福建省永春县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

永春县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算组合数得到的值为（ ）
A.1320 B.66 C.220 D.240
2.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则，的值分别是（ ）
A.， B.2， C.， D.2，
3.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）
参考数据：，，
.
A.455 B.2718 C.6346 D.9545
4.2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731g月球土壤样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家.某科研所共有A，B，C，D，E，F六位地质学家，他们全部应邀去甲、乙、丙、丁四所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，则不同的派遣方法的种数为（ ）
A.288 B.376 C.1560 D.1520
5.已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A.2 B.6 C.8 D.18
6.在的展开式中，的系数等于（ ）
A. B. C. D.
7.某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A.72种 B.81种 C.144种 D.192种
8.已知，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：
64 16
10 10
则可以推断出（ ）
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64
B.若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C.有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关
D.在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度无关
10.已知，设的展开式的二项式系数之和为，，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.为奇数时，；为偶数时，
D.
11.已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A. B.
C. D.最大时或501
12.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A.事件，为互斥事件 B.事件，为独立事件
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。
13.在的展开式中，常数项为______（请用数字作答）
14.某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如表.
年龄区间
赋值变量 1 2 3 4 5
人群数量 2 3 7 8
若由最小二乘法得与的线性回归方程为，则______.
15.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为______.
16.定义：在等式中，把，，， ，叫做三项式的次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，）.则（1）三项式的2次系数列各项之和等于______；（2）______.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）
已知各项都是正数的数列，前项和满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.
18.（本小题12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的最小值.
19.（本小题12分）
某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成份的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2， ，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成份的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，.
（1）求关于的经验回归方程；
（2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立.
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率.
参考公式：，.
20.（本小题12分）
永春老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发醇工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格.若合格.再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如表所示.
指标 区间
来源 改良前 改良 后 改良前 改良 后 改良前 改良 后 改良前 改良 后 改良前 改良 后 改良前 改良 后
个数 3 1 5 2 30 26 31 34 24 15 7 2
附：成品醋的品质采用指标值进行评价.评价标准如表所示.
一等品 二等品 三等品
合格 不合格
（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为，求的分布列：
（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润（单位：元）与指标值的关系为，
若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品
21.（本小题12分）
为深入贯彻落实党的二十大精神，某单位党支部组织党员参加党的二十大主题知识答题竞赛活动，每位参赛者答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.党员甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
②若，求的最小值.
22.（本小题12分）
设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明：.
永春县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案
1.C.解：根据题意，，故选：C.
2.B.解：由题意得，由题意可知，，则.
又∵经验回归方程为，∴，，即，.故选：B.
3.B.解：，则数学成绩位于的人数约为.故选：B.
4.C.解：根据题意，分2步进行分析：
（1）将A、B、C、D、E、F六位地质学家分为4组，
若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，
若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则有种分组方法，
（2）将4组分配到4所中学，有种分派方法，则有种不同的派遣方法.
故选：C.
5.D.解：根据分布列可知.解得，，，所以.故选：D.
6.C.解：在的展开式中，的系数为，故选：C.
7.D.解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D.
8.A.解：比较、只需比较，，
设，则，当时，，
即函数在上单调递减，所以，即，
所以，所以.
比较、只需比较，，
设，则，因为单调递减，
且，所以当时，，，
所以在上单调递减.即，，
所以，即.综上，.故选：A.
9.AC.解：经计算
对于A，该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，∵，∴有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故C正确，
在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故D错误.故选：AC.
10.AD.解：设的展开式的二项式系数之和为，所以有：，
在中，令，得，当为偶数时，，当为奇数时，，所以A说法不正确；
在中，令，所以有，
而，所以，因此选项B说法正确；
当为偶数时，，即，当为奇数时，，即，
因此选项C说法正确，选项D说法不正确，故选：AD.
11.AD.解：，故A正确；
因为，且，
所以，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，由组合数的性质得，最大时或501，故D正确.故选：AD.
12.ACD.解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件，不会同时发生，则两个事件是互斥事件，A正确；
对于B，事件发生或不发生时，事件的概率不一样，则事件B，C不是独立事件，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，若事件发生，即第一次取出的是白球，此时袋中有3个红球和1个白球，若事件发生，第二次必须为红球，则.故选：ACD.
13.60.解：二项式的展开式的通项公式为，，
1，2，…，6，令，解得，所以展开式的常数项为，故答案为：60.
14.10.解：由题意可知，，
∴，∴，故答案为：10.
15.45.解：先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为种，故答案为：45.
16.解：（1）三项式的2次系数列为，
则令得三项式的2次系数列各项之和等于，
（2）当时，三项式为，则为的系数，
∵，
∴的通项公式为，∴的通项公式为，
∴的系数为.即
17.解：（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，故，所以当时，.
18.解：（1）当时，函数，，，，
∴曲线在处的切线方程为，即.
（2），.
，
时，令，解得，
①时，，，∴，
∴函数在单调递减.
∴时，函数取得最小值，.
②时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴时，函数取得极小值即最小值，.
③时，，时，，函数单调递增.
∴时，函数取得最小值，.
19.解：（1），，
所以，
，所以关于的经验回归方程为.
（2）设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”，
①因为设备的生产效率是设备的2倍，
所以，，
所以随机抽取一件，所抽药品为不合格品的概率是.
②，
所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为.
20.解：（1）由题意分析可知可能取值为0，1，2，
； ； ；
所以的分布列：
0 1 2
（2）改良前的利润：元，
增长20%后：元，
设有件一等品，其余均为二等品，此时的一等品数量最少，
则，
解得，所以至少8件.
21.解：（1）设甲前3次答题得分之和为40分为事件，事件包含第1次答对，第2次答错，第3次答错；第1次答错，第2次答对，第3次答错；第1次答错，第2次答错，第3次答对：
∴；
（2）①，
，时，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，
其概率分别为，，于是甲第次答题所得分数的数学期望为：
，
则；
（2）由①知，
且时，，易知为增数列，
则；
；
；
；
故的最小值为5.
22.解：（1）定义域为，；
令，则得到导函数的两个零点，或，令，
①当时，即时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；
③当时，即时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；
当时，只有单增区间；
当时，的单减区间为，单增区间为；
（2）证明：由题可知，，
所以
又，由上式可知，.
故欲证结论等价转化为，又，
故函数单调递增，故只需证明：，
设，是方程的两个不等实根，不妨设为，
则，
两式相减整理得到，
从而得到，故只需要证明，
即，由于，
转化为，
即，即，
令，则上述式子转化为
设，则，
当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，
故得证，
从而得证.