1.7 整式的除法（第二课时）教案

课时课题：第一章整式的乘除 第7节 整式的除法 第2课时
教学目标：
1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行多项式除以单项式的除法运算.
2.探索多项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验.
3.理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理的思考及其表达能力.
教学重点与难点：
重点：多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．
难点：探索多项式除以单项式的运算法则的过程．
教法与学法指导：
自主探索法：
类比整数的除法：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，凭借已经有的数学经验自主探索多项式除以单项式的运算法则，并能用语言有条理的思考及表达.在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．
课前准备：
教师准备：多媒体课件、实物投影、导学案．
学生准备：练习本，尝试完成导学案．
教学过程：
一、创设情境，激趣导入
如图,任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果.
师：任意给一个非零数，体会程序(算法)的思想.
生：我输入m=3,按下列程序可输出3，即程序：m→m2→m2+m→m+1→m．
如：m=3→9→12→4→3；
m=4→16→20→5→4；
m=－1→1→0→0→－1.
师：为什么按上述程序输入m的值是几，输出的也是几？你能用算式说明其中的道理吗？
生：上面的程序可用一个算式表示，即(m2 +m)÷m－1.而算式中的(m2+m)÷m是多项式除以单项式，……
（设计意图：本环节提出了一个以学生现有认知水平可以解决的问题，目的在于激发学生的求知欲和好奇心.教师提出在学习了本节知识以后，同学们就可以解决这个问题了，从而也让学生明确了本节知识的作用.）
二、诱思探究，获取新知
（一）诱思自学
探求多项式除以单项式的除法法则：
1.计算下列各题，说说你的理由.
(1)(ad+bd)÷d= ；
(2)(a2b+3ab)÷a= ；
(3)(xy3－2xy)÷(xy)= .
师：上节课我们学习了单项式除以单项式，这节课我们就来学习多项式除以单项式.
凭同学们的数学经验，我们先来试着做第1题及(m2+m)÷m.然后同学之间交流.
（学生带着问题自学，教师巡视．对个别没有自学意识等待老师“授之以鱼”的学生进行鼓励：本节课知识并不难，你只要认真看、大胆说，这节课最棒的肯定是你．）
（设计意图：通过自主学习，让学生直观的接触相关问题，比较符合形象思维占主导的年龄段学生的认知特点．授人以鱼不如授之以渔，授之以渔不如授之以欲．教师一句激励的话语，给学生自学的动力．）
成果展示
方法1：类比有理数的除法
生：我是这样考虑的，类比数的除法把除以单项式看成是乘这个单项式的倒数，即：
(1)(ad+bd)÷d=(ad+bd)×
=+(利用乘法分配律)
=a+b；
(2)(a2b+3ab)÷a
=(a2b+3ab)×
=a2b×+3ab×(利用乘法分配律)
=+
=ab+3b；
(3)(xy3－2xy)÷(xy)
=(xy3－2xy)×
=－
=y2－2．
同样道理，按1题给出的程序为什么输进m是几，输出也是几呢？
原因是(m2+m)÷m－1
=(m2+m)×－1
=+－1
=m.
方法2：利用乘除法的互逆
生：上面各题的计算，我利用乘法和除法互为逆运算得出，即我们要想计算出(1)中(ad+bd)÷d是多少，试着想一下：( )×d=ad+bd.逆用乘方分配律就可以得出：(a+b)×d=ad+bd,所以(ad+bd)÷d=a+b；
同理，(2)题，由于(ab+3b)×a=a2b+3ab,所以(a2b+3ab)÷a=ab+3b；
(3)题，由于(y2－2)×xy=xy3－2xy，所以(xy3－2xy)÷xy=y2－2.
师生共析：
从以上两个同学的分析，不难得出：
(ad+bd)÷d=a+b=ad÷d+bd÷d；
(2)(a2b+3ab)÷a=ab+3b=a2b÷a+3ab÷a；
(3)(xy3－2xy)÷(xy)=y2－2=xy3÷(xy)－2xy÷(xy).
由此，你可以得出什么样的结论？
（设计意图：通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.）
（三）收获成功
议一议：如何进行多项式除以单项式的运算？
生1：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
生2：其实多项式除以单项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算，只要注意每项前面的符号即可.
（设计意图：要充分发散学生的思维，鼓励学生大胆发表自己与他人不同的意见，敢于质疑；培养学生良好的独立思考，独立探究的学习习惯；鼓励学生对所学的知识进行归纳和总结，培养良好的学习习惯.）
例题解析，应用拓展
（一）深化理解
例3计算：
(6ab+8b)÷(2b)； (2)(27a3－15a2+6a)÷(3a)；
(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy)； (4)(3x2y－xy2+xy)÷(－xy).
