【备考2023】山东省青岛市中考数学模拟试卷3（含解析）

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【备考2023】山东省青岛市中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（　　）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
2．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是（　　）
A．72° B．70° C．60° D．45°
6．在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2，4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（　　）
A．（﹣1.6，﹣1） B．（﹣1，﹣1.6） C．（1.6，1） D．（1，﹣1.6）
7．如图，在边长为a的正方形ABCD中，点M是正方形ABCD内一点，连接AM并延长交CD于N，连接MC，△BCM是等边三角形，则△MNC的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四组中正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＜0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是　 　．
10．某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占60%，面试成绩占40%，应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是　 　分．
11．某次列车平均提速νkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，可列方程　 　．
12．用6个完全相同菱形拼成如图所示的图案，则菱形中较大的内角度数为　 　．
13．PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，∠APO＝30°，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC′∥EC；其中正确的是：　 　．（只填写序号）
三．解答题（共1小题）
15．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若PA＝1，求BC的长．
四．解答题（共10小题，满分74分）
16．（8分）先化简，再求值：（a﹣）÷，请从不等式组的整数解中选择一个合适的数求值．
17．（6分）小莉的爸爸买了去看世界杯的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？请说明理由．
18．（6分）已知D（s，t）是二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）的顶点．
（1）若二次函数经过点（1，b），求b的值．
（2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1的图象与x轴必有两个交点．
（3）有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？
19．（6分）如图一只羊在山坡BD中点E处吃草，已知山坡BD的坡度i＝1：，坡高CD为1000m，这只羊正好在A的西北方向上．
（1）求这只羊到山脚B的距离；
（2）求B，A之间的距离．（结果保留根号）
20．（6分）在“双减”政策背景下，越来越多的家长和孩子更加重视体育锻炼．某兴趣小组为了解本校学生每天参加课外体育锻炼的情况，从全校学生中随机抽取了m名学生进行问卷调查．把每名学生平均每天参加课外体育锻炼的时间分成五个时间段进行统计，整理并绘制了如图两幅尚不完整的统计图．
组别 体育锻炼时间t/分钟
A 0≤t＜20
B 20≤t＜40
C 40≤t＜60
D 60≤t＜80
E 80≤t＜100
根据上述信息，解答下列问题：
（1）抽取的总人数m＝　 　，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为 　 　°，并请补全频数分布直方图；
（2）本次调查学生每天的课外体育锻炼时间的中位数落在哪一组（直接写出结果）；
（3）请估计该校3000名学生中，每天参加课外体育锻炼的时间不低于40分钟的人数．
21．（6分）问题呈现：
如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．
方法归纳：
利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为　 　；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
22．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（2，m），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点C在y＝x的图象上，且△CAB的面积为△OAB面积的2倍，求点C的坐标．
23．（8分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．若点E是BC上的一个动点．
（1）如图1，若F为DE的中点，求证：CF＝DF；
（2）如图2，连接DE，交AC与点F，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（3）如图3，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG．
24．（10分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在滕州销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），且．那么哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
25．（10分）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．
（1）求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
（2）如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC＝3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：△FBC是中原三角形．
