1.6 完全平方公式（第二课时）教案

课时课题：第一章 整式的运算 第6节 完全平方公式 第2课时
教学目标：
1．运用完全平方公式进行一些数的简便运算，会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算；区分(a+b)2与a2+b2的关系．
2．能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力，感悟换元变换的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力，体会符号运算对解决问题的作用，进一步发展学生的符号感．
3．在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美．
教学重点与难点：
重点是巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系；熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义．
难点是区分(a+b)2与a2+b2的关系；熟悉乘法公式的运用，体会公式用中字母a、b的广泛含义．
教法与学法指导：
教法：运用让学生自主探究的方法，帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识，提高他们的自学能力和解决实际问题的能力．
学法：引导学生主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、引导回顾，搭建桥梁
1．复习完全平方公式的有关知识．（多媒体出示）
师：上节课我们学习了运用完全平方公式进行整式乘法的运算．哪位同学能说一说什么是完全平方公式？用文字语言如何叙述？公式中的字母a、b可以表示什么？
（学生思考、稍作沉思后）
生1：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2 -2ab+b2．（教师板书）
生2：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍．
生3：数或代数式．
2．计算：
(1)(2x+y)2； (2)(-2x+3y)2；
(3)(-2x-3y)2； (4)(1-3a)2．
（按学习小组分配，每组一题．学生完成后，教师利用实物投影让学生进行评价，教师进行点评）
设计意图：本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，起到了承上启下的作用．
二、构造悬念，创设情境
（多媒体出示，提出问题）
师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，…… 如果让你去你会怎么做？为什么？
生4：（学生非常兴奋）如果是我，我会和很多人一起去．因为去一个人只能得一块糖；去两个人每人就能得两块糖；去三个人，每人就能得三块糖；去的越多每人分到的糖越多．（全班同学哈哈大笑，课堂气氛热烈．）
师：（微笑）你有点贪吃呦．同学们，假如第一天有 a 个孩子一起去看老人， 第二天有 b 个孩子一起去看老人，第三天有（a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多么吗？（学生开始思考并讨论．）
师：本节课我们继续来学习运用完全平方公式来进行整式乘法运算．
【板书课题：§1.6 完全平方公式（2）】
设计意图：数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，创设活跃的课堂气氛，培养学生的学习兴趣及学习热情．及时抛出问题，设置悬念，激发学生的求知欲．
三、目标导向，探究学习
探究一：(a+b)2与a2+b2的关系
（多媒体出示，引导探究问题）
(1) 第一天有 a 个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2) 第二天有 b 个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3) 第三天这（a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（学生思考、稍作沉思后）
生5：第一天有 a 个孩子一起去了老人，老人一共给了这些孩子a2块糖．
生6：第二天有b 个孩子一起去了老人，老人一共给了这些孩子b 2块糖．
生7：第一天有（a + b)个孩子一起去了老人，老人一共给了这些孩子（a + b)2块糖．
师：你们回答的很好．那么这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？
生8：第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数多．
师：多多少？为什么？
（学生开始计算，计算后回答．）
生9：多2ab块糖果．因为第三天得到的糖果总数是（a + b)2块，前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块， (a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab．
师：为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因．
(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花．)
生10：对于a个孩子来说，每个孩子第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同样对于b个孩子第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块．因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块．
师：同学们，你们同意他的分析吗？
生：同意．
师：这位同学分析的很好！上面的问题充分说明：(a+b)2≠a2+b2，同时可以我们还可以得出(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2－(a2+b2)= 2ab．（板书）下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现．
设计意图：数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生进一步巩固了(a+b)2=a2+2ab+b2，帮助学生进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系．同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的思维梯度，学生通过自主探究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发．
探究二：简便计算（多媒体出示）
例 利用完全平方公式计算：
(1) 1022； (2) 1972．
学生先自主探究，然后在小组内交流．教师适时引导：如果直接计算1022，1972会很繁．根据题目的提示可以想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2．最后让学生利用实物投影展示，并让生生互评．
展示：
1022=(100+2)2 1972 =(200-3)2
=1002+2×100×2+22 =2002-2×200×3+32
=1000+400+4 =4000-1200+9
=10404； =38809．
师：把1022改写成(a+b)2还是(a b)2 a、b怎样确定？
生11：把 1022 改写成 (a+b)2，a为100，b为2．
师：把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a b)2 a、b怎样确定？
生12：把 1972 改写成 (a b)2 ， a为100，b为2．
