2022～2023 学年度第二学期期中学情检测
高二数学参考答案
一、选择题
1. B 2. D 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A
二、多选题
9. BD 10. ABD 11. ABC 12. CD
三、填空题
13. -20 14. 16 15. 4.5 16. 1 3 ,
2 2
四、解答题
1 2 3 4 5 8 17 29 24 42
17. 解：(1) x 3 , y 24，
5 5
5
xi x yi y 2 16 1 7 0 5 1 0 2 18 75 ，
i 1
5
x 2i x 4 1 0 1 4 10，
i 1
5
xi x yi y
所以b i 1
75
5 7.5， a y b x 1.5， 所以 y 1.5 7.5x．
x x 2 10i
i 1
2024年，即当 x 7时，由线性回归方程可得 y 54，
所以估计 2023年此地新增企业的数量为 54家． ………… 4分
(2)由题意可知，X的可能取值为 0，1，2，3，
P X 0 C
3 1 1 2
因为 3 ， P X 1 C 4C3 12
C3 3
，
7 35 C7 35
2 1 3
P X 2 C 4C3 183 ， P X 3
C
4
4
， ………… 8分
C7 35 C
3
7 35
所以 X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
EX 0 1 1 12 2 18 4 12所以 3 ． ………… 10分
35 35 35 35 7
n(ad bc) 2
18. 2附： ，n a b c d．
(a b)(c d )(a c)(b d )
P 2 k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：（1）设零假设为H0：购车种类与性别无关，
2 100(15 50 25 10)
2 50
根据数表可得 5.024， ………… 3分
75 25 60 40 9
所以零假设H0是错的，即在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，
可以认为购车种类与性别有关. ………… 5分
25 1
（2）随机抽取 1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为 ，
100 4
被抽取的 3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 X，X的可能值为：0，1，2，3，
X B(3, 1) P X 0 C0 1
0
3
3 27
依题意， ， 3
，4 4 4 64
1 2 2 1
P X 1 C1 1 3 27 1 P X 2 C2 3 93 ， ，
4 4 64 3 4 4 64
3
P X 3 C3 1 3
0 1
3
， ………… 10分
4 4 64
所以 X的分布列为：
X 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
X的数学期望 E(X ) 3
1 3
. ………… 12分
4 4
19. 解：（1）证明：取 AE的中点G，连接GD,GF，
1
因为BF∥EA，且 BF AE，所以 AG//BF且 AG BF，
2
所以四边形 AGFB是平行四边形，
所以GF∥AB，
又因为 ABCD是菱形，所以 AB DC，且 AB DC，
所以GF∥DC且GF DC，
所以四边形CFGD是平行四边形，CF //DG， …… 4分
又CF 平面 ADE,DG 平面 ADE，
所以CF //平面 ADE； ………… 6分
（2）连接BD交 AC于 N，取CE中点 P
PN //AE ,EA 平面 ABCD, PN 平面 ABCD，且CN ^ BN，
以 N 为原点， NC,NB,NP所在直线分别为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系，
设在棱 EC上存在点M 15使得平面MBD与平面 BCF的夹角余弦值为 ，
5
E 1,0, 2 ,B 0, 3,0 ,C 1,0,0 ,F 0, 3,1 , A 1,0,0 ,D 0, 3,0
则设CM CE 2,0,2 (0 1), M 1 2 ,0,2 ，
所以DM 1 2 , 3, 2 ,DB 0, 2 3,0 ,BC 1, 3,0 ,FB 0,0, 1
设平面DBM 的一个法向量为 n x, y, z ，
n
DM 0 1 2 x 3 y 2 z 0
则 即 ，令 y 0, x 2 , z 1 2 ，
n DB 0 2 3y 0
得 n 2 ,0,1 2 , ………… 8分
设平面 FBC的一个法向量为m a,b,c ，
m BC 0 a 3b 0
则 ，即 ，取b 1，
m
FB 0 c 0
得m 3,1,0 ， ………… 10分
m n 2 3
cos n,m 15 ，
m n 2 ( 2 )2 (1 2 )2 5
1
解得 或 1，，又Q 0 1，
3
1
1 2 2 2
此时M
3
, 0, , CM , 0,3 3 3 3 ，
2 3
M BCF CM m点 到平面 的距离 d 3 3 ． …………12分
m 2 3
20. 解：（1）在矩形 ABCD中， AB 2,BC 1，E是 CD的中点，
AE 2 ,BE 2 ,所以 AE2 BE2 AB2 ，所以 BE⊥ AE，
在折叠后的图形中，也有 BE⊥ AE， ………… 2分
因为平面 PAE 平面 ABCE，平面 PAE 平面 ABCE AE，
BE 平面 ABCE且 BE⊥ AE，所以 BE 平面 PAE，
因为 PA 平面 PAE，所以BE PA， ………… 4分
因为 PA PE，且 PE BE E，
所以 PA 平面 PBE . ………… 6分
（2） 取 AE的中点O， AB的中点 F ，连 PO，OF ，
因为 PA PE，所以 PO AO，因为OF / /BE， BE⊥ AE，所以OA OF，
