3.6二次函数的应用（2） 导学案
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3.6二次函数的应用（2）
【学习目标】
1.继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程；
2.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，解决销售中的最值问题。
【课前梳理】
1.最大面积的求法
（1）确定 及其取值范围
（2）将面积表示以x为自变量的二次函数
（3）利用 或 求最大面积.
(4)一般地，因为抛物线的顶点是最高（低）点，所以当x= 时，函数有最大（小）值为
2.最大利润的求法
(1)引入自变量x并确定x的取值范围
(2)用含有x的代数式表示出销售量，每件商品的利润和总利润等
(3)根据实际问题中变量之前的关系列
(4)利用 或 求最大利润.
(5)一般地，因为抛物线的顶点是最高（低）点，所以当x= 时，函数有最大（小）值为
【课堂练习】
知识点一二次函数的应用
1.服装厂生产某品牌的T恤衫，已知每件的成本是100元，根据市场调查，以单价是130元批发给经销商，经销商可经销80件，并且表示每件降低5元，愿意多经销20件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时，可以获的最大利润？
设批发单价为x元，那么
（1）批发量可以表示为 .
（2）每件的利润可以表示为 .
（3）所获总利润可以表示为 .
（4）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元。
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
【当堂达标】
1.童装店销售一批某品牌童装．已知销售这种童装每天获得的利润y(元)与童装的销售价x(元/件)之间的函数表达式为y＝－x2＋160x－5 800.若想每天获得的利润最大，则销售价应定为( )
A.110元/件 B.100元/件 C.90元/件 D.80元/件
2.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)当每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
3.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
3.6二次函数的应用（2）
【课堂练习】1. (80+×20) (x-100) (x-100)(80+×20) 125 2500
2. 解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得
(40 x)(20+2x)=1200，
解得：x1=20,x2=10，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件衬衫应降价20元；
(2)设商场每天的盈利为W元，由题意，得
W=(40 x)(20+2x)，
W= 2(x 15)2+1250
∴a= 2<0，∴x=15时，W最大=1250元。
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元.
【当堂达标】1.D
2.解：(1)设y＝kx＋b，把(22，36)与(24，32)代入y＝kx＋b得 解得∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋80.
(2)设当每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价为x元．
根据题意，得 (x－20) (－2x＋80)＝150，解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)根据题意，得W＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1 600＝－2 (x－30)2＋200.
∵－2<0，售价不低于20元且不高于28元，
∴当x＝28时，W最大值＝－2×(28－30)2＋200＝192.
答：该纪念册销售单价定为28元时，所获利润最大，最大利润是192元．
3.解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元；
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式y1＝k1x＋b1.因为y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以解方程组得这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；
(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2；因为y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以解方程组得这个一次函数的表达式为
y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．设产量为x kg时，获得的利润为W元．当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250，所以，当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.当90≤x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2 535.当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2160.由－0.6<0知，当x>65时，W随x的增大而减小，所以90≤x≤130时，W≤2 160.因此，当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润是2250元．
3题图
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3.6二次函数的应用（2）
【学习目标】
1.继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程；
2.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，解决销售中的最值问题。
【课前梳理】
1.最大面积的求法
（1）确定 及其取值范围
（2）将面积表示以x为自变量的二次函数
（3）利用 或 求最大面积.
(4)一般地，因为抛物线的顶点是最高（低）点，所以当x= 时，函数有最大（小）值为
2.最大利润的求法
(1)引入自变量x并确定x的取值范围
(2)用含有x的代数式表示出销售量，每件商品的利润和总利润等
(3)根据实际问题中变量之前的关系列
(4)利用 或 求最大利润.
(5)一般地，因为抛物线的顶点是最高（低）点，所以当x= 时，函数有最大（小）值为
【课堂练习】
知识点一二次函数的应用
1.服装厂生产某品牌的T恤衫，已知每件的成本是100元，根据市场调查，以单价是130元批发给经销商，经销商可经销80件，并且表示每件降低5元，愿意多经销20件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时，可以获的最大利润？
设批发单价为x元，那么
（1）批发量可以表示为 .
（2）每件的利润可以表示为 .
（3）所获总利润可以表示为 .
（4）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元。
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
【当堂达标】
1.童装店销售一批某品牌童装．已知销售这种童装每天获得的利润y(元)与童装的销售价x(元/件)之间的函数表达式为y＝－x2＋160x－5 800.若想每天获得的利润最大，则销售价应定为( )
A.110元/件 B.100元/件 C.90元/件 D.80元/件
2.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)当每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
3.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
3.6二次函数的应用（2）
【课堂练习】1. (80+×20) (x-100) (x-100)(80+×20) 125 2500
2. 解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得
(40 x)(20+2x)=1200，
解得：x1=20,x2=10，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件衬衫应降价20元；
(2)设商场每天的盈利为W元，由题意，得
W=(40 x)(20+2x)，
W= 2(x 15)2+1250
∴a= 2<0，∴x=15时，W最大=1250元。
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元.
【当堂达标】1.D
2.解：(1)设y＝kx＋b，把(22，36)与(24，32)代入y＝kx＋b得 解得∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋80.
(2)设当每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价为x元．
根据题意，得 (x－20) (－2x＋80)＝150，解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)根据题意，得W＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1 600＝－2 (x－30)2＋200.
∵－2<0，售价不低于20元且不高于28元，
∴当x＝28时，W最大值＝－2×(28－30)2＋200＝192.
答：该纪念册销售单价定为28元时，所获利润最大，最大利润是192元．
3.解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元；
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式y1＝k1x＋b1.因为y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以解方程组得这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；
(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2；因为y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以解方程组得这个一次函数的表达式为
y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．设产量为x kg时，获得的利润为W元．当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250，所以，当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.当90≤x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2 535.当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2160.由－0.6<0知，当x>65时，W随x的增大而减小，所以90≤x≤130时，W≤2 160.因此，当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润是2250元．
3题图
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