广东省佛山市重点中学2022-2023学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题（含答案）

2022~2023学年下学期高一第一次教学质量检测
数学科试题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(　　)
A． B． C． D．
角的终边经过点，则的值为 (　　)
A． B． C． D．
若，则 (　　)
A． B． C． D．
设D为△ABC所在平面内一点，，则 (　　)
A． B．
C． D．
已知，则 (　　)
A． B． C． D．
如图，若,则的值为 (　　)
A． B． C． D．
如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形ABCD的面积最大值为 (　　)
A． B． C． D．
函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象 (　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
下列选项中，与的值相等的是 (　　)
A． B．
C． D．
设，则 (　　)
A．的最小正周期为 B．是的一条对称轴
C．在上单调递增 D．向右平移个单位后为一个偶函数
定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的是 (　　)
A． B．
C． D．若，则与平行
已知函数，下列关于该函数结论正确的是 (　　)
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最大值为2 D．是区间上的增函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
不等式的解集是________．
函数的最小值为________．
已知，，则________．
如图，点C在半径为1，圆心角的扇形OAB的弧上运动．已知，则当时，________；的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(10分) 已知，且．
求的值．
若，，求的值．
(12分) 已知，，．求：
与的夹角．
．
(12分) 已知函数．
求的最小正周期和对称中心．
求在区间上的最大值和最小值．
(12分) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式．
问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
(12分) 己知函数在区间单调，其中，，且．
求图象的一条对称轴．
若，求．
(12分) 函数()的部分图象如右图，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
当时，求函数的单调递减区间．
对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．
2022~2023学年下学期高一第一次教学质量检测
数学参考答案与评分标准
第一部分　选择题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D A B C A B ABC AC AD ABD
第二部分　填空题答案
．
．
．
；．(第一空2分，第二空3分)
第三部分　解答题答案与评分标准
解：
，且．
． 2分
． 4分
，，，． 6分
． 8分
10分
解：
，
，即， 2分
． 4分
又的取值范围为，
． 6分
8分
化为． 12分
解：
因为
3分
所以的最小正周期． 4分
令，解得，
所以的对称中心为 ． 6分
当时，，． 8分
当，即时，取得最小值． 10分
当，即时，取得最大值． 12分
解：
由题意知：． 2分
，故． 4分
由题可取，
因此， 6分
令，则，即． 8分
因为，则，所以或， 10分
解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米 12分
解：
由题设，的最小正周期． 2分
又因为，
所以为图象的一条对称轴．． 4分
由（1）知，故，由，得或． 5分
由为的对称轴，
所以． 6分
因为，
所以或． 7分
若，则，
即．不存在整数，使得或． 9分
若，则，
即．不存在整数，使得或． 10分
当时，． 11分
此时，由，得． 12分
解：
由函数图象可知，，， 1分
，． 2分
当时，，． 3分
又，故， 4分
，，
． 5分
由，解得，
可得函数的单调递减区间为 6分
由，得，
由，可得，，
． 8分
又，得，所以，
由的唯一性可得：即． 10分
由，得，解得，
综上所述，当时，使成立． 12分
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