2021-2022学年四川省八年级下学期人教版数学 第十八章：平行四边形练习题期末试题选编（含解析）

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·四川巴中·八年级统考期末）在平行四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．108 B．72 C．60 D．36
3．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022春·四川宜宾·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝60°，P、K分别是BD、AD上的点，则PA+PK的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．3+2 D．4
7．（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
8．（2022春·四川内江·八年级统考期末）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“”，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“”，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
10．（2022春·四川眉山·八年级统考期末）下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
二、填空题
11．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接EC．若的周长为5，则的周长为______．
12．（2022春·四川雅安·八年级统考期末）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE与AD相交于点F，若AB＝2，△CDF为等边三角形，则AC的长为________．
13．（2022春·四川绵阳·八年级校联考期末）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12，E、F分别是AD、OD的中点，则EF＝_____．
14．（2022春·四川达州·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E是的中点，连接，若，的周长等于8，则平行四边形的周长等于__________．
15．（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______．
16．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，那么的度数为________．
17．（2022春·四川广元·八年级统考期末）若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
18．（2022春·四川巴中·八年级统考期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点．连接，在点运动过程中，的最小值等于_______．
19．（2022春·四川内江·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝2，则阴影部分的面积是 _____．
20．（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 _________ .
三、解答题
21．（2022春·四川达州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、．
(1)试说明点A在线段的垂直平分线上；
(2)若点Q为平面直角坐标系中一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点Q的坐标；
(3)在直线和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22．（2022春·四川内江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
23．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD点F，BG平分∠ABC交CD点G，AF与BG交于点E．
(1)求证：DG＝CF；
(2)若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
24．（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，作，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．
(1)求证：四边形ACBE是矩形；
(2)连接OD．若，，求OD的长．
25．（2022春·四川广元·八年级统考期末）在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
26．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，长方形，点，分别为边，上两动点，将长方形左侧部分沿所在直线折叠，点落在边上点处，点落在点处，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)如图，若点与点重合，，求线段用含代数式表示；
(3)连接，若，且为等腰三角形，求的值．
27．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，已知，求三角形的面积．
28．（2022秋·四川眉山·八年级统考期末）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
(1)求证：AE=BF；
(2)若AB=4，BG=3，求EF的长；
(3)如图②，连接DF、CE，探究线段DF与CE的数量关系和位置关系并证明．
29．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形外一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF＝90°，连结AF．
(1)求证：AF＝CE；
(2)求证：AF∥EB；
(3)若EF＝，，求BC的长．
参考答案：
1．A
【分析】由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
2．A
【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，可得对角相等，邻角互补，又由在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，即可求得答案．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，ADBC，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：2，
∴∠D=×180°=108°．
故选A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
3．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④，
一共有4种组合，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．C
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
6．A
【分析】作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，求出A'K即为所求．
【详解】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'K⊥AD交BD于点P，连接AP，
由对称性可知，AP=A'P，
∴AP+PK=A'P+PK≥A'K，
∴当A'、P、K三点共线时，PA+PK的值最小，
∵∠ABD=60°，
∴∠BAA'=30°，
∵AB=4，
∴BM=2，AM=2，
∴AA'=4，
在Rt△AA'K中，∠AA'K=30°，
∴A'K=6，
∴AP+PK的最小值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2，则，BD=4，由菱形对角线的性质可得AC=8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=2，
∴BD=4，
∵OA=4，
∴AC=8，
∴菱形ABCD的面积= AC BD= ×8×4=16．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