（四生上黑板展示过程，其余独立探究做题，再小组交流，互相点评.）
生1：(1)(6ab+8b)÷(2b)
=(6ab)÷(2b)+(8b)÷(2b)
=3a+4；
生2：(2)(27a3－15a2+6a)÷(3a)
=(27a3)÷(3a)－(15a2)÷(3a)+(6a)÷(3a)
=9a2－15a+2；
生3：(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy)
=(9x2y)÷(3xy)－(6xy2)÷(3xy)
=3x－2y；
生4：(4)(3x2y－xy2+xy)÷(－xy)
=(3x2y)÷(－xy)－(xy2)÷(－xy)+( xy)÷(－xy)
=－6x+2y－1.
（设计意图：巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力.鼓励学生独立完成问题，其中的常见错误教师在点评中指出，避免学生在计算时出现类似错误.）
应用升华
做一做：
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4 v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？
（学生独立思考完成，在小组内点评方法．）
生1：时间=路程÷速度．上山路程=下山路程=vt1 +vt2．
生2：下山时间为：（vt1 +vt2）÷4v==
（设计意图：学生进一步巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力，体会多项式除以单项式在生活中的应用.）
（三）练习提高
练一练：
(1)(28a3－14a2+7a)÷(7a)； (2)(36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y)；
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷2x.
（完成后再小组内讨论方法及计算时应注意的事项，如运算顺序、运算符号、漏项等）
生1：(1)(28a3－14a2+7a)÷(7a)
=(28a3)÷(7a)－(14a2)÷(7a)+(7a)÷(7a)
=4a2－2a+1；
生2：(2)(36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y)
=(36x4y3)÷(－6x2y)－(24x3y2)÷(－6x2y)+(3x2y2)÷(－6x2y)
=－6x2y2+4xy－y ；
生3：(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷(2x)
=［4x2+4xy+y2－y2－4xy－8x］÷(2x)
=［4x2－8x］÷(2x)
=(4x2)÷(2x)－(8x)÷(2x)
=2x－4．
（设计意图：让学生进一步认识到多项式除以单项式时应注意避免出现的错误：1.多项式除以单项式，被除式有几项，商仍有几项，不可丢项，其中(1)容易丢掉最后一项；2.可以利用乘除是互逆运算，检验计算是否正确；3.每一步运算都要求学生说出变形的依据；4.(4)题要分清运算顺序，把计算结果写完整.）
四、小结感悟，知识沉淀
师：这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．
我探索的规律： ；
我学会的方法： ；
我还懂得了： ．
（学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．）
（设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．)
五、分层评价，当堂达标
课件出示当堂检测题，要求学生在导学案上10分钟内独立完成．
A组（必做题）：
填空题：
(1)6x2÷(－2x)= ； (2)8x6y4z÷ =4x2y2；
(3)(xy2－4x3y2)÷(－2xy2)= ； (4)(5a3b2+10a2b3)÷ =a+2b．
2.计算：
(1)(36x6－24x4+12x3)÷12x2； (2)(64x5y6－48x4y4－8x2y2)÷(－8x2y2).
B组（选做题）：
3.化简求值：
［(x+y)(x－y)－(x－y)2+2y(x－y)］÷4y，其中x=1,y=－1.
(设计意图：分层设置作业，注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦,培养学生的发散思维．)
六、布置作业，课后促学
必做题：习题1.14 第1题．
课外探究题：图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？（单位：cm）．
（设计意图：必做题课下按时完成，使本节课的重点知识落实在纸上．选做题通过课下讨论，激发学生学习数学的兴趣．）
板书设计：
1.7 整式的除法(2)
一、用特例探究多项式除以单项式的运算法则: 多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，再把商相加. 二、例题讲解例3(略) 学生练习区 三、小结：(注意事项)1.防止丢项.2.防止符号出错. 3.用互为逆运算检查
教学反思：
学生的知识体系是一步步建立起来的，如何通过引导能让学生把已熟悉的知识与未学知识巧妙联系起来是在教学过程中必须深深思考的环节.本节课是本章的最后一节，在学习本节的同时应让学生逐步感悟本章的知识体系，使所学知识形成一个整体，而不是毫无关联的个体，要让学生学会自己建立自己的知识体系，而非别人所灌输.教学不应仅仅传授课本上的知识内容，而应该在传授知识内容的同时，注意对学生综合能力的培养.本节课中对情景问题的处理就是对学生综合能力的培养，在这个过程中，学生学需要独立思考，合作交流，有条理的表述……，才能很好的完成问题.
再教建议：本章的重点就是整式的运算，因此难以避免地要让学生完成大量的计算题，但是量大未必效果好，应当根据学生对知识的掌握程度分层次练习，不同层次的学生只需完成适合自己的适量练习即可，要追求质量.
（1）瓶子
（2）杯子