江西省部分学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题（含解析）

江西省部分学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占30%，第二章第1节至第5节占70%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等比数列中，若，，则（ ）
A. B.9 C.15 D.7
2.已知，则（ ）
A.1 B.3 C.6 D.9
3.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的斜率的最小值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
5.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率
.函数的图象在处的曲率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A.1 B.9 C.18 D.
7.若函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
8.设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列求导正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
11.已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ）
A. B.
C. D.曲线在处的切线方程为
12.在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和，则（ ）
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 …
8 12 16 20 …
…
A.第2023行第1个数为
B.第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列
C.第2023行第2023个数为
D.数表中小于50的数有89个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.函数在区间上的平均变化率为______.
14.已知函数，则______.
15.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为6cm，铁块底面圆半径为3cm，放入铁块后的水面高度为6cm，若从时刻开始，将铁块以1cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______cm/s.（本题第一空2分，第二空3分）
16.已知数列满足，，若对任意，，不等式
恒成立，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
18.（12分）
设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式.
（1）当时，求该运动员的滑雪速度；
（2）当该运动员的滑雪路程为37m时，求此时的滑雪速度.
19.（12分）
已知正项数列的前项积为，.
（1）证明：数列为等差数列.
（2）设数列的前项和为，证明：.
20.（12分）
已知函数的图象经过点，曲线在处的切线与轴平行.
（1）求，的值.
（2）试问曲线上任一点处的切线与轴和直线所围成的三角形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.（12分）
已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程.
（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知等比数列的前项和为，公比，.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对于任意恒成立，求的取值范围.
高二数学试卷参考答案
1.A .
2.D .
3.B 根据导数的几何意义，结合图象可得.
4.C 的定义域为.，故曲线在点处的切线的斜率的最小值为2.
5.D 因为，所以，，所以，，所以
.
6.D 对等式两边求导，可得.令，可得.
7.B 因为，所以为偶函数，满足，所以.
8.C 因为，所以，
，则，由题意可得，即
故，.
9.BCD 若，则，故A错误.B，C，D都正确.
10.BC 设过点的切线与曲线相切于点.因为，则曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为.因为切线过点，所以
，解得或.故切线方程为或.
11.ACD 由题意可得，曲线在处的切线方程为.
令，则，即，A正确.
，曲线在处的切线方程为，
即，所以
解得，，B错误，C正确.
曲线在处的切线方程为y=3，D正确.
12.ACD 数表中，每行是等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第行的公差为.设每一行的第一个数构成数列，由数表可得，则，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，，A正确.
第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列，B错误.
第2023行第2023个数为，C正确.
第1行小于50的数有49个；第2行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第2行小于50的数字有24个；第3行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第3行小于50的数有11个；第4行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第4行小于50的数有4个；第5行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第5行小于50的数有1个.故数表中小于50的数有89个，D正确.
13. .
14. 因为，所以，解得.
15.匀速； 设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为，铁块离开水面的高度为，则水和铁块的体积为，即①.铁块距离杯底的高度为②.由①②可得.令函数，则.故水面将匀速下降，下降的速度为.
16. 因为，所以，即，可得，所以，所以原题等价于对任意恒成立.令
，则解得，所以实数的取值范围为.
17.解：（1）.……5分
（2）.……10分
18.解：（1）因为，……2分所以，……4分
所以当时，该运动员的滑雪速度为.……5分
（2）由题意得，解得或（舍去）.……7分
因为，所以，……11分
当运动员的滑雪路程为37m时，此时的滑雪速度为.……12分
19.证明：（1）当时，，即.……2分
当时，，得（舍去），……4分
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. ……5分
（2）由（1）得.……6分
因为，所以，.……8分
.……11分
因为，所以.……12分
20.解：（1）因为，所以.……2分
，因为曲线在处的切线与轴平行，所以，解得
.……4分
（2）由（1）可得，.……5分
在曲线上任取一点，曲线在处的切线方程为
.……6分
令，可得，所以切线与轴交于点.……7分
联立解得
所以切线与直线交于点.……9分
直线与轴交于点，则，
所以.……11分
故曲线上任一点处的切线与轴和直线所围成的三角形的面积为定值2.……12分
21.解：（1）当时，，，.……2分
曲线在处的切线方程为，即.……4分
（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，.……5分
曲线在点处的切线为，……6分
与曲线相切于点，则……8分
由①得，则，代入②得，
解得或.……10分
当时，直线.当时，，直线.
故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或.…12分
22.解：（1）因为，
所以，……2分
整理得，解得，……3分
所以.……4分
（2）因为，所以，……5分
所以，……6分
，……7分
两式相减得，
所以.……9分
因为对于且恒成立，
所以，即.……10分
令函数，则，
所以单调递增，.……11分
.故的取值范围为.……12分