绝密★考试结束前
2022 学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 6页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
x x 1
1．已知 C5 C5 ，则 x 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
f (2 Δx) f (2)
2．已知函数 f (x) x2 1，则 lim （ ）
Δx 0 Δx
A．2 B．3 C．4 D．5
3.李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表:
ξ 1 2 3
P ! !
现让小王同学计算ξ的数学期望,尽管“ ”处的数值完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但
能断定这两个“!”处的数值相同,则 E(ξ)=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹
性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。设函数 f x 在 a,b 上的导函数为 f x ，记 f x 在
a,b 上的导函数为 f x ，若在 a,b 上 f x 0恒成立，则称函数 f x 在 a,b 上为“凹函数”。
则下列函数在 0,2 上是“凹函数”的是（ ）
A． f (x) x2 sin x B． f (x) x sin x C． f (x) x ln x D． f (x) ex x ln x
5. 在 1 x 1 x 3的展开式中， x的系数是（ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
6．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思
不变，而且颇具趣味。相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：
“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人。”在数学中也有这样一类顺读与倒读都
是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如 22，575，1661 等．那么用数字 1，2，3，4，5 可
以组成 4 位“回文数”的个数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．36
7．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差。用一款红
0.05
外体温计测量一位体温为 36.9℃的人时，显示体温 X服从正态分布 N 36.9, ，若 X的值在
n
36.6,37.2 内的概率约为 0.9973，则 n 的值约为（ ）
2
参考数据：若 X ~ N , ，则 P X 3 0.9973．
A．3 B．4 C．5 D．6
8. 若曲线 f x 2ln x x在点 x0 , f x0 处的切线方程为 y kx b，则 k b的最小值为
（ ）
1 1
A. 1 B. C. 2 D. 12
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．函数 f x 的定义域为R ，它的导函数 y f x 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A． f 2 f 1 B． x 1是 f x 的极小值点
C．函数 f x 在 1,1 上有极大值 D． x 3是 f x 的极大值点
1 n
10．已知 2ax
(a 0)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数
x
和为1，则正确的命题是（ ）
A． n 8 B． a 1
C．展开式中所有二项式系数的和为 512 D．展开式中含 x6 的项为 1024x6
11.某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有
老师值班，且每人最多值班一天。（ ）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A35种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有A13A22种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有A33种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有C25C2 33A3种
12.学校食堂每天都会提供 , 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析
2 1
发现：学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 .而前一天选择了 套餐的学生第
3 3
1
二天选择 套餐的概率为 ，选择 3套餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第二天选择 套餐的
4 4
1
概率为 ，选择 1套餐的概率也是 ，如此往复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐2 2
的概率为 .一个月（30 天）后，记甲 乙 丙 3位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法正确的
是（ ）
3
A． + = 1 B．数列 是等比数列5
C． = 1 ≈ 0.288 D． = 1.5
非选择题部分
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. (2x 1 )4的二项展开式中的常数项为__________
x
14．2022 年 11 月 27 日上午 7点，上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄浦、静安和
徐汇三区。数千名志愿者为 1.8 万名跑者提供了良好的志愿服务。现将 5 名志愿者分配到防疫组、
检录组、起点管理组、路线垃圾回收组 4个组，每组至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方法共
有__________种。（结果用数值表示）
15．已知某次数学期末试卷中有 8 道 4 选 1 的单选题，学生小王能完整做对其中 4道题，在剩下
3
的 4 道题中，有 3 道题有思路，还有 1 道完全没有思路，有思路的题做对的概率为 ，没有思路
4
的题只好从4个选项中随机选一个答案。小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为_________．
16. 设实数 0，若对任意 x e, ，关于 x的不等式 e x ln x 0恒成立，则 的最小
值为___________.
四、解答题：本题共 6 小题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10 分）已知函数 g x 3x3 9x 5
(1)求函数 g(x)的单调区间；
(2)求函数 g(x)在区间 2,2 上的最大值与最小值．
18.（12 分）为了中国经济的持续发展制定了从 2021 年到 2025 年的发展纲要，简称“十四五”
规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试。从参加考试的
机关人员中，随机抽取 100 名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在 70，80 上
的人数没有统计出来。
（1）请尝试计算考试成绩在 70，80 上的人数；
（2）若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在
80，100 的学员选为“十四五”优秀宣传员。若从党政
机关所有工作人员中，任选 3 名工作人员，其中可以作
为优秀宣传员的人数为 ，求 P( 1) .