因为 BE 平面 PAE，所以 BE PO，所以OF PO，
所以 PO,OA,OF两两垂直,
以O为原点，OA,OF ,OP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图：
2
则 A( ,0,0)， P(0,0, 2 )，
2 2
2 3 2 2B( , 2,0)，M ( , ,0)，
2 4 4
BM 2 3 2 ( , ,0)，
4 4
PA ( 2 ,0, 2
)，AM ( 5 2 , 2 ,0)
2 2 4 4
设平面 PAM 的法向量 n (x, y, z)，
n
PA 2 x 2 z 0
2 2
则 ，
5 2 2
n AM x y 0 4 4
令 x 1，得 y 5， z 1，得 n (1,5,1)， ………… 10分
所以直线 BM与平面 PAM所成角的正弦值为：
2 15 2n B M 4 4 8 30 . …………12 分
| n | | BM | 1 25 1 2 18 45
16 16
21. 解：（1）设动点C(x, y)，
1
由动点 C到定点F (1,0)的距离与它到直线 l : x 4的距离之比为 2 .
(x 1)2 y2 1
得 ， …………2分
| x 4 | 2
x2 y2 x2 y2
化简得 1，即点 C的轨迹方程为 1 …………4 分
4 3 4 3
（2）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,Q(x, y),P(4, t)，直线 AB的斜率显然存在设为 k，
则 AB的方程为 y k (x 4) t .
因为 A，P，B，Q四点共线，不妨设 x1 x x2 4，
由 | AP | | PB |, | AQ | |QB |可得， AP BP ,AQ QB
即 4 x1, t y1 4 x2 , t y2 , x x1, y y1 x2 x, y2 y ，
所以4 x1 4 x2 , x x1 x2 x ;t y1 t y2 , y y1 y2 y
可得 4 x1 x2 x x x1 4 x2 ，
化简可得2x1x2 x1 x2 (4 x) 8x 0 .（*） …………8 分
联立直线 y k (x 4) t和椭圆 C的方程：
x2 y2
1
4 3 ，消去 y 4k 2得： 3 x2 8k(t 4k )x 4(t 4k )2 12 0，
y k x 4 t
8k(t 4k ) 4(t 4k)2 12
由韦达定理， x1 x2 2 ， x1x2 2 .代入（*）……10 分4k 3 4k 3
x 4kt 3 t
2
4 9 t
2 9 t2
化简得 ，即 4 x
kt 3 kt 3 kt 3
9 t2
又 k
y t
y t 4 x代入上式： ，化简： 3x ty 3 0，
x 4 t 3
x 4
所以点 Q总在一条动直线3x ty 3 0上，且该直线过定点 (1,0)………12 分
22. 解：（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
x 1
f x ex 1lnx e ex 1 lnx
1
x
，
x
记 h x lnx 1 1 1 x 1 ，则 h x ，
x x x2 x2
所以当 0 x 1时， h x 0，函数 h x 单调递减，
当 x 1时，h x 0，函数 h x 单调递增， …………3 分
所以 h x h 1 1，
所以 f x ex 1 lnx
1
x
0，
所以函数 f x 在 0, 上单调递增； …………6分
2 e x 1（ ）原不等式为 lnx x 2 x x x 1 lnx x 1，即 x 1 ，x e
lnx x 1
即证 lnx x x 1 在 0, 2 上恒成立， …………7 分e e
ex xex 1 x
设 l x x ，则 l x 2
ex x ，ex e
所以，当 x 1时， l x 0， l x 单调递增；
当 x 1时， l x 0 ， l x 单调递减，
所以 l x l 1 1 ， …………9分
e
t x lnx x 1, t x 1 1 x令 1 ，
x x
当 0 x 1时， t x 0， t x 单调递增；
当 x 1时， t x 0， t x 单调递减，
所以 t(x)max t 1 0，所以 lnx x 1，
ln x 1
且在 x 0, 2 上有 ，所以可得到 l lnx l x 1 lnx x 1x 1 1 ，即 elnx ex 1 ，
所以在 x 0, 2 时，有 f x g x 成立. …………12分2022～2023 学年度第二学期期中学情检测
高 二 数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 6页，包含［选择题（1~12））填空题（第 13题～第 16题，共 80 分）、解答题
（第 17～22题，共 70分）。本次考试时间 120分钟，满分 150分、考试结束后，请将答题
卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5毫米的黑色签字
笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 已知集合 A x x2 x ， B x y log2 x 1 ，则 A B
A. 1, B. 0, C. （0，1） D. 0,1
2. 已知复数 z满足 z 1 i z 1 2i 1 ，则复数 z的实部与虚部的和为
1 1
A. 1 B. 1 C. D.
5 5
3. 2使命题“ x [1, 2), x a 0 ”成立的一个充分不必要条件可以是
A. a 1 B. a 1 C. a 4 D. a 4
4. 为了远程性和安全性上与美国波音 747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 A340，它是一种有
四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 A310.,假设每一架飞机的引擎在飞行