（3）如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．
答案解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．
3．【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． +＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝﹣＝3﹣2＝1，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
4．【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
解：从正面看，主视图为．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解题关键．
5．【分析】根据正多边形的性质求出∠BCD和∠B，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠BCA，即可求出∠ACD的度数．
解：∵正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠BCD＝∠B＝＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣∠B）﹣×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据正多边形出性质和多边形内角和定理求出∠BCD和∠B的度数是解决问题的关键，
6．【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．
7．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，再根据三角形的面积公式计算即可．
解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG＝GC，AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∵MH⊥CD，∠D＝90°，
∴MH∥AD，
∴NH＝HD，
∵△MBC是等边三角形，
∴MC＝BC＝a，
由题意得，∠MCD＝30°，
∴MH＝MC＝a，CH＝a，
∴DH＝a﹣a，
∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，
∴△MNC的面积＝×a×（﹣1）a＝a2，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、熟记正方形的各种性质以及平行线的性质是解题的关键．
8．【分析】根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题．
解：由函数图象，可得
函数开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则a、b异号，b＜0，
图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确a、b、c的符号根据图象如何判断．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
解：∵a，b，c为有理数，
①若a＞0，b＞0，c＞0，
∴＝1+1+1+1＝4；
②若a，b，c中有两个负数，则abc＞0，
∴＝（1﹣2）+1＝0，
③若a，b，c中有一个负数，则abc＜0，
∴＝（2﹣1）+（﹣1）＝0，
④若a，b，c中有三个负数，则abc＜0，
∴＝（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，
故答案为：±4，0．
【点评】此题主要考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|＝a；当a≤0时，|a|＝﹣a，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论的思想，此题是一道好题．
10．【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
解：95×60%+90×40%＝93（分）
故答案为：93．
【点评】考查平均数、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义是解决问题的为前提，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
11．【分析】根据“提速前路程÷提速前速度＝提速后路程÷提速后速度”列出方程即可．
解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，可列方程＝，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系．
12．【分析】根据六个相同的菱形能够平面密铺可以求出菱形一个较小的内角，进而求出较大的内角．
解：设菱形较小内角度数为α，
∵6个完全相同菱形能平面密铺，
∴6α＝360°，
∴α＝60°，
∴较大内角为180°﹣60°＝120°．
故答案为120°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及平面密铺等知识，解答本题的关键是根据六个菱形能平面密铺可得到菱形的一个内角的度数，此题难度不大．
13．【分析】连接OA，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出OA和∠AOB，求出△OAP的面积和扇形AOB的面积即可求出答案．
解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵PA＝2，∠APO＝30°，
∴∠AOP＝60°，OP＝2AO，
由勾股定理得：OA2+（2）2＝（2OA）2，
解得：AO＝2，
∴阴影部分的面积为S△OAP﹣S扇形OAB＝＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，切线的性质，扇形的面积计算等知识点，能分别求出扇形AOB和△AOP的面积是解此题的关键．
14．【分析】由折叠可知△ACD≌△AC'D，则∠1＝∠2；再由折叠性质可得AD垂直平分C′C；设∠ACE＝α，有条件依次可求∠B＝120°﹣2α＝∠BDC'，∠AC'D＝240°﹣4α，再由∠AC'D＝∠ACD，得到240°﹣4α＝2α，求出α＝40°，则∠B＝40°，∠C'CD＝∠DCC'＝20°，所以∠B＝2∠BCC'；由∠ECD＝40°，∠C'DB＝40°，可得C'D∥CE．
