2021-2022学年四川省八年级下学期人教版数学 第十七章：勾股定理练习题期末试题选编（含解析）

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝3，AD＝5，则EC的长为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣5，0） C．（1，0） D．（0，﹣1）
3．（2022春·四川南充·八年级统考期末）下列各组数据，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．0.6，0.8，1 C．4，5，6 D．8，15，17
4．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得的面积为，满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2022春·四川凉山·八年级统考期末）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，O为原点，点A在数轴上表示的数为5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
7．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺
8．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·四川凉山·八年级统考期末）若△ABC的三边a、b、c满足a ＋b ＋c 十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（　　）
A．338 B．24 C．26 D．30
10．（2022春·四川广安·八年级统考期末）在△ABC中，，若∠B＝25°，则∠C＝（　　）
A．20° B．35° C．65° D．75°
二、填空题
11．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是______．
12．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么______．
13．（2022春·四川巴中·八年级统考期末）如图，在中，点D是AC边上一点，连接BD，将沿BD折叠，得到，若ED垂直平分AB，交AB于点F，，，则的面积是______．
14．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．
15．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 _____步路．（假设2步为1米）
16．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出入相补”原理将图1补成如图2的矩形，在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长为______．
17．（2022春·四川凉山·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___（玻璃杯厚度忽略不计）
18．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．
三、解答题
19．（2022春·四川雅安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F．
(1)求证：DE＝DF；
(2)连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值．
20．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）在一条笔直的公路上有两个停靠站，公路旁有一块地正在开发，现在C处时常需要爆破作业，如图，已知A，B两站相距2km，且，为安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封闭？请说明理由()
21．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
22．（2022春·四川成都·八年级统考期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2+6n+9）＝0，
∴（m﹣n）2+（n+3）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n+3）2＝0，
∴m＝﹣3，n＝﹣3．
根据你的观察，探究下列问题：
(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，求Rt△ABC的斜边上的高h的值；
(2)已知x﹣y＝6，z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，求x+y+z的值．
23．（2022春·四川达州·八年级统考期末）如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
24．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，在中，垂直于点D，．
(1)求斜边的长；
(2)求斜边上的高的长．
25．（2022春·四川广安·八年级统考期末）某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．
26．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
(1)求证：∠BAC＝90°；
(2)P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
27．（2022春·四川南充·八年级统考期末）如图，在中，，，是上一点，，．求的度数．
参考答案：
1．D
【分析】由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3 x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3 x．
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC BF＝5 4＝1，
在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，
∴（3 x）2＝x2＋12，
∴x＝，
∴EC＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可．
【详解】解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=，
∴AP=AB=5，
∴OP=1，
∴P（-1，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键．
3．D
【分析】根据勾股数为正整数且满足勾股定理解答即可．
【详解】解：A、不是整数，1，1，不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、0.6和0.8不是整数，0.6，0.8，1不是勾股数，故选项B不符合题意；
C、4，5，6是整数，但42+52=41≠62，4，5，6不是勾股数，故选项C不符合题意；
D、8，15，17是整数，且82+152=289=172，8，15，17是勾股数，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股数，熟知勾股数满足的条件是解答的关键．
4．D
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后利用三角形面积求出底AB边上的高h，最后利用作平行线与格点的交点即可得出结论．
【详解】解：AB的长为，
当△ABC的面积为时，AB边上的高为：，
∴过点平行AB的格点都合适，如图所示：
∴符合条件的格点有5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查格点作图，平行线的性质，三角形面积，掌握平行线的性质平行线间的距离处处相等，利用三角形面积求出平行线间的距离是解题关键．
5．B
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答．
6．A
【分析】根据勾股定理求出OB，得到OC即可．
【详解】解：∵OC=OB=，
∴点C表示的数是，
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴上点的对应关系，正确掌握勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可
【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
∵，
∴，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8．A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．
9．D
【详解】试题分析：△ABC是直角三角形．理由是：
∵a2+b2+c2=10a+24b+26c-338，
∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0，
∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，即a=5，b=12，c=13．
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是×5×12=30，
故选D．
10．C
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠A＝90°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90° ∠B＝65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
11．
【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出对应点坐标，利用光的反射原理与对称性，求出点、的坐标，勾股定理即可求解．
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，
，D为边上靠近点的三等分点，
可得，，，，，
，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，
则，，
由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，
光线走过的路径，
，
即光线走过的路径是．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的性质与轴对称图形的灵活应用问题，关键在于正确建立直角坐标系并求解．
12．22
【分析】结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，数形结合思想是本题的关键．
13．
【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，根据垂直平分线求得，，设，则，证明得到，根据折叠的性质得，在中与中得到， ，在中由勾股定理得的值，即可求出三角形的面积．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
是的垂直平分线，，
，，
设，则，
，
，
，
由折叠的性质得，
，
在中,, ，
，
.在中，，，
，
，
，
在中,由勾股定理得,，
解得或 (舍去)，
， ，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，根据条件作出辅助线是解题的关键．
14．2
【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值.
