倍。
（3）图上距离是实际距离的500分之一。
（4）实际几个5米，画出的图上距离就是几厘米。
师：比例尺的表示方法多样，这是比例尺的另一种表示方法叫线段比例尺，你能看明白是什么意思吗？如果要转化成数值比例尺，也要像刚才一样先转化，后化简。
2.算实际距离
师：如果测得图上操场的长是18厘米，根据这个比例尺，你能推算出学校操场实际的长度是多少吗？
生1：图上距离÷比例尺＝实际距离
生2：图上1厘米表示实际的5米，那么图上的18厘米就是18个5米，也就是90米。
小结：通过刚才的一张平面图，我们先后解决了求比例尺和求实际距离的两个问题。发现根据三者之间的关系，只要把图上距离除以实际距离就等于比例尺，而把图上距离除以比例尺就能推算实际距离，那如果要求图上距离呢？对了，实际距离×比例尺就可以做到。当然解决问题的方法很多样，下节课我们还会继续探究其他的解题策略。
【设计意图】本环节结以学校的“千名师生向党说”活动为契机，以一幅图引出两个问题，以巨型党旗和操场平面图为素材，巧设问题，推算比例尺和操场的实际距离，保证学生在课堂上的动笔时间，清晰线段比例尺和数字比例尺相互转化的方法，从而进一步理解比例尺的意义。
四、全课小结，微课点睛
师：今天我们以党旗为研究素材，认识了比例尺，了解了比例尺的意义和不同的表现形式。我们一起来通过一个微课回顾比例尺的秘密！
师：谁来说说你都记住了比例尺的哪些秘密？关于比例尺，你还想知道些什么？请带着你们的收获和问题，继续探究比例尺更多的秘密。下课！
【设计意图】课末，通过精心制作微课回顾学习过程，以幽默风趣的方式进行全课小结，起到画龙点睛的作用，将课堂再次推向高潮。微课最后以留白的方式再度引发学生的思考，将学习延伸至课外，达到课已毕学未尽的目的。
问题驱动，激活课堂
1.情境式问题驱动，唤醒学生的生活经验
本课以热点话题“庆百年”为切入口，以一面党旗贯穿始终，通过“画、比、辨、议、算”等活动，有效调动学生的学习热情，让学生充分观察、操作和交流。
2.启发式问题驱动，提升学生的思维能力
基于学情，结合学生画的三幅作品展开深入交流，通过三比三辨突破教学难点。巧借一幅巨型党旗和操作平面图巧设问题，进一步理解比例尺在生活中的应用，把握比例尺的内涵——图上距离与实际距离的比，认识比例尺的表示方法——数字式、文字式和线段式。
3.开放式问题驱动，培养学生的创新能力
学会运用比例尺各部分之间的关系推算比例尺及实际距离的方法。精心制作的微课在回顾学习过程的同时以留白的方式进行全课小结，起到画龙点睛的作用，将课堂再次推向高潮，引发学生的思考，将学习延伸至课外，达到课已毕学未尽的目的。