2022-2023学年第二学期期中考试
高二数学
注意事项：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。背出
2.请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知函数fx)=x+ax,若1im1+△)二fD=10,则a=心出
Ax
C.4
D.3
A.6
B.5
2.随机变量的所有可能的取值为1,2,3,4,5，且P(=)=ak,(k=1,2,3,4,5),
则a的值为
A动
B.15
C.30
D.15
3.若直线y=x+2m与曲线y=e"相切，则
A.m十n为定值
B.2m十n为定值
C.m+2n为定值
D.m+3n为定值
4.已知高二1班男、女同学人数相同，有10%的男同学和3%的女同学爱打桥牌，现随
机选一名同学，这位同学恰好爱打桥牌的概率是
A.0.003
B.0.057
C.0.065
D.0.035
5.有序数对(a,b)满足a,b∈(-号，一1,0,2，且使关于x的方程ax+2x+b=0有
实数解，则这样的有序数对(a,b)的个数为
A.15
B.14
C.13
D.10
01
6.若函数f(x)=lnx十乞ax在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A.（-∞，-1]B.（-2,+∞)C.(-1,-)
D.(一1，+∞)
7.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中，依次不放回的抽出两张，则在第一次抽到奇
数的情况下，第二次抽到奇数的概率为
A.
B吾
c号
D.
8已知a=竖，6=号，c=已，则a,,c的大小关系为
A.a
C.cD,b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.若函数f(x)的导函数在定义域内单调递增，则f(x)的解析式可以是
A.f(x)=2x2-sinz
B.f(x)=x
C.f(x)=1+cosx
D.f(x)=x2-Inx
高二数学第1页共4页
10.已知(2x+3)'=a+a1（x+1)+a(x+1)2+a,(x+1)+a,(x+1),则
水〉.
A.do=1
B.a1+a2十a3+a4=81
C.a3=32
D.a4=-16
1山，如图、一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观
赛它与地面接触的面上的数字，得到样本空间n=(1,2,3,4,5,6,7,8).事件
A表示“数字为偶数”，事件B表示“数字大于4”，事件C表示“数字为3,4,5,6
中的一个”，则以下结论正确的是
A.事件A与事件B独立
B事件A与事件C不独立中的面可立
C.事件B与事件C独立
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
12.已知函数f(x)=sinx一zcOs.t,x是函数f(x)在(0,2x)上的一个零点，则
A.当x∈(0，π)时，f(x)>0
B.当x∈（π，2π）时，f(x)<0
C.当x∈(0，π)时，x-xoD.当x∈(0，x)时，x-xo>sinx-sinx0s,
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.Ciz+Ci2-Cis=
14.已知随机变量服从正态分布N(μ，o2),若P(<3)=P(>7)=0.12,则
P(3≤<5)=
15.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了更好地服务大会，将5名志
愿者分配到4个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的
方案种数为
,(用数字作答)
15.一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬
行1个单位，设爬行”次后小虫所在位置对应的数为随机变量5，则
(E022=0）
(52022=2)
西、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10分)
设S是不等式x2-x-12≤0的解集，整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(，n)”为事件A,试列举事件A包含的基
本事件；
(2)设专=m2,求专的分布列，从到。个1
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高二数学答案
lim f (1 x) f (1)1.B解:根据导数的定义得： f 1 ，即 f 1 10，
x 0 x
因为 f (x) 5x4 a，所以 f (1) 5 a 10，解得 a 5 .故选：B.
2.B解:∵随机变量ξ的所有可能的取值为 1，2，3，4，5，且P k ak , k 1,2,3,4,5 ，
1
∴ a 2a 3a 4a 5a 1，∴15a 1，∴ a .故选：B.
15
3. B解：设直线 y x 2m与曲线 y ex n切于点 x0 , ex0 n ，对函数 y ex n求导得， y ex n ，
所以 ex0 n 1， x0 n，所以切点为 (n,1)，代入直线方程得：1 n 2m，即 2m n 1.
故选：B.