【详解】∵在中，∠ABC=90°,
∴,
∴,
∵, =4, =6,
∴=6-4=2.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键.
15．8
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴，
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】将图1中补成如图2的矩形，可得四边形AEDG，GDIH，DHBF都是矩形，由于矩形的对角线将矩形的面积平分，从而得出正方形DECF的面积与矩形DGIH的面积相等，依此列方程即可．
【详解】如图，设正方形DECF的边长为x，
根据题意得，四边形AEDG，GDIH，DHBF都是矩形，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
解得，
所以，这个正方形的边长为
故答案为.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，矩形的面积等知识，正确列出方程是解答本题的关键．
17．13cm/13厘米
【分析】在侧面展开图中，沿过A点的高展开，得矩形EFGH，过点C作CQ⊥EF于Q，作点A关于EH的对称点，连接交EH于P，连接AP，则是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：沿过A点的高展开，得矩形EFGH，过点C作CQ⊥EF于Q，作点A关于EH的对称点，连接交EH于P，连接AP，如图所示：
则AP+PC是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
由题意得：AE=3cm，CN=QF=3cm，EF=12cm，，
∵点A关于EH的对称点为点，且EP⊥AE，
∴，，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为13cm，
故答案为：13cm．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理得应用，理解圆柱展开图，运用空间想象能力构造直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
18．
【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接，
由题意， ，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题可得△ABC是等腰直角三角形，当D是AB边中点时，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠FDC＝∠EDA，接着证明△FCD≌△EDA即可；
（2）由①可得DE＝DF，所以△DEF为等腰直角三角形，所以∠DEG＝∠DCE＝45°，由于∠DGE＝∠DCE+∠GEC＝45°+∠GEC，∠DEC＝45°+∠GEC，所以∠DGE＝∠DEC＝∠CDE，所以ED＝GE，故过E作EQ⊥DG于Q，则DQ＝GQ，在直角△ACD中，利用勾股定理，求出CD和CE的长度，同理，在△CEQ中，求出CQ的长度，得到DQ的长度，即可解决．
（1）证明：∵AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDA＝90°，∴∠FDC＝∠EDA，在△DFC与△DEA中， ，∴△DFC≌△DEA（ASA），∴CF＝AE，即AE＝CF；
（2）解：由（1）可得，△DFC≌△DEA，∴DF＝DE，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠CED＝∠EDF+∠CEF＝45°+∠CEF，又∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF，∴∠EGD＝∠CED，∵CE＝AD，AD＝CD，∴CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠CDE＝∠EGD，∴EG＝DE，过E作EQ⊥DC于Q，如图1，∴DQ＝GQ，且∠QCE＝∠QEC＝45°，∴CQ＝EQ，∵AC＝，∴， 同理，CQ＝QE＝，∴DQ＝CD﹣CQ＝ 在中， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，特别要注意（2）中辅助线的构造是解决问题的关键．
20．公路AB段不需要临时封锁
【分析】做CD⊥AB交AB于D点，Rt△ABC由勾股定理得BC的长度，然后在Rt△BCD中，根据30°/60°/90°的边角关系，得到CD的长度，大于500米，因此即可判断不需要封闭．
【详解】解：如图，作CD⊥AB交AB于D点
∵∠ABC=，∠BAC=
∴ ∠C=90°
在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30°
∴ AC=1
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
BC==
又∵在Rt△BCD中，∠DBC=30°
∴CD=(km)≈865(m)
∵ CD>500m
∴不必封闭
故答案为：公路AB段不需要临时封锁．
【点睛】本题考查了应用勾股定理求解第三边的长度，30°/60°/90°直角三角形的边角关系，解题的关键是熟记30°/60°/90°对边的长度比为1：：2．
21．图见解析，亮亮走的最短路程为
【分析】作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，过点E作EF⊥AC，垂足为F，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知AE的长度即为最短路程．
