3.6二次函数的应用（3） 导学案

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3.6二次函数的应用（3）
【学习目标】
1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，解决设计生活中的最值问题，了解数学的应用价值.
2.利用二次函数解决实际最值问题
【课前梳理】
1.建立直角坐标系解决二次函数问题
(1)建立合适的
(2)根据题意找出有关点的坐标
(3)列出含有未知参数的 并解决问题
【课堂练习】
知识点一应用二次函数解决问题
1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是____m.
2.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝____元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
3.如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．
(1)求点B的坐标；
(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，
求线段QD长度的最大值．
　
4.已知,如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，
交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
【当堂达标】
1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm，当x＝3时，
y＝18，那么当成本为72元时，边长为(　 　)
A.6 cm　 B.12 cm　 C.24 cm 　D.36 cm
2.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x>0)．
若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(　 　)
A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s
3.如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-8mx+4m+2(m>0)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2-x1=4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
3.6二次函数的应用（3）
【课堂练习】1.10 2.4
3. 解：(1)∵点A(－3，0)与点B关于直线x＝－1对称，∴点B的坐标为(1，0)；
(2)∵a＝1，∴y＝x2＋bx＋c，∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，
∴点C的坐标为(0，－3) ①设点P的坐标为(x，y)，由题意得S△BOC＝OB·OC＝×1×3＝，∴S△POC＝4S△BOC＝4×＝6.当x>0时，S△POC＝OC·x＝×3×x＝6，∴x＝4，
∴y＝42＋2×4－3＝21；当x<0时，S△POC＝OC·(－x)＝×3×(－x)＝6，∴x＝－4，
∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)；
②如解图，设点A、C所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，把A(－3，0)、C(0，－3)代入，得y＝－x－3，设点Q的坐标为(x，－x－3)，其中－3≤x≤0，∵QD⊥x轴，且点D在抛物线上，∴点D的坐标为(x，x2＋2x－3)，∴QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x＝－(x＋)2＋∵－3<－<0，∴当x＝－时，QD有最大值，
∴线段QD长度的最大值为
4. 解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C(0，4)且经过A(4，0)，
可得，解得，∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
(2)设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G 由－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(－2，0)∴AB＝6，BQ＝m＋2，
∵QE∥AC，∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，
∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，
∴EG＝，∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ
＝BQ·CO－BQ·EG＝(m＋2)(4－)
＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3.∵－2≤m≤4，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)
【当堂达标】1.A 2.C
3. 解：(1)当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，∴点A、B、C的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
(2)设△BCM的面积为S，点M的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，
则OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，
根据题意，得S△BCM＝S四边形OCMN＋S△MNB－S△COB＝(OC＋MN)·ON＋MN·NB－OC·OB＝[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋(－a2＋2a＋3)(3－a)－ ×3×3＝－a2＋a＝－(a－)2＋，∴当a＝时，S△BCM有最大值，此时，ON＝a＝，BN＝3－a＝，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠PBN＝45°，∴PN＝BN＝，
根据勾股定理，得PB＝＝，
∴△BPN的周长＝PN＋BN＋PB＝＋＋＝3＋；
(3)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点E(1，0)，如解图，
第3题解图
设Q(1，y)，根据勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝()2＋32＝，
过点Q作QD⊥y轴于点D，则D(0，y)，利用勾股定理可得：
CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y2－6y＋10，
NQ2＝QE2＋EN2＝y2＋，
∵△CNQ为直角三角形，∴有以下三种情况：
①当CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°时，＋y2－6y＋10＝y2＋，
解得y＝，∴Q(1，)；
②当CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°时，＋y2＋＝y2－6y＋10，
解得y＝－，∴Q(1，－)；
③当CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°时，y2－6y＋10＋y2＋＝，
解得y＝，∴Q(1，)或(1，)．
综上所述，△CNQ为直角三角形时，点Q的坐标为(1，)或(1，)或(1，－)或(1, )．
4.(1) 由题意知x1、x2是方程mx2 8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，又x2 x1=4
∴x1=2 x2=6∴B(2,0)、C(6,0)则4m 16m+4m+2=0，解得：m=
∴该抛物线解析式为：y=x2 2x+3；
(2) 可求得A(0,3) C(6,0)设直线AC的解析式为：y=kx+b，
解得k= b=3∴直线AC的解析式为：y= x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
当0∵P(t, t2 2t+3),∴PF= t2+t，
∴S△APC= ( t2+t)×6= (t 3)2+，此时最大值为：
②当6∴PM=t2 t，∴S△APC= (t2 t)×6=(t 3)2-，当t=8时，取最大值，
最大值为：12，综上可知，当0(3) 如图,连接AB,则△AOB中,∠AOB=900，AO=3，BO=2，Q(t,3),P(t, t2 2t+3)，
①当2若：△AOB∽△AQP,则：AO︰AQ=BO︰PQ，即：3︰t=2︰(- t2+2t)，∴t=0(舍),或t=
若△AOB∽△PQA,则：AO︰PQ=OB︰AQ，即：3︰(- t2+2t)=2︰t，∴t=0(舍)或t=2(舍)，
②当t>8时,AQ′=t,PQ′=t2 2t，
若：△AOB∽△AQP,则：AO︰AQ′=BO︰P′Q′，即：3︰t=2︰(t2 2t)，∴t=0(舍),或t=，
若△AOB∽△PQA,则：AO︰P′Q′=BO︰AQ′，即：2︰t=3︰(t2 2t)，∴t=0(舍)或t=14，
∴t=或t=或t=14.
3题图
4题图
3题图
4题图
4题图
25题图
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