4.C解：用事件 A1表示“随机选一名同学是男生”，用事件 A2表示“随机选一名同学是女生”，用事件 B
表示“这位同学恰好爱打桥牌”，则 A1 A2，且 A1， A2互斥，
1
由题意知 P A1 P A2 ， P B A1 10％， P B A2 3％，2
由全概率公式得 P B P A1 P B A1 P A2 P B A 1 12 10％ 3％＝0.065．故选:C．2 2
b 1
5.A解：（1）当 a 0时，有 x 为实根，则b , 1,0,2有 4种可能；
2 2
（2）当 a 0时，方程有实根，所以 4 4ab 0，所以 ab 1.
1 1
当 a 时，b , 1,0,2有 4种.
2 2
1
当 a 1时，b , 1,0,2有 4种.
2
b 1当 a 2时， , 1,0有 3种.
2
所以，有序数对 a,b 的个数为 4 4 4 3 15 .
1 1
6.D 2解：∵ f (x) ln x ax ，∴ f (x) ax，
2 x
若 f x 在区间 (1, 2)内存在单调递增区间，则 f (x) 0, x (1, 2)有解，
1
故 a 2 ，令 g(x)
1
2 ，则 g(x)
1
2 在 (1, 2)单调递增，x x x
g(x) g(1) 1，故 a 1 .故选：D.
7.C解：事件 A=“抽两张卡片，第一张为奇数”，B=“抽两张卡片，第二张为奇数”，
第 1 页
1
C1C1P(A) 3 5 1 C
1C1 1
则有 2 ，P(AB)
3 2 P(AB) 5 22 ，所以 P(B | A) .故选：C.A 2 A 5 P(A) 1 56 6
2
ln 2 ln3 c 1 ln e f (x) ln x 1 ln x8.A解: a ， b ， ，构造函数 ，则 f (x) ，
2 3 e e x x2
1 x e f (x) 1 ln x当 时 ln x 1 ,此时 0 ;
x2
x e ln x 1 f (x) 1 ln x当 时 ,此时 2 0 .x
故 f (x) ln x 当 x 1,e 单调递增,当 x (e, )单调递减.
x
故 f (x)max f (e)
1
c 故 a c , b c
e
a ln 2 2 ln 2 ln 4 f (4)，又 4 3 e, f (4) f (3) 即 a b
2 4 4
故 a9.AD解:A 2：由 f x 2x sin x f x 4x cos x，令 g x f x 4x cos x，
因为 g x 4 sin x 0，所以函数 f x 是 R上的增函数，符合题意；
B：由 f x x3 f x 3x2 2，因为二次函数 f x 3x 不是定义域上的增函数，因此不符合题意；
C：由 f x 1 cos x f x sin x，因为函数 f x sin x是周期函数，所以函数 f x sin x不
是 R上的增函数，因此不符合题意；
D 2：由 f x x ln x f x 2x 1 ，令 g x f x 2x 1 ，则 g x 2 1 2 0，符合题意，x x x
故选：AD.
10.AC 4 2 3解：因为 (2x 3) a0 a1(x 1) a2 (x 1) a3(x 1) a4 (x 1)
4
，
4
所以令 x= 1，可得 a0 2 1 3 1，
4
令 x 0，可得 a1 a2 a3 a4 2 0 3 a0 80，所以 A正确，B错误；
因为 (2x 3)4 2 x 1
4
1 ，
所以展开式的通项公式为Tr 1 C
r
4 2
4 r
x 1 C
r 24 r x 1 4 r4 ，
a C124 1所以 3 4 32， a C
024 04 4 16，所以 C正确，D错误.故选：AC.
11.ACD解：由题意得： P A P B 1 P C ，
2
第 2 页
P AB 1 ， P AC 1 ，P BC 1 1 ， P ABC
4 4 4 8
P AB P A P B ， P BC P B P C ，
P ABC P A P B P C ， P AC P A P C 成立，故 B错误，选 ACD.
12.AC解： f x x sin x，当 x 0, 时 f x x sin x 0，函数 f x 单调递增，当 x ,2 ，
f x 0，函数 f x 单调递减，且 f 0 0， f 0， f 2 0，所以 x0 ,2 ，所以当
x 0, x0 ， f x 0，当 x x0 ,2 ， f x 0，
对于 A、B选项，当 x 0, 时， f x 0，A正确,B错误；
对于 C选项，令 F x x cos x， F x 1 sin x 0，故 F x x cos x在 R上为增函数，当
x 0, 时， x x0，所以 x cos x x0 cos x0，即 x x0 cos x cos x0，故 C正确；
对于 D选项，令G x x sin x，G x 1 cos x 0，故G x x sin x在 R上为增函数，当
x 0, 时， x x0，所以 x sin x x0 sin x0，即 x x0 sin x sin x0，故 D错误.故选 AC.