【详解】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示：
由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB，
∴PA+PB=AP+PE，
由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A P B时，路程最短；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形，
∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m，
最短路程为：
PA+PB=AE
答：亮亮走的最短路程为．
【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、E在一条直线上时PA+PB最短是解题的关键．
22．(1)
(2)﹣6或10
【分析】（1）先配方，再根据非负数的性质可求a，b，根据勾股定理可求c，再根据三角形面积公式可求Rt△ABC的斜边上的高h的值；
（2）根据非负数的性质可求z，xy，再结合x﹣y＝6，可求x+y，进一步可求x+y+z的值．
（1）
解：∵a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，
∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144＝0，
（a﹣5）2+（b﹣12）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣12＝0，
解得a＝5，b＝12，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，
∴c＝，
∴h＝×5×12÷÷13＝ ．
故Rt△ABC的斜边上的高h的值为 ；
（2）
解：∵z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，
∴z2﹣4z+4+（xy）2﹣14xy+49＝0，
（z﹣2）2+（xy﹣7）2＝0，
z﹣2＝0，xy﹣7＝0，
解得z＝2，xy＝7，
∵x﹣y＝6，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝36+28＝64，
∴x+y＝±8，
当x+y＝﹣8时，x+y+z＝﹣8+2＝﹣6；
当x+y＝8时，x+y+z＝8+2＝10．
故x+y+z的值是﹣6或10．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．（1）见详解；（2）BC=25海里
【分析】（1）连接AB，然后作AB的垂直平分线，交OA于一点C，则点C即为所求；
（2）由（1）可设AC=BC=x，则有OC=45-x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）连接AB，分别以点A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，交OA于点C，则C即为所求；如图所示：
（2）连接BC，如图所示：
由（1）及OB=15海里，OA=45海里，可设AC=BC=x，则有OC=45-x，
在Rt△BOC中，
，即，
解得：，即BC=25海里．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）利用等面积法可以求出CD．
（1）
解：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝；
（2）
由题意得：，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
25．24平方米
【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24（m2）．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
26．(1)见解析
(2)2或4
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求，而BC=CD+BD=10，易求得=100=，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分两种情况：①当BP=AB时；②当AP=AB时；分别求出BP的长即可．
（1）
证明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，
∴＝20，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝4，
∴＝80，
∵BC＝CD+BD＝10，
∴BC2＝100，
∴＝100＝，
∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）
解：分两种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，则勾股定理，得
AB=，
∴BP＝AB＝2；
②当AP＝AB时，
∵AD⊥BC，即AD⊥BP，
∴BP＝2BD＝4．
综上所述：BP的长为2或4．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
27．
【分析】根据得到，再根据勾股定理计算出，再根据 为等腰直角三角形得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知如果三角形的三边长 a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．