中出现故障率为1 p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 A340飞机至少有 3个引擎正常运行，
飞机就可成功飞行；A310飞机需要 2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 A340飞机
比 A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是
2 ,1 1 2 1 A. B. ,1 C. 0, D. 0,
3 3 3 3
5. 为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩
X N(70,100)，其中 60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是
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附：若 X N , 2 ，则 P( X ) 0.6826， P( 2 X 2 ) 0.9544．
A．该校学生体育成绩的方差为 10 B．该校学生体育成绩的期望为 85
C．该校学生体育成绩的及格率小于 85% D．该校学生体育成绩的优秀率大于 3%
6. “碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳
“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派 4名专家分别到 A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家
只去一个地方，且每地至少派驻 1名专家，则分派方法的种数为
A.72 B.36 C.48 D.18
7. 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在
一年内发生事故的概率依次为 0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占
20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一
年内发生事故的概率是
A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096
8. 在三棱锥 P-ABC中，AB=2BC=2， ABC 60 ，设侧面 PBC与底面 ABC的夹角为 ，若三棱
锥 P-ABC 3的体积为 ，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时， tan
3
A. 4 3 B. 3 C. 3 D. 4
3 4
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
n
9. 已知函数 f(x) ＝ 3x
2
，则下列关于 f(x)的展开式的命题中，正确的是
x
A.当 n＝11时，f(x)的展开式共有 11项
B.当 n＝8时，f(x)的展开式第 3项与第 6项的二项式系数之比为 1∶2
C.当 n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1
D.若第 4项和第 5项的二项式系数同时最大，则 n＝7
10. 教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生体质
健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”。提高学生体育与健康素
养，增强体质健康管理的意识和能力。某学校共有 2000名男生，为了了解这部分学生的身体发
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育情况，学校抽查了 100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直方图如图所示，则下
列结论中正确的是
A. 样本的众数为 67.5
B. 样本的 80百分位数为 72.5
C. 样本的平均值为 66
D. 该校男生中低于 60 kg的学生大约为 300人
11. 甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字 1,2,3,4，
乙四个面上分别标有数字 5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件 A为“两个四面体朝下一
面的数字之和为奇数”，事件 B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件 C为“乙四面体朝
下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是
A．P(A)＝P(B)＝P(C) B．P(BC)＝P(AC) 1 1＝P(AB) C．P(B|A)＝ D．P(ABC)＝
2 8
12. 已知长方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AB AD 2, AA1 1，点 P满足：AP AB AD AA1 ， 、
、 0,1 ，下列结论正确的是
A. 当 1, 0时，P到 A1D1的距离为 3
B. 当 1时，点 P的到平面 BDD1B1的距离的最大值为1
C. 当 0, 1时，直线 PB与平面 ABCD所成角的
2
正切值的最大值为
4
D. 当 1, 1 289 时，四棱锥 P BB1DD1外接球的表面积为2 32
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上．
1
13.（x 2 3
x 2
2）的展开式中常数项为 ▲ ．
14. 甲、乙、丙、丁 4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有 ▲ 种不同的坐法.