13.0 5解：C12 C
4 C8 C5 8 5 512 13 13 C13=C13 C13=0 .
7 3
14.0.38解：根据正态分布的概率密度函数的对称性可知 5，
2
则 P(3 5) P( 5) P( 3) 0.5 0.12 0.38 .
15.240解：将 5人分到 4个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配 1人，则必须且只能有 1个场馆
分得 2人，其余的 3个场馆各 1人，
C 2 1 1 15C3C2C1
可先将 5人分为 2、1、1、1的四组，有 3 10种分组方法，再将分好的 4组对应 4个场馆，A3
A4有 4 24种方法，则共有10 24 240种分配方案.
1012 1
16. 解：由题意知，小虫向前或向后爬行 1个单位的概率为 ，若 2022 0，则爬行 2022次后小1011 2
1
2022
虫一共向前爬行 1011次，向后爬行 1011次， P 0 C10112022 2022 ，
2
若 2022 2，则爬行 2022次后小虫一共向前爬行 1012次，向后爬行 1010次，
1 2022 P 0 1012P 2022 2 C1012
2022
2022 ，即 .
2 P 2022 2 1011
第 3 页
17.解：（1）由 x 2 x 12 0，得 3 x 4，即 S x | 3 x 4 ...…………2分
由于m,n Z，m,n S 且m n 0，
所以事件 A包含的基本事件为：
3,3 ， 3, 3 ， 2,2 ， 2, 2 ， 1,1 ， 1, 1 ， 0,0 . ..…………………………5分
（2）由于m的所有不同取值为 3, 2, 1,0,1,2,3,4 ..……………………………6分
1 2 1
所以 m 2 的所有不同取值为 0，1，4，9，16，且有 P 0 ， P 1 ，
8 8 4
P 4 2 1 ， P 9 2 1 1 ， P 16 ..……………………………8分
8 4 8 4 8
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 4 9 16
1 1 1 1 1
P
8 4 4 4 8
.……………………………10分
18.解：（1）由 f (x) x3 3ax2 3bx a2可得 f (x) 3x2 6ax 3b，.………2分
3
因为 f x x 3ax2 3bx a2在 x 1处有极值 0，
f ( 1) 0 3 6a 3b 0 a 1 a 2
所以 ，即 2 ，解得 或 ，.……………3分
f ( 1) 0 1 3a 3b a 0 b 1 b 3
当 a 1,b 1时， f (x) 3x2 6x 3 3(x 1)2 0，
函数 f (x)在 R上单调递增，不满足在 x 1时有极值，故舍去..……………………4分
所以常数 a,b的值分别为 a 2,b 3 .