19．(12 分)生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运
动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球
和游泳.请思考并完成下列问题（结果用数值表示）:
(1)若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？
(2)若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？
(3)若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？
20．（12 分）在① a1 35 C
0 C1 Cm *；② m m m 32 m N ；③展开式中二项式系数最大值为7m；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
(1 mx)7 a a x a x2 a x7已知 0 1 2 7 ，且___________．
（1）求m的值；
（2）求 a2 a4 a6 的值（结果用数值表示，参考数据：67 279936， 47 16384）．
21.（12 分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的
框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其
在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜来控制孩子
的近视发展），A 市从该地区的小学生中随机抽取了容量为 100 的样本，其中因近视佩戴眼镜的
有 24 人（其中佩戴角膜塑形镜的有 8 人，2名是男生，6 名是女生）
（1）若从样本中选一位小学生，已知这位小学生因近视佩戴眼镜，求他戴的是角膜塑形镜的概
率；
（2）从这 8名佩戴角膜塑形镜的学生中选出 3 名，求其中男生人数 X 的期望与方差；
（3）用样本的频率估计总体的概率，从 A市的小学生中，随机选出 20 位小学生，求佩戴角膜塑
形镜的人数Y 的期望和方差.
22. （12 分）已知函数 f x a ln x x a .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 存在两个零点 x1, x2 ，求 a 的取值范围，并证明： x1x2 12022 学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A A B C D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD AC ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分.
13.24
14.240
13
15.
16
1
16.
e
四、解答题：本题共 6 小题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
'
解：(1) g (x) = 9x
2 9 = 9(x+1)(x 1)，..................1分
令 g '(x) 0 x 1或 x 1，..................3 分
令 g '(x) 0 1 x 1；..................5 分
函数 g(x)的单调递增区间为 ( , 1), (1,+ ) ，单调递减区间为 ( 1,1) ...........6 分
(2).由（1）可知：
当 x = 1时， g (x)取得极大值 g ( 1) =11，..................7 分
1
当 x =1时， g (x)取得极小值 g (1) = 1，..................8 分
又 g ( 2) = 24+18+5= 1, g (2) = 24 18+5=11...................9分
所以 g (x)在区间 2,2 上的最大值为11，最小值为 1...................10分
18.（12分）
解：(1)设分数在 70，80)内的频率为 x，根据频率分布直方图得，
(0.01+ 0.015+ 0.02+ 0.025+ 0.005) 10+ x =1，
解得 x = 0.25 ...................2 分
因此，考试成绩在 70，80)上的人数为100 0.25= 25（人）...................4 分
(2) 根据频率分布直方图可知考试成绩在 80，100 的频率为 (0.025+ 0.005) 10 = 0.3
...................6分
因此P( 1) = P( = 0)+ P( =1) ...................8分
0 0 3 1
=C3 (0.3) (0.7) +C3 (0.3)
1(0.7)2 ...................10分
= 0.343+0.441= 0.784 ...................12分
(另解：P( 1) =1 P( = 2)+ P( = 3) = 0.784，给分标准同上)
19.（12分）
4
解：(1) A4 = 24 (种）..................4分
A4 C2 4(2) 6 4 A4 = 216 ..................8分
A4 2(3) 4C5 = 240 ..................12 分
（每个小题如果列式正确，但答案错误，则每个小题扣 1分）
2
20.（12分）
解：
（1）若选①，a1 = 35，
1
根据二项式展开式的通项公式可得a1 =C
1 167 (mx) = 7m = 35，解得m = 5...........4 分
若选②，C
0
m +C
1
m + +C
m
m = 32(m N * )，由二项式系数和可得2m = 32，解得m = 5.