解：∵∠BAC＝60°，△ACD沿AD折叠到△AC'D，
∴△ACD≌△AC'D，
∴∠1＝∠2＝30°，
∴①说法正确；
∵AD是折痕，
∴C与C'关于AD对称，
∴AD垂直平分C′C，
∴②说法正确；
设∠ACE＝α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2α，
∴∠B＝120°﹣2α，
∵BC＝C'D，
∴∠BDC'＝120°﹣2α，
∴∠AC'D＝240°﹣4α，
∵∠AC'D＝∠ACD，
∴240°﹣4α＝2α，
∴α＝40°，
∴∠B＝40°＝∠C'DB，
∵C'D＝CD，
∴∠C'CD＝∠DCC'＝20°，
∴∠B＝2∠BCC'，
∴③说法不正确；
∵∠ECD＝40°，∠C'DB＝40°，
∴C'D∥CE，
∴④说法正确；
故答案为①②④．
【点评】本题考查折叠问题，掌握折叠的本质，折叠前后图形的对应边、对应角相等，灵活应用三角形内角和定理和平行线的判定定理是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
15．【分析】（1）作∠ABC的平分线，根据角平分线的性质即可得点P到边BC的距离等于PA的长；
（2）结合（1）证明Rt△APB≌Rt△DPB，再根据勾股定理可得DC、BD的长，进而可得BC的长．
解：（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可知：
BP平分∠ABC，PD⊥BC
∵∠A＝90°，
∴PA⊥AB，
∴PD＝PA＝1，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴PC＝，
∴AB＝AC＝AP+PC＝1+，
∵BP＝BP，AP＝DP，
∴Rt△APB≌Rt△DPB（HL），
∴AB＝BD，
∴BD＝AC＝1+，
∴BC＝BD+DC＝2+．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
四．解答题（共10小题，满分74分）
16．【分析】先算括号里的异分母分式的减法，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：（a﹣）÷
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a，
，
解得：﹣1＜a≤2，
∴该不等式组的整数解为：0，1，2，
∵a≠0，a﹣2≠0，
∴a≠0且a≠2，
∴a＝1，
∴当a＝1时，原式＝12+2×1
＝1+2
＝3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果是偶数和奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：哥哥设计的游戏规则公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中和为奇数的有10种结果，和为偶数的有6种结果，
所以小莉去的概率为＝，哥哥去的概率为＝，
因为≠，
所以哥哥设计的游戏规则不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．关键是计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
18．【分析】（1）将点（1，b）代入二次函数解析式，即可得到b的值；
（2）要证明结论成立，只要计算出b2﹣4ac＞0即可，然后计算即可；
（3）先将二次函数解析式化为顶点式，表示出s、t，然后用s表示t即可．
（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx﹣1经过点（1，b），
∴b＝2+b﹣1，
解得b＝﹣2，
即b的值是﹣2；
（2）证明：∵二次函数y＝2x2+bx﹣1，
∴b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8＞0，
∴无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：t是s的二次函数，正确，
理由：∵二次函数y＝2x2+bx﹣1＝2（x+）2﹣﹣1，D（s，t）是二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）的顶点，
∴s＝﹣，t＝﹣﹣1，
∴t＝﹣2×（﹣）2﹣1＝﹣2s2﹣1，
即t是s的二次函数．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EF⊥BC于F，根据三角形的中位线定理得到BF＝BC＝500，EF＝CD＝500，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵BD的坡度i＝1：，坡高CD为1000m，
∴BC＝1000，
∴BD＝＝＝2000（m），
∵点E是BD中点，
∴BE＝BD＝1000（m），
答：这只羊到山脚B的距离为1000m；
（2）过E作EF⊥BC于F，
∴EF∥CD，
∵点E是BD中点，
∴BF＝BC＝500（m），EF＝CD＝500（m），
∵∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝500，
∴AB＝（500﹣500）m，
答：B，A之间的距离（500﹣500）m．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，解直角三角形﹣坡度坡角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．【分析】（1）利用A组的频数除以它所占百分比即可；根据m的值求出B，D两组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）判断出中位数所在的位置，在数据中找到即可；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）由题意可得，m＝3÷6%＝50；
“D”对应扇形的圆心角的大小为：360×20%＝72°，
B组人数为：50×22%＝11（人），D组人数为：50×20%＝10（人），
故答案为：50，72°；
补全频数分布直方图如下：
（2）共有50人，中位数落在25，26位，所以中位数落在C组；
（3）50人中每天参加课外体育锻炼的时间不低于40分钟的人数共有18+10+8＝36（人），
所以3000名学生中，每天参加课外体育锻炼的时间不低于40分钟的人数＝3000×＝2160（人）．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE＝∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