师：由以上两题可以看出对于一些数的运算，如果运用完全平方公式可以使运算变的更简便．下面两道练习题哪位同学能主动到前面来板演？（两名同学主动到黑板板演．）
巩固训练：利用乘法公式计算：
(1) 962 ； (2) 2032．
（两名学生板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时评价．）
设计意图：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．通过在解题之前的观察与思考，使学生养成认真审题的好习惯，同时对于知识的掌握更有深度，也为后面乘法公式的综合应用奠定了良好的活动基础．
四、诱向深入，拓展思维
师：通过上面的学习，我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，同时也进一步体会到符号运算对解决问题的作用．下面我们再来看一个例题．(多媒体出示)
例2 计算：
(1)(x+3)2－x2； (2)(a+b+3)(a+b－3)；
(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)．
师：请同学们认真观察、分析，在小组内讨论交流，说出各题特点及做法．
（学生开始认真观察、分析，并在小组内热烈讨论、交流．完成后教师让学生说出自己的看法，教师及时补充．注意要为学生提供充分交流的机会．）
生13：第(1)题可以直接用完全平方公式计算．
生14：第(1)题也可以逆用平方差公式计算．
生15：第(2)题每个因式含有三项，可以利用多项式乘以多项式的法则直接运算．
生16：第(2)题利用多项式乘以多项式的法则直接运算过程很复杂而且易错．第(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式．
生17：第(3)题前面可以直接运用完全平方公式展开，后面要运用多项式乘以多项式的法则直接运算．
师：同学们分析的很好．但是第(3)题的后面，要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，避免符号上面出错．下面哪位同学能主动根据分析到黑板来板演？
（学生自主选择不同的方法进行板演，其它学生在练习本上完成，教师来回巡视指导，帮助学困生．）
展示：
(1)方法一：直接利用完全平方公式 方法二：逆用平方差公式
解： (x+3)2-x2 解：(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2 =(x+3+x)(x+3-x)
=6x+9． =(2x+3)·3=6x+9．
(2) 方法一：平方差公式
解: (a+b+3)(a+b-3)
=[(a+b)+3][(a+b)-3]
=(a+b)2-32
=a2+2ab+b2-9．
方法二：多项式乘以多项式法则
解: (a+b+3)(a+b-3)
=a2+ab-3a+ab+b2-3b+3a+3b-9
= a2+2ab+b2-9
(3) 解: (x+5)2-(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19．
教师在学生展示完成后及时给予评价，指出存在的问题，引导学生比较（1）、（2）两小题两种方法的优劣，进行方法优化．同时强调第（3）小题当整式乘法之间用减号连接时，此时应特别注意后面部分的计算结果应该加上括号，这是非常容易出错的地方．
巩固练习：
(1)(a-b+3)(a-b-3)； (2)(ab+1)2-(ab-1)2； (3)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)．
（让三名学生板演，其余学生在练习本上完成，教师巡回指导，及时点评．）
设计意图：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．并且在解题过程中体会解题前观察与思考的重要性，学会一题多解情况下的优化选择，并通过例题中的第（2）小题体会整体思想，同时渗透添加括号的思想． 借助巩固练习，强化学生优化选择的意识．
五、总结患联，建构体系
师：同学们，在紧张而又活泼的气氛中度过了一节课，你有何收获和体会，不妨和大家共享．
生18：在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系．
生19：通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
生20：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择．
……
设计意图：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，在其中能够发现学生掌握较为薄弱的地方，从而在今后教学中可以得以弥补．教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，明确所涉及的数学思想和数学方法．
六、达标检测，评价矫正
A层：
1．利用完全平方公式计算
(1) 982； (2) 1032．
2．计算
（1）(x－2y)(x＋2y)－(x-4y)2；
（2）(m＋2n＋3)(m＋2n－3)；
（3）(2a＋1)2－91－2a)2．
B层：
3．已知：a+b=3，ab=-12，求下列各式的值
(1) (a-b)2； (2) a2+b2．
4．若(x-2y)2=(x+2y)2+A，则A = ．
5．若9x2-12x+m是完全平方式，则m = 　 ．
（学生完成后，教师及时点评、总结）
设计意图：进一步巩固完全平方公式的应用． A层题目是基础题，面向全体．B层题是拓展题面向中等以上学生，进一步提高他们的能力．
七、布置作业，课后提升
必做题：课本P27 习题1.12 第1题（2）、（4）小题．
选做题：课本P27 习题1.12 第2、4题．
设计意图：课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈．
板书设计:
1.6 完全平方公式（2）
完全平方公式：(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2分糖问题：(a+b)2－(a2+b2)= 2ab 例1利用完全平方公式计算：(1) 1022 ； (2) 1972 例2 计算：(1)(x+3)2－x2； (2)(a+b+3)(a+b－3)；(3)(x+5)2－(x－2)(x－3) 巩固训练
学生活动区 学生活动区 学生活动区
教学反思：
1．重视学生的自我生成．本课整体设计重视使学生学习过程与学生的自我生成相一致，让学生通过自己的经验来学习，这样的教学有利于激发学生的学习积极性，增强学习主动性．
2．教学中力求使“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式．遵循了课程标准所提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”的理念．
3．在整个新课的教学中，引导学生采用“动脑想，动手写，会观察，齐讨论，得结论”的学习方法．这样做，增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；这样做，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”；这样做，体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势．
4．选择具有典型性，由浅入深的例题．结合本节课教学内容，选择具有典型性，由浅入深的例题，让学生认知内化，形成能力．通过发展提高，培养学生迁移创新精神，有助于智力的发展．
不足之处：
（1）时间把握的不够好，后面显得有点紧．当看到学生做不出来时，急于求成减少了学生的锻炼机会．
（2）学生在利用乘法公式具体做题时，时常犯符号错误，整体转换的思想还需加强．
单项式乘多项式
把(a+b)看成
一个整体
别忘了加括号呦！
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