第五章 圆复习学案
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第五章圆（复习）
【学习目标】
认识并掌握圆的有关概念和计算
理解并掌握与圆有关的位置关系
会进行弧长，扇形面积以及圆锥的有关计算
【课前梳理】
1.知识脉络
2.知识内容
（1） 圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系:
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，
那么 也分别对应相等.
以上定理也叫1推3定理，即结论中只要知道其中的1个相等，则可以推出
其它的3个结论，
即：①；②；③；④ 弧弧
②垂径定理: 直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论:
平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
弦的垂直平分线 圆心，并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的另一条弧.
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中
2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧
⑤ 弧 弧中任意2个条件推出其他3个结论。
③圆周角定理：圆周角的度数等于它所对 的圆心角度数的一半.
圆周角的度数等于它所对 的度数的一半.
所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧.
直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是半圆.
推论:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
④圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形 ，并且任何一个外角等于它的 .
（2）点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在 ； 点在 ； 点在 .
②不在同一直线上的三点 一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.
③三角形的外心是三角形 的交点.
三角形的外心到三角形的 的距离相等.
（3）直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相 ；直线与圆相 ；直线与圆相 .
②切线的性质:与圆只有 公共点；
圆心到切线的距离 半径；
圆的切线垂直于 的半径.
③切线的识别:如果一条直线与圆只有 公共点，那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离 半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且 这条半径的直线是圆的切线.
④三角形的内心是三角形三条 的交点.
三角形的内心到三角形 的距离相等.
⑤切线长：圆的切线上某一点与 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥切线长定理:从圆外一点引圆的 ，它们的切线长相等.
这一点和 的连线平分这两条切线的夹角.
（4）与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是 形.
圆柱体也可以看成是一个 形以它的一边为轴旋转而形成的几何体.
圆柱的侧面积＝底面 ×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是 形，这个 形的弧长等于圆锥 的周长，扇形的 等于圆锥的母线长.
圆锥体可以看成是由一个 三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体.
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线=
圆锥的全面积＝侧面积＋底面积=
(5)圆内正多边形的计算
①正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
②正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
③正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
【课堂练习】
例1.如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD
跟踪训练1. A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120度,C是弧AB 的中点，试确定四边形的形状，并说明理由。
例2.如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结交于点．与的大小有什么关系？为什么？
跟踪训练2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD长
例3.如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交
弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长。
跟踪训练3.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？
.
例4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
跟踪训练4.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．
例5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
跟踪训练5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【巩固训练】
1.如图，内接于，若，则等于（ ）
B． C. D．
SHAPE \* MERGEFORMAT
如图，在半径为13的⊙O中，弦AB=10，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为
3.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ．
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=60°，则∠E=
6.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
7.如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，
求证：（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
第五章复习学案答案
课堂练习
例1.
例2.
解:(1)
理由是:连接AD.
是的直径,
,即,
又,
;
(2)连接OD、OF.
中,,,
,
,
,
,
的度数是;
同理,
则
则的度数是,的度数是
跟踪训练2.，延长交的延长线于点
在中，，，
四边形内接于
答：的长为.
例3.解：
设OD=x，则OA=OE=x+2(cm).
∵E是弧AC的中点，
∴AC⊥OE，且AD=DC=AC=4cm，
在直角△AOD中，OA=OD+AD，
则(x+2)=16+x，
解得：x=3.
即OD=3cm.
跟踪训练3.
(1)证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD
∴∠COB=∠DOB=∠COD.
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB.
(2)∠CP′D+∠COB=180 .
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180 ,∠COB=∠DOB=12∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180 .
例4.证明：(1)∵AB是☉O的直径，OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD,
∴∠CBD=∠ABD，即BD平分∠ABC；
(2)连接AD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30 ，
由圆周角定理得,∠DOA=2∠ADB=60 ，
∴△AOD为等边三角形，
∴OD=OA，
∵∠DOA=60 ,∠C=90 ，
∴BC=12AB=OD.
跟踪训练4.
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是的中点
∴
∴∠1﹦∠A（等弧所对的圆周角相等），
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF；
（2） ∵C是的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB=AC+BC，
又∵BC=CD，
∴AB=64+36=100，
∴AB=10，
∴
故⊙O的半径为5，CE的长是．
例5.
(1)如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB=90 ，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90 ，
∴∠AEO=90 ，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
(2)∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90 ，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴BD:BE=BE:BC,即=，
∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90 ，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴AO：AB=OE：BC,即，
解得：AD=.
跟踪训练5.
连接, 交于
平分,
是的切线.
是的中点，
,
,
，
是等边三角形，
,
巩固训练
D 2. 3. 4.D 5.90° 6. 7.C
8.
证明：(1)∵正方形ABCD内接于
∴∠BED=∠BAD=90 ,∠BFD=∠BCD=90 ，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180 ，
∴∠EDF=90 ，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）∵正方形ABCD内接于
∴弧AD的度数是90 ，
∴∠AFD=45 ，
又∵∠GDF=90 ，
∴∠DGF=∠DFC=45 ，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG.