解：（1）如图1中，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠BPD，
∴tan∠ABE＝tan∠BPD，
∵∠AEB＝90°，
∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝＝＝2，
故答案为：2．
（2）如图2中，取格点M，连接CM，DM．
∵MD∥AB，
∴∠BPD＝∠MDC，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DMC＝∠MDC＝45°，
∴cos∠BPD＝cos∠MDC＝．
（3）如图3中，如图取格点H，连接AH、HD．
∵PC∥HD，
∴∠CPD＝∠ADH，
∵AH＝HD，∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝∠HAD＝45°，
∴∠CPD＝45°，
∴sin∠CPD＝．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．【分析】（1）把A的坐标为（2，m）代入y＝x，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意得到C的横坐标，代入y＝x求得纵坐标，即可得到C的坐标．
解：（1）∵点A在函数y＝x的图象上，点A的坐标为（2，m），
∴m＝1，
∴点A坐标为（2，1）．
∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴1＝，解得k＝2．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意可知点C到AB的距离＝2OB，
∵点A坐标为（2，1）．
∴C的横坐标为6或﹣2，
把x＝6代入y＝x得y＝3；把x＝﹣2代入y＝x得y＝﹣1，
∴C的坐标为（6，3）或（﹣2，﹣1）．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）由正方形的性质得出∠DCB＝90°，由直角三角形的性质可得出答案．
（2）根据正方形的性质、角平分线的定义得到∠ADF＝∠AFD，得到AF＝AD，证明结论；
（3）设BC＝4x，CG＝y，证明△EGF∽△ECD，根据相似三角形的性质得到，求出y＝x，计算即可证明结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DE，DF＝DE，
∴CF＝DF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ACD＝45°，AD＝OA，
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDE，
∵∠ADF＝∠ADB+∠BDE，∠AFD＝∠ACD+∠CDE，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴AF＝AD，
∴AF＝OA；
（3）证明：设BC＝4x，CG＝y，
则CE＝2x，FG＝y，
∵FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴，
即，
整理得，y＝x，
则EG＝2x﹣y＝x，
∴BG＝2x+x＝x，
∴CG＝BG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．【分析】（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量及，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
．
解得，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣500x+7500；
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp
＝（﹣500x+7500）（x+）
＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）．
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．【分析】（1）由F是AD的中点，可得S△DFC＝S△DAC，S△DFB＝S△DAB，即有S△FBC＝S△ABC，故中原三角形与原三角形的面积之比为1：2；
（2）作CE的中点G，连接DG，由AD是△ABC的中线，可得DG是△BCE的中位线，CE＝2EG，即得BE∥DG，即EF∥DG，根据AC＝3AE，CE＝2EG，可得AE＝EG，即得AF＝DF，从而△FBC是中原三角形；
（3）过D作DH∥CM交AB于H，由DH∥CM，D是BC中点，F是AD中点，可得AM＝MH＝BH，即知＝＝，可得△AME∽△ABC，有∠AME＝∠ABC，＝＝，从而ME∥BC，△MEF∽△CBF，即有＝（）2＝，S△FBC＝9S△FEM，又S△FBC＝S△ABC，即得△FEM与△ABC的面积之比为1：18．
（1）解：∵F是AD的中点，
∴S△DFC＝S△DAC，S△DFB＝S△DAB，
∴S△DFC+S△DFB＝S△DAC+S△DAB，
∴S△FBC＝S△ABC，
∴中原三角形与原三角形的面积之比为1：2；
（2）证明：作CE的中点G，连接DG，如图：
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC中点，
∵G是CE中点，
∴DG是△BCE的中位线，CE＝2EG，
∴BE∥DG，即EF∥DG，
∵AC＝3AE，
∴CE＝2AE，
∴AE＝EG，
又EF∥DG，
∴AF＝DF，即F是AD中点，
∴△FBC是中原三角形；
（3）解：过D作DH∥CM交AB于H，如图：
∵DH∥CM，D是BC中点，
∴BH＝MH，
∵DH∥MF，F是AD中点，
∴AM＝MH，
∴AM＝MH＝BH，
∴＝，
∵AC＝3AE，
∴＝＝，
又∠MAE＝∠BAC，
∴△AME∽△ABC，
∴∠AME＝∠ABC，＝＝，
∴ME∥BC，
∴△MEF∽△CBF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△FBC＝9S△FEM，
由（1）知：S△FBC＝S△ABC，
∴9S△FEM＝S△ABC，
∴S△FEM＝S△ABC，
∴△FEM与△ABC的面积之比为1：18．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及新定义、三角形中位线定理及推论、三角形面积等，解题的关键是作辅助线，构造三角形中位线．
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