8．A
【分析】由菱形对角线和边长组成一个直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长，再利用面积相等建立等式，即可求解高DH的长．
【详解】解：∵在菱形ABCD中：AC⊥BD，OA=AC=4cm，OB=BD=3cm，
∴,
在Rt△AOB中，OA=4cm，OB=3cm，
∴AB==5（cm），
菱形的面积S=AC BD=AB DH，
即×8×6=5×DH，
解得DH=cm，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的性质和菱形的面积，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解题的关键．
9．B
【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定定理对甲乙丙的说法进行证明，若证明成立，则说法正确，反之说法不正确．
【详解】解：在和中，
，
∴，
同理可证，
∴AC垂直平分BD，
甲：∵∥CD，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即四边形ABCD是菱形，故甲说法正确；
乙：添加“”，不能证明四边形ABCD是矩形，故乙说法错误；
丙：∵，
∴，
∴∥CD，
由甲可知四边形ABCD是菱形，
又∵，
∴四边形ABCD是正方形，故丙说法正确；
综上所述：甲和丙说法正确，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形，矩形，正方形的判定，解题的关键是证明AC垂直平分BD，再依次验证甲乙丙的说法．
10．D
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
对角线相等的菱形是正方形，正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．10
【分析】由平行四边形对角线互相平分和OE⊥AC可知OE为AC边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解．
【详解】解：∵在中，对角线AC，BD交于点O，
∴，
又∵OE⊥AC，
∴OE为AC边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∴的周长，
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出OE为AC边的垂直平分线是解题的关键．
12．
【分析】根据等边三角形及平行四边形的性质得出∠BCD=120°，∠ECB=60°，利用翻折的性质可得∠ECA=∠BCA=30°，EC=BC，AC⊥BC，结合图形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵△CDF为等边三角形，
∴∠FCD=∠FDC=60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BCD+∠FDC=180°，∠B=∠D=60°，
∴∠BCD=120，∠ECB=60°，
∵将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠ECA=∠BCA=30°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，翻折的性质及勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
13．3
【分析】由平行四边形的性质得OA=OC=6，再证EF是△AOD的中位线，即可得出结论．
【详解】】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OA=OC=6，
∵E、F分别是AD、OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=OA=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14．20
【分析】先利用平行四边形的性质得到为的中位线，利用三角形的中位线性质得到，进而求得即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，，
∵，的周长等于8，
∴，则，
∴，
∴平行四边形的周长等于，
故答案为：20．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．
15．8
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，D是AB边的中点，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．
【分析】连接AC，根据矩形的性质推出AC=BD，，由此推出CE＝AC，再根据等边对等角的性质及三角形外角性质求出答案．
【详解】解：连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，，OB=OC，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴，
∵CE＝BD，
∴CE＝AC，
∴，
故答案为：20°．
【点睛】此题考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，熟记矩形的性质并应用解决问题是解题的关键．
17．24
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
18．
【分析】作点关于的对称点，连接，根据题意先证明四边形是菱形，则 ，，可知，进而可知，共线，根据等面积法求得，当时最短即的长，进而求得的最小值为．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，，
于点，，，
四边形是菱形，
，，，
在和中
，
（ASA），
，
，
，
，，
，
，
三点共线，
，
，
，
当时最短即的长，
的最小值为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称，找到的最小值为是解题的关键．
19．
【分析】只需要证明△BEC≌△CFD得到CF=BE，EC=DF，利用勾股定理求出EC，再由求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∵∠CEB=∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠EBC=∠DCF，
∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CF=BE，EC=DF，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
20．
【分析】连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接FG交AC于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC和FG，AC的长度,从而求得AE,因为的中点，可得PE和AP,再由正方形的性质可得GM和EM ,FG，在Rt△PGM中，求解即可．
【详解】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M
∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上
∴A、E、C三点共线，，,
在中，
由勾股定理得：
∵AC＞0
∴
在中，
由勾股定理得：
∵EC＞0
∴
∴
又∵P是AE的中点，M是EC的中点
∴
又∵
在中，由勾股定理得：
即：=
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键．
21．(1)见解析
(2)点Q的坐标为（1，0）或（2，3）；
(3)存在，点M的坐标为（4，）或（-2，）或（2，）．
【分析】（1）由两点间的距离公式可得AB=AC，从而说明结论；
（2）利用勾股定理的逆定理可知△ABC是等腰直角三角形，则点Q与点A重合，利用对称性得出点Q的另一个点的坐标为（2，3）；
（3）设M（t， t+2），N（0，n），利用中点坐标公式可得答案．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），B（0，2），C（3，1），
∴OA=1，OB=2，AB==，AC==，BC==，
∴AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上；
（2）解：设Q（x，y），
∵AB=，AC=，BC=，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴点Q与点A重合，
∴点Q（1，0），
