成都新津为明学校高2021级（高二下）期中考试
数学试题（文科）
总分：150分 时间：120分钟
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．复数 等于
A． B． C． D．
2．点，则它的极坐标是
A． B． C． D．
3．为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中
抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有
A．12人 B．18人 C．80人 D．120人
4．函数（为自然对数的底数），则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，是空间中两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是
A．若，则存在，，使得 B．若，则存在，，使得
C．若，则存在，使得 D．若，则存在，使得
6．通过随机调查名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表：
男 女 总计
喜欢
不喜欢
总计
由公式算得：，附：，
其中参照附表，得到的正确结论是
有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
7．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是
A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数
8．如图，四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为
A． B． C． D．
9．已知在处取得极小值，则的值为
A．2 B． C． D．
10．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
11．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：每空5分，共40分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知椭圆的焦距是，则的值是____．
14．如图，记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则的值为_________．
15．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
已知，对，且，恒有，则实数的取值范围______.
三、解答题：本大题共4小题，第17题10分，其余各题12分
17．已知函数，且．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值．
18．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如图频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；
（2）用分层抽样的方法从的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在的概率.
19．四棱锥的底面是菱形,平面, 点为的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面.
20．已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为 (t为参数)．
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
(2)设点，直线与曲线交于两点，求的值．
答案第12页，共12页成都新津为明学校高 2021 级（高二下）期中考试（文科）参考答案：
18．(1) y 5x 16
10
； (2)最大值为 2，最小值为 .
3
2 1 3 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【详解】（1）因为 f x x a，故 f 2 4 a 0，解得 a 4，因为 f x x 4x 2，所以 f x x 4，3
A C D B C C D C B B D A 2则所求切线的斜率为 f 3 3 4 5，且 f 3 9 12 2 1，
ln x 1 ln x
1
12．令函数 f (x) (x e) ，求导得 f (x) x，令 g x 1 ln x
1
，则 g x 1 x 0, (x e)， 故所求切线方程为 y 1 5 x 3 ，即 y 5x 16；
x 1 2 x 1 2 x x
1 1 （2）因为 f x
1
x 3 4x 2 2 2， x 0,3 ，所以 f x x 4，令 f x x 4 0，得 x 2（ x 2舍去），
故 g x 1 ln x ， (x e)单调递减，又 g 1 1 ln1 0 ，故 g x 0, (x e)，即 f (x) 0,(x e)，而 3
x 1
1 ln3 ln 4 由 f x 0，可得 x 0,2 ，函数 f x 单调递减，由 f x 0，可得 x 2,3 ，函数 f x 单调递增，
e 3 4，则 f (e) f (3) f (4)，即 ，所以b a c，故选：A
e 1 2 3
2 所以 f x
8 10
的极小值为 f 2 8 2 ，又 f 0 2， f 3 1，
13． 5 14． 7 15．①③④ 16． a 3 3
e
所以 f x 10的最大值为 2，最小值为 .
f x f x x f x x f xx , x 0, x x 1 2 0 1 1 2 2
3
16、【详解】对 1 2 ，且 1 2，恒有 ，即 0 ，所以函数 xf x x2 x1 x1x2 919．（1）众数为 75，中位数为 73.33；（2） .
10
x 2 '
是增函数，设 g x xf x ae x , g x aex 2x ' x，则 g x 在 0, 上单调递增，故 g x ae 2x 0 【详解】（1）由频率分布直方图得： (0.010 0.015 0.015 a 0.025 0.005) 10 1，解得 a 0.030，
2x 2x ' 2 2x ' 70 80
恒成立，即 a ，设 F x ,F x ，当 x 0,1 时，F x 0 ，函数单调递增；当 x 1, 所以众数为： 75， 40,70 的频率为 (0.01 0.015 0.015) 10 0.4， 70,80 的频率为0.03 10 0.3，ex ex ex 2
' 2 2 2 70 0.5 0.4时， F x 0 ，函数单调递减；故 F(x)max F 1 ，即 a ；故答案为： a . 中位数为： 10 73.33 .e e e 0.3
17．（1） x2 y2 6x 2y 0， x y 3 0；（2）5 . （2）用分层抽样的方法从 40,60 的学生中抽取一个容量为 5的样本， 40,50 的频率为 0.1， 50,60 的频率
为 0.15，
【详解】 （1）由 6cos 2sin ，得 2 6 cos 2 sin ．∴ x2 y2 6x 2y .