C
A
B
C
D
F
O
A
C
B
D
E
F
O
1题图
2题图
4题图
5题
6题
7题
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第五章圆（复习）
【学习目标】
认识并掌握圆的有关概念和计算
理解并掌握与圆有关的位置关系
会进行弧长，扇形面积以及圆锥的有关计算
【课前梳理】
1.知识脉络
2.知识内容
（1） 圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系:
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，
那么 也分别对应相等.
以上定理也叫1推3定理，即结论中只要知道其中的1个相等，则可以推出
其它的3个结论，
即：①；②；③；④ 弧弧
②垂径定理: 直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论:
平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
弦的垂直平分线 圆心，并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的另一条弧.
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中
2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧
⑤ 弧 弧中任意2个条件推出其他3个结论。
③圆周角定理：圆周角的度数等于它所对 的圆心角度数的一半.
圆周角的度数等于它所对 的度数的一半.
所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧.
直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是半圆.
推论:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
④圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形 ，并且任何一个外角等于它的 .
（2）点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在 ； 点在 ； 点在 .
②不在同一直线上的三点 一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.
③三角形的外心是三角形 的交点.
三角形的外心到三角形的 的距离相等.
（3）直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相 ；直线与圆相 ；直线与圆相 .
②切线的性质:与圆只有 公共点；
圆心到切线的距离 半径；
圆的切线垂直于 的半径.
③切线的识别:如果一条直线与圆只有 公共点，那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离 半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且 这条半径的直线是圆的切线.
④三角形的内心是三角形三条 的交点.
三角形的内心到三角形 的距离相等.
⑤切线长：圆的切线上某一点与 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥切线长定理:从圆外一点引圆的 ，它们的切线长相等.
这一点和 的连线平分这两条切线的夹角.
（4）与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是 形.
圆柱体也可以看成是一个 形以它的一边为轴旋转而形成的几何体.
圆柱的侧面积＝底面 ×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是 形，这个 形的弧长等于圆锥 的周长，扇形的 等于圆锥的母线长.
圆锥体可以看成是由一个 三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体.
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线=
圆锥的全面积＝侧面积＋底面积=
(5)圆内正多边形的计算
①正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
②正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
③正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
【课堂练习】
例1.如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证：CD=BD
跟踪训练1. A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120度,C是弧AB 的中点，试确定四边形的形状，并说明理由。
例2.如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结交于点．与的大小有什么关系？为什么？
跟踪训练2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD长
例3.如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交
弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长。
跟踪训练3.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？
.
例4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
跟踪训练4.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ，CE的长是 ．
例5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
跟踪训练5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【巩固训练】
1.如图，内接于，若，则等于（ ）
B． C. D．
SHAPE \* MERGEFORMAT
如图，在半径为13的⊙O中，弦AB=10，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为
3.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ．
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=60°，则∠E=
6.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
7.如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8.正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，
求证：（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．
第五章复习学案答案
课堂练习
例1.
例2.
解:(1)
理由是:连接AD.
是的直径,
,即,
又,
;
(2)连接OD、OF.
中,,,
,
,
,
,
的度数是;
同理,
则
则的度数是,的度数是
跟踪训练2.，延长交的延长线于点
在中，，，
四边形内接于
答：的长为.
例3.解：
设OD=x，则OA=OE=x+2(cm).
∵E是弧AC的中点，
∴AC⊥OE，且AD=DC=AC=4cm，
在直角△AOD中，OA=OD+AD，
则(x+2)=16+x，
解得：x=3.
即OD=3cm.
跟踪训练3.
(1)证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD
∴∠COB=∠DOB=∠COD.
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB.
(2)∠CP′D+∠COB=180 .
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D=180 ,∠COB=∠DOB=12∠COD，
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠COB=∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB=180 .
例4.证明：(1)∵AB是☉O的直径，OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD,
∴∠CBD=∠ABD，即BD平分∠ABC；
(2)连接AD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30 ，
由圆周角定理得,∠DOA=2∠ADB=60 ，
∴△AOD为等边三角形，
∴OD=OA，
∵∠DOA=60 ,∠C=90 ，
∴BC=12AB=OD.
跟踪训练4.
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是的中点
∴
∴∠1﹦∠A（等弧所对的圆周角相等），
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF；
（2） ∵C是的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB=AC+BC，
又∵BC=CD，
∴AB=64+36=100，
∴AB=10，
∴
故⊙O的半径为5，CE的长是．
例5.
(1)如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB=90 ，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90 ，
∴∠AEO=90 ，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
(2)∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90 ，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴BD:BE=BE:BC,即=，
∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90 ，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴AO：AB=OE：BC,即，
解得：AD=.
跟踪训练5.
连接, 交于
平分,
是的切线.
是的中点，
,
,
，
是等边三角形，
,
巩固训练
D 2. 3. 4.D 5.90° 6. 7.C
8.
证明：(1)∵正方形ABCD内接于
∴∠BED=∠BAD=90 ,∠BFD=∠BCD=90 ，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180 ，
∴∠EDF=90 ，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）∵正方形ABCD内接于
∴弧AD的度数是90 ，
∴∠AFD=45 ，
又∵∠GDF=90 ，
∴∠DGF=∠DFC=45 ，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG.
C
A
B
C
D
F
O
A
C
B
D
E
F
O
1题图
2题图
4题图
5题
6题
7题
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