湖北省武汉市江夏区2023届九年级下学期3月月考数学试卷（含解析）

江夏区2022—2023学年度第二学期九年级三月学科小结
数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2023的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2023
2. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ）
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件
3. 下列图形是我国国产品牌汽车标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形面积之比为5，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是___________．
12. 某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是______．
13. 计算：结果是______
14. 小明为测量校园里一颗大树的高度．在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为__________．（结果精确到．参考数据：，，）
15. 如图，已知开口向下抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则．其中正确的是___________（填写序号）．
16. 如图1，在矩形中，，，E，F分别为，的中点，连接．如图2，将绕点A逆时针旋转角，使，连接并延长交于点H．则的长为__________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得__________；
（2）解不等式②，得__________；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为__________．
18. 已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查学生共有　 　名；
（2）扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　 　度；
（3）请你将条形统计图补全；
（4）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
20. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积．
21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）画出关于对称的线段；
（2）画出的中点E；
（3）连接并延长交于点F，直接写出的值为__________；
（4）在上画点G，连接，使．
22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
23. （1）【问题探究】如图1，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
（2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点E、F、G、H分别在线段、、、上，且．则求的值（用含m，n的式子表示）．
（3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在线段、上，且．则______．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案
1. C
解：2023的相反数是，
故选：C．
2. B
解：对方出“剪刀”．这个事件是是随机事件，
故选：B．
3. B
解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
4. A
解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
5. D
解：从上面看该几何体，选项D的图形符合题意，
故选：D．
6. C
解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴，
故选：C．
7. A
解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；
③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．
分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．
故选：A．
8. A
解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为，故A正确．
故选：A．
9. A
解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
10. C
解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：
设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF=AB=m，
由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（m）2，
解得x=m或x=-2m（舍去），
∴AL=FM=m，FL=2m，
AP=，
∴AP=BP，即P为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
即
∴CN=m，PN=m，
∴AN=AP+PN=
tan∠BAC=，
∵△AEC和△BCH等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，
故选：C．
11. 6
解：=6
故答案为：6．
12. 39
解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40
∴中位数为39，
故答案为：39．
13. .
.
故答案为.
14.
解：过点D作，
由题意可知，，，，
在中，，
，
，
故答案为：．
15. ②③④
解：由图像可知，图像开口向下，，对称轴为，
∴，
∴，且，则故②正确，
∵图像与y轴的交点为正半轴，
∴，则，故①错误，
由图像可知当x=1时，函数取最大值，
将，代入中得：，
由图像可知函数与x轴交点为，对称轴为将，故函数图像与x轴的另一交点为，
设函数解析式为： ，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
故答案为：②③④．
16.
解：如图，设交于点M，交于点N，
根据题意得，，
∴，
在矩形ABCD中，，，∠BAD=90°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，过点E作于点G，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
17. （1）
解：，
；
（2）
解：，
，
，
；
（3）
解：不等式解集在数轴上表示为：
（4）
解：由图可得：
不等式组的解集为．
18. 证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 解：（1）本次被抽查学生共有：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）选择B的学生有：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（4）600×＝96（名），
即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名．
20. 解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，
，
在Rt△OBD中，
∵ OD2+BD2=OB2，
∴(R–2)2+(2)2=R2，
解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，
∵OB=4，∠BOE=60°，
∴在Rt△OBE中，，
∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC
=2××4×-
=．
21. （1）
如图：线段就是所求作的线段；
（2）
如图：点E就是所求作的点；
（3）
如图：线段就是所求作的线段，
过点D作交的延长线于点M，
根据图可知：，
则，
又∵,
∴，
∴；
故答案为：；
（4）
如图：点G就是所求作的点.
22. （1）
解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为6m；
（2）
解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为；
（3）
解：∵，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
23. （1）
理由：如图1中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
在正方形中，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即，
∴
（2）如图2中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
在长方形中，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∵，，
∴
（3）如图3中，过点C作于点M，设交于点O
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
24. （1）
解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
，
（2）
二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，
（3）
的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
．
即的值是定值