40,50 5 0.1中抽到 2人， 50,60 5 0.15中抽取 3人，从这五人中任选两人参加补考，
即曲线C的直角坐标方程为 x2 y2 6x 2 y 0 . 0.25 0.25
基本事件总数n C25 10
1 1 2
，这两人的分数至少一人落在 50,60 包含的基本事件个数m C2C3 C3 9，x 1 2t
由{ ，消去参数 t，得直线 l的普通方程 x y 3 0 .
y 2 2t m 9所以这两人的分数至少一人落在 50,60 的概率 P .
n 10
x 1 2 t
2 20．（1）连接 AC交 BD于点 O
底面 ABCD是菱形 O为 AC中点
（2）由（1）知直线 l的参数方程为程化为{ ，代入曲线C的直角坐标方程为 x2 y2 6x 2y 0，
2 y 2 t 点 F 为 PC的中点 OF为 PAC的中位线 PA / /OF
2
OF 平面 BDF PA / /平面 BDF
得 t2 3 2t 5 0 .
(2) 由（1）得 底面 ABCD是菱形 BD AC
由韦达定理，得 t1t2 5，则 QA·QB t1t2 5 .
PA 平面 ABCD PA BD
又 PA AC A BD 平面PAC .
答案第 1页，共 2页
21．（1）当 a 0时， f (x)在 0, 2 x ty 1上为单调递增函数；当 a<0时，若 f (x)在 0, 上为单调递增函数，在
a （2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线 EN : x ty 1 t 0 ，联立 x2 y2 ，得
1
2
,
4 3
上为单调递减函数；（2）证明见解析.
a 4 3t 2 y2 6ty 9 0 6t，设直线 EN与曲线C两交点的坐标分别为 x1, y1 , x2 , y2 ，则 y1 y2 2 ，
【详解】（1）易知 f (x)的定义域为 0, 4 3t ， f (x) 2 a ax 2 .
x x
y y1 y2 3t , x ty 1 4 E 2 E E 2 ； EN FN ,
1
直线 FN : x y 1，同理可得：
2 4 3t 4 3t t
当 a 0时， f (x) 0，所以 f (x)在 0, 上为单调递增函数；
y 3t
2
,x 4t ，设直线 EF 与 x T x , 0
2 2 F 3 4t 2 F
轴交于点 T ，
3 4t 2
当 a<0时，若 x 0, ，则 f (x) 0，若 x , ，则 f (x) 0，
a a 3t 3t
2 2 2
f (x) 0, , 4 3t 3 4t
2
2
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数. 则当直线 EF 斜率存在时，由 4 2 得 7t 7 xT 4t
2 4
4t ， a a x
4 3t 2 T x3 4t 2 T
2
2 g(x) f (x) x 2 ax 2ln x (x a) 2 2 x
2 ax 1
（ ）证明： ，则 g (x) 2(x a) . 4t 2 4 4 T 4 x x xT 2 ，即直线 EF 恒过点 ,0 ；7t 7 7 7
2 x x a x x 1 EF 4 4t
2 4
由题意可知，x x1， 2是方程 x ax 1 0的两根，所以 1 2 ， 1 2 ， 当直线 斜率不存在时，由 2 2 得 t
2 1，则 x
4 3t 3 4t E
xF ，
7
1
0 x x 0 x 1 x 4 由 1 2，所以 1 2， a x1 x2 x 2 x ， 则直线 EF 恒过点T ,0 ；2 7
g x 4 g x x 2 1 ②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线 EF 为
x轴，恒过T ,0 ，
要证 2 1，需证 . 7 x1
4
综上：直线 EF 恒过点T , 0 ; NH EF , NH HT , H 在以 NT 中点
g 7x 2 x2g x2 2x
2 1
2 ln x2 x2 x2 a 2x2 ln x2 ， 11x x ,0 NT G 111 2 为圆心， 为直径的圆上，取 ,0
，则 GH
1
NT 3
14 为定 14 2 14
令 h(x)
1
2x ln x (x 1)，则 h (x) 2ln x 2
1 11 2 0 ， 值； 存在点G ,014 ，使得 GH 为定值.x x
所以 h(x)在 1, 上单调递增，所以 h x h 1 1.
g x2
所以 1，故 g x2 x .x 11
x222 (1) y
2
G 111 (2) ,0 ． 存在点 14 ，使得 GH 为定值.4 3
1 3
3
【详解】（ ）由题意得，设点Q x, y ,P x0 , y0 ，则点D x0 ,0 ，因为DQ DP，所以 x x0 , y 0, y2 2 0
，
x0 x 2 2 2
则 2 3 ，因为点 P在圆 x2 y2 4上，所以 x
2 2
0 y0 4
2 3
，则 x2 y 4
x y
，即 1，
y0 y 3
3 4 3
x2 y2
所以Q点轨迹方程为 1 .
4 3
答案第 2页，共 2页