所以 f (x) x3 6x2 9x 4 ..……………………………5分
f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)
令 f (x) 0，解得 x1 1, x2 3，
当 x 3或 x 1时 f (x) 0，当 3 x 1时， f (x) 0，
所以，函数 f x 的在 , 3 上单调递增，在 3, 1 上单调递减..……………7分
（2）由（1）可知 g(x) x3 6x2 9x k 5，
第 4 页
g (x) f x 3(x 1)(x 3)，.……………………………8分
g(x)的单调递增区间是 ( , 3)和 ( 1, )，单调递减区间为 ( 3, 1)，.…………9分
当 x 3时，g(x)有极大值 k 5，
当 x 1时, g(x)有极小值 k 1，
k 5 0
要使函数 g x 有三个零点，则须满足 ，解得1 k 5 ..……………………12分
k 1 0
19.解：（1 2 10）选①：因为Cn Cn ，所以 n 12；.……………………………4分
n
选②：因为只有第 7项的二项式系数最大，所以 6，则 n 12；.………………4分
2
选③：因为所有项的二项式系数的和为 4096，则 2n 4096，则 n 12；.………………4分
4
（2）二项式 (ax
1
)12的展开式的通项公式为Tr 1 C
r (ax)12 r12 (
1
)r C r a12 r
12 r
3 x 3 x 12 ( 1)
r x 3 ，
令12 4 r 0，解得 r 9，.…....................................................................................8分
3
9
所以展开式的常数项为 C12 a
3 220，得 a3 1，所以 a 1，
令 x 1 12 12可得展开式的所有项的系数和为 a 1 1 1 0．.………………………12分
20.解：（1）设从 100个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为 A，
50 1
则 P A ，.……………………………2分
100 2
1
随机抽取 5个，设抽到二等级别水果的个数为 X ，则 X B 5, ，.…………………4分
2
2
2 P X 2 C 2 1 1
3
5
所以恰好抽到 个二等级别水果的概率为 5 ．.………………………6分
2 2 16
（2）用分层抽样的方法从 100个水果中抽取 10个，
则其中优级水果有 3个，非优级水果有 7个．.……………………………8分
现从中抽取 3个，则优级水果的数量Y 服从超几何分布，所有可能的取值为 0，1，2，3．
3 2 1
则 P Y 0 C 7 7 ，P Y 1 C 7C3 21
C3 24 C3
，
10 10 40
P Y 2 C
1
7C
2
3 7
3
3 ，P Y 3
C3 1 3 ．.……………………………10分C10 40 C10 120
所以Y 的分布列如下：
第 5 页
Y 0 1 2 3
7 21 7 1
P
24 40 40 120
E Y 0 7 1 21 2 7 3 1 9所以 ．.……………………………12分
24 40 40 120 10
21.解：（1）由题意知 X 可取1、 2、3、 4、5， .……………………………2分
P(X 1) 1 p， P(X 2) p (1 p)， P(X 3) p2 (1 p)，P(X 4) p 3 (1 p)，
P(X 5) p 4 .……………………………5分
∴ X 的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 1 p p (1 p) p2 (1 p) p3 (1 p) p 4
.……………………………6分
（2）由（1）知 E(X ) 1 p 2p (1 p) 3p 2 (1 p) 4p 3 1 p 5p 4，.………………8分
4 3
所以 E(X ) p p p 2 p 1
∵ E(Y ) E(100X ) 100E(X )，
∴ E(Y ) 100(p 4 p3 p 2 p 1) ， .……………………………10分
设 f ( p) 100( p 4 p 3 p 2 p 1)，则 f ( p)在[0.9，0.96]单调递增，
∴当 p 0.9时， f (p)取得最小值 409.51，∴Y 的数学期望 E(Y )的最小值 409.51元..……12分
1
22.解：（1）因为 f (x) ln x，所以 f (x) ，所以 f (1) 1，
x
所以函数 f (x)在 1,0 处的切线为 y 0 x 1，即 y x 1 .………………4分
（2）由题意：mf (x) g(x) 1 2 ，即 x m ln x 0在 (0， )上恒成立，
x e
1 2
令 h(x) x m ln x 2 h (x) 1 1 m x mx 1，则 2 2 ，………………6分x e x x x
对于 y x2 mx 1， m2 4 0，
∴其必有 2个零点，且 2个零点的积为 1，则 2个零点一正一负，
第 6 页
1
设其正零点为 x0 (0， )，则 x20 mx0 1 0，即m x0 x ，0
且 h(x)在 (0，x0)上单调递减，在 (x0， )上单调递增，∴ h(x0) 0，………………8分
即 x
1 1
0 (x0 ) ln x
2
0 0x0 x0 e
，
令w(x) 1 x (x 1)ln x 2 ，
x x e
则w (x) 1
1 (1 1 )ln x (1 1 1 2 2 2 ) (1 2 ) ln x，x x x x
当 x (0，1)时，w (x) 0，当 x (1， )时，w (x) 0，
则w(x)在 (0，1)上单调递增，在 (1， )上单调递减，
1
又w( ) w(e) 0，∴ x 10 [ ，e]， ………………11分e e
1 1 1 1
显然函数m x0 x 在[ ，e]上是关于
x0的单调递增函数，则 e m e ，
0 e e e
1 1
∴实数m的取值范围为[ e，0) (0，e ] . ………………12分
e e
第 7 页