........4分
若选③，展开式中二项式系数最大值为7m，
7+1 7 1
由二项式系数的性质可得C 2 = 7m或C 2 = 7m，解得7m = 35，即m = 5.........4分 7 7
（每种选择的解答过程中，列式正确 2 分，答案正确 2分）
7
（2）由（1）可得 (1+5x) = a0 + a1x + a2x
2 + + a 77x ，
a + a + a + + a = 67令 x =1，可得 0 1 2 7 ，①...............6分
令 x = 1，可得a0 a1 + a2 a7 = 4
7
，②...............8分
7 7
2(a0 + a2 + a4 + a ) = 6
7 47 6 4
①+②可得， 6 ，所以.a0 + a2 + a4 + a6 = =131776
2
...............10分
令 x = 0，可得a0 =1，...............11分
所以.a2 + a4 + a6 =131776 1=131775...............12分
21.（12分）
24
解:（1）设“这位小学生因近视佩戴眼镜”为事件 A ，则P(A) = = 0.24 ........1分
100
设“这位小学生佩戴的是角膜塑形镜”为事件 B ，则“这位小学生因近视佩戴眼镜，且眼镜是
8
角膜塑形镜”为事件 AB ，则P(AB) = = 0.08...............2分
100
P(AB) 0.08 1
故所求的概率为P(B | A) = = = ...............3 分
P(A) 0.24 3
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有 8 人，其中 2 名是男生，6 名是女生，故从中抽 3 人，男生
人数 X 的所有可能取值为 0，1，2，
3
C3 5 C1C 2 15 C 2C1 3
P(X = 0) = 6 = P(X =1) = 2 6 = P(X = 2) = 2 6 =
C38 14 C
3 3
8 28 C8 28
所以男生人数 X 的分布列为
X 0 1 2
P 5 15 3
14 28 28
...............6分
15 3 3
所以E(X ) =1 + 2 = ..............7 分
28 28 4
3 2 5 3 2 15 3 3 45D(X ) =（0 ） +（1 ） +（2 ）2 = ...............8分
4 14 4 28 4 28 112
（3）由已知可得，Y ~ B(20,0.08) ，...............9 分
则 E(Y ) = np = 20 0.08 =1.6...............10 分
D(Y ) = np(1 p) = 20 0.08 0.92 =1.472 ...............12分
22.（12分）
a x + a
( ) f x = a ln x+ x+a f (x) = +1= (x 0)
解：(1)由 ，得 x x ，...............1分
当a 0时， f (x) 0，所以 f (x)在 (0,+ )上单调递增，...............2分
当 a<0时，当0 x a 时， f (x) 0 ，当 x a时， f (x) 0 ，
所以 f (x)在 (0, a)上递减，在 ( a,+ ) 上递增，...............4 分
综上，当a 0时， f (x)在 (0,+ )上单调递增，
当 a<0时， f (x)在 (0, a)上递减，在 ( a,+ ) 上递增；
(2)由（1）知，当a 0时， f (x)在 (0,+ )上单调递增，则 f (x)至多只有 1个零点，不符合
题意，
4
所以当 a<0时， f (x)可能存在两个零点，
由（1）知，当 a<0时， f (x)在 (0, a)上递减，在 ( a,+ ) 上递增，
所以 f (x)min = f ( a) = a ln( a) 0，得a 1，...........6分
1 1
此时 f = 0，
e e
1 3
①当 3 3 2 a 1时， f (e ) = e + 4a 0，此时 a e ，则
e
f (x)在 (0, a)和 ( a,+ ) 上分别存在一个零点，
②当a 2时， f (e a ) = a ln e a + e a + a = e a a2 + a，
令 g(a) = e a a2 + a,a 2，则 g (a) = e a 2a+1，
g (a) = e a 2 0，
所以 g (a) 在 ( , 2)上单调递增，则 g ( 2) = e2 +5 0，
所以 g(a)在 ( , 2)上单调递减，
所以 g(a) g( 2) = e2 6 0，即 f (e a ) 0，
1 a
此时 a e ，则 f (x)在 (0, a)和 ( a,+ ) 上分别存在一个零点，
e
综上， f (x)有两个零点，则a 1...............8分
下面证明 x1x 1，不妨设 0 x1 a x2 2 ，则由 f (x1) = f (x2) = 0，得
a ln x1 + x1 + a = 0
...............9分
a ln x2 + x2 + a = 0
x1 x2
两式相减得， a = ，
ln x1 ln x2
x + x x + x
ln x + ln x = 1 2 2 = 1 2两式相加得， 1 2 (ln x1 ln x2 ) 2，...............10分
a x1 x2
所以要证 x1x2 1，只要证 ln(x1x2) = ln x1 + ln x2 0，
5
x1 + x2
即证 (ln x1 ln x2 ) 2 0 ，
x1 x2
x1 1
ln x1 ln x2 x1 x2 1 x1 x2
即证 = ln 0，
2 x1 + x 2 x x2 2 1 +1
x2
1 t 1 1 2 (t 1)2
令 h(t) = ln t , t (0,1)，则h (t) = = 0，
2 t +1 2t (t +1)2 2t(t +1)2
所以h(t)在(0,1)上单调递增，
所以h(t) h(1) = 0，...............12 分
x1 1
x1 1 x x
因为 (0,1) 1 2，所以 ln 0，
x2 2 x x2 1 +1
x2
所以 x1x2 1.
6