15. 某工厂为研究某种产品的产量 x(吨)与所需某种原材料的质量 y(吨)的相关性，在生产过程中收集 4
组对应数据(x，y)，如表所示．(残差＝观测值－预测值)
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
^ ^
根据表中数据，得出 y关于 x的经验回归方程为y＝0.7x＋a.据此计算出在样本(4,3)处的残差为－
0.15，则表中 m的值为 ▲ ．
16 . 已知正六棱柱 ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则
A→P·A→B的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17.（10分）
工信部发布的《“十四五“促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培
育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”
是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业，下表是某地各年新增企业数量的有关
数据：
年份(年) 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码(x) 1 2 3 4 5
新增企业数量：(y) 8 17 29 24 42
(1)请根据上表所给的数据，求出 y关于 x的线性回归方程，并预测 2024年此地新增企业的数量；
(2)若在此地进行考察，考察企业中有 4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这 7个企业中
随机抽取 3个，用 X表示抽取的 3个为“专精特新”全业个数，求随机变量 X的分布列与期望．
参考公式：
n
xi x yi y
回归方程 y a b x中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为b i 1 n ， a y b x
xi x 2
i 1
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18 .（12分）
新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能
源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导
向与目标．某车企随机调查了今年 3 月份购买本车企生产的汽车的 100 位车主，经统计其购车种
类与性别情况如下表：
单位：人
购置新能源汽车 购置传统燃油汽车 总计
男性 50 10 60
女性 25 15 40
总计 75 25 100
(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年 3月份售出
的汽车中，随机抽取 3辆汽车，设被抽取的 3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 X，求 X的分布列
及数学期望．
2
2 n(ad bc)附： ， n a b c d．
(a b)(c d )(a c)(b d )
P 2 k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19 .（12分）
如图多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是菱形， ABC 60 ,EA 平面 ABCD,EA∥BF ，
AB AE 2BF 2 .
（1）证明：CF //平面 ADE；
（2）在棱 EC上有一点M （不包括端点），使得平面MBD与平面 BCF
15
的夹角余弦值为 ，求点M 到平面 BCF 的距离.
5
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20.（12分）
如图 1，在矩形 ABCD中， AB 2,BC 1，E是 CD的中点，将 DAE沿 AE折起至△PAE的位
置，使得平面 PAE 平面 ABCE，如图 2．
（1）证明：平面PAE 平面 PBE．
（2）M为 CE的中点，求直线 BM与平面 PAM所成角的正弦值．
21.（12分）
1
在平面直角坐标系 xOy中，已知动点 C到定点 F (1,0)的距离与它到直线 l : x 4的距离之比为 2 .
(1) 求动点 C的轨迹方程；
(2) 点 P为直线 l上的动点，过点 P的动直线 m与动点 C的轨迹相交于不同的 A，B两点，在线
段 AB上取点 Q，满足 | AP | | PB |, | AQ | |QB |，求证：点 Q总在一条动直线上且该动直
线恒过定点.
22.（12分）
f x e x 1lnx , g x x 2已知函数 x .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)证明：当 x 0, 2 吋， f x g x .
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