利用对称性得出点Q的另一个点的坐标为（2，3），
∴点Q的坐标为（1，0）或（2，3）；
（3）解：∵B（0，2），C（3，1），
∴直线BC的表达式为：y= x+2，
∵M在直线BC上，N在y轴上，
设M（t， t+2），N（0，n），
①当AC、MN为平行四边形的对角线时，
AC中点的横坐标为，MN中点的横坐标为，
∴2=，
∴t=4，
∴M（4，）；
②当AN、CM为平行四边形的对角线时，
AN中点的横坐标为，CM中点的横坐标为，
∴=，
∴t=-2，
∴M（-2，）；
③当AM、CN为平行四边形的对角线时，
AM中点的横坐标为，CN中点的横坐标为，
∴=，
∴t=2，
∴M（2，）；
综上所述：点M的坐标为（4，）或（-2，）或（2，）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)见详解
(2)，
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进一步证得，，从而得到，即可得到DG＝CF；
（2）作交DC的延长线与点M，先证明，再证明四边形是平行四边形，分别求得，BM＝8，根据勾股定理即可求出GB．
【详解】（1）证：∵AF平分∠BAD，BG平分∠ABC
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DG＝CF；
（2）解：如下图所示，作交DC的延长线与点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵BM=AF＝8，
∴，
故，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
24．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）先证明四边形ACBE是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
（2）先证明 AOC为等边三角形，由各角之间的关系得出∠FAO=90°-60°=30°，根据含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC⊥AD，
∴∠EAC=∠DAC=90°，
∵∠ECA=∠ACD，
∴∠AEC=∠ADC，
∴CE=CD，
∴AE=AD=BC，
∵AE∥BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠EAC=90°，
∴四边形ACBE为矩形；
（2）如图，过点O作OF⊥DE于F，
由（1）可知，四边形ACBE为矩形，
∴对角线AB与CE相等且互相平分，AO=，
∴OA=OC，
∵∠ACD=∠ACO=60°，
∴ AOC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠EAC=90°，
∴∠FAO=90°-60°=30°，
在Rt AFO中，
OF=，，
在Rt AEB中，，
AD=AE=，
∴DF=AF+AD=，
∴OD=．
【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
25．（1）证明见解析；（2）8
【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】由折叠的性质可得，，由余角的性质和等腰三角形的性质可求解；
先证四边形是菱形，由菱形的面积公式可求解；
因为与，与关于对称，所以与的交点在对称轴上，，设交点为，由，推出，，分三种情形：若若若，分别求解即可．
【详解】（1）由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，
，
，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图中，连接．
线段，线段关于对称，
与的交点在对称轴上，，设交点为，．
，
，
，
，
，
若，
，
，
，，
≌，
与已知，矛盾．
若，
，
，
中，，
，
此种情形不存在．
若，
，
，
解得负根已经舍去，
综上所述，的值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．(1)证明见解析
(2)菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状；
（3）由可得，由所对的直角边等于斜边的一半，可得，，，在中，由勾股定理求的值，进而可得的值，由，可得的值，根据计算求面积即可．
【详解】（1）证明：由题意知，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵
∴，
∵，
∴，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴ 为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所对的直角边等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．(1)见解析
(2)0.8
(3)DF=CE且DF⊥CE，证明见解析
【分析】（1）先判断出∠AED=∠BFA=90°，再判断出∠BAF=∠ADE，进而利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，即可得出结论；
（2）先求出AG，再求出BF、AF，由EF=AF-AE=AF-BF即可得出结论；
（3）先判断出AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等，得出∠ADF=∠DCE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AG于点E,BF∥DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴ ∠BAF= ∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
，
∴△AFB≌△DEA(AAS)．
∴AE=BF；
（2）∵AB=4，BG=3，∠ABG=90°，
AG=，
∵∠BFA=90°，
∴，
即，
∴BF=，
在Rt△AFB中，AF=，
∵AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=3.2-2.4=0.8．
（3）DF=CE且DF⊥CE．
理由如下：
∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC．
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE．
在△FAD和△EDC中，
，
∴△FAD≌△EDC(SAS）．
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∠DCE+∠CDF=90°，
∴DF⊥CE，
∴DF=CE且DF⊥CE．
【点睛】本题是四边形综合题，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．
29．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°，AB=BC，得出∠ABF+∠FBC=90°，根据△E BF是等腰直角三角形，BF=BE，∠FBE=90°，得出∠FBC+∠CBE=90°，根据同角的余角相等可得∠ABF=∠CBE，再证△ABF≌△CBE（SAS）即可；
（2）根据以BC为斜边作直角三角形BCE，得出∠CEB=90°根据△ABF≌△CBE，得出∠AFB=∠CEB=90°，根据∠EBF＝90°得出∠AFB=∠EBF＝90°利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行得出AF∥EB；
（3）在等腰直角三角形FBE中，根据勾股定理， 求出BF=1，根据，得出CE=2BF=2，根据勾股定理求即可．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠FBC=90°，
∵△E BF是等腰直角三角形，
∴BF=BE，∠FBE=90°，
∴∠FBC+∠CBE=90°，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE；
（2）
证明：∵以BC为斜边作直角三角形BCE，
∴∠CEB=90°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠AFB=∠CEB=90°，
∵∠EBF＝90°
∴∠AFB=∠EBF＝90°
∴AF∥EB；
（3）
解：在等腰直角三角形FBE中，
∴BF=BE，
∵EF=
根据勾股定理，即，
解得BF=1，
∵，
∴CE=2BF=2，
在Rt△BCE中，BC=．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定是解题关键．