人教版九年级数学下册 第27章相似三角形发单元测试卷（含解析）

人教新版九年级下册《第27章 相似三角形》 单元测试卷
一 、单选题（本大题共10小题，共44分）
1.（5分）选项图形与如图所示图形相似的是
A. B.
C. D.
2.（5分）若∽，相似比为：，则与的周长比为
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.（5分）如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是
A. B.
C. ：： D. ：：
4.（5分）将一个直角三角形的三边扩大倍，得到的三角形是
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
5.（4分）如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长是
A. B. C. D.
6.（4分）如图，在平面直角坐标系中的第一象限内，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，作出的位似图形若与的相似比为：则点的坐标为
A. B. C. D.
7.（4分）如图，在正方形中，是边中点，是边上一动点，是延长线上一点，且若，则线段长度的最小值和最大值分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.（4分）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是
A. B. C. D.
9.（4分）如图，、切于点、，点是上一点，且，则等于
A. B. C. D.
10.（4分）如图，，，点在边上与、不重合，四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，给出以下结论：
； ：：；
； ，
其中正确的结论的个数是
A.
B.
C.
D.
二 、填空题（本大题共7小题，共28分）
11.（4分）如图，已知，，，，则______
12.（4分）如图，表示为为位似中心，扩大到，各点坐标分别为：，，，则点坐标为 ______ .
13.（4分）如图，已知平分，垂足为点，垂足为点，，，则______.
14.（4分）如图，正方形中，，，分别交、于、，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号有 ______.
15.（4分）如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则四边形的面积为______．
16.（4分）如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为______
17.（4分）如图，点，，，均在坐标轴上，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为________．
三 、解答题（本大题共7小题，共28分）
18.（4分）如图，一个木框，内外是两个矩形和，问按图中所示尺寸，满足什么条件这两个矩形相似？
19.（4分）如图所示，在中，，是边的中线，于点，连接
求证：∽；
20.（4分）如图所示，在中，，，，求的长．
21.（4分）如图，在四边形中，点是对角线上一点，且
若，求的度数；
判断与是否相似，并说明理由．
22.（4分）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接
求证：是的切线．
连接，已知，，求的长．
23.（4分）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点过边上的动点点不与点，重合作于点，沿着折叠该纸片，得顶点的对应点设，折叠后的与四边形重叠部分的面积为
如图①，当点与顶点重合时，求点的坐标；
如图②，当点落在第一象限时，与相交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
当时，求的取值范围直接写出结果即可
24.（4分）如图，在中，，于点，于点交于点，点为边的中点，作交直线于点
如图，当，时，______，______.
如图，当时，试探索与的数量关系，并证明．
如图，当时，中与的数量关系 ______成立填“仍然”或“不再”，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：因为相似图形的形状相同，
所以、、中形状不同，
故选：
根据相似图形的性质，根据形状相同排除、、，可得出答案．
此题主要考查相似图形的性质，掌握相似图形的对应角相等、对应边成比例是解答该题的关键．
2.【答案】B;
【解析】解：∽，与的相似比为：，
与的周长比为：．
故选：．
根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
这道题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形多边形的周长的比等于相似比．
3.【答案】D;
【解析】解：、已知，若，则与相似，故不符合题意；
、已知，若，则与相似，故不符合题意；
、已知，若：：，则与相似，故不符合题意；
、若：：，但夹角不是公共等角，则不能证明与相似，故符合题意，
故选：
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解答该题的关键．
4.【答案】A;
【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形
故选A．
根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
这道题主要考查相似三角形的判定以及性质，得出两三角形相似是解答该题的关键，是基础题，难度不大．
5.【答案】A;
【解析】解：，，
：：：，，
∽，
，
，
，
，
故选：
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
此题主要考查相似三角形的应用，解答该题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．
6.【答案】C;
【解析】解：与位似．与的相似比为：，
与位似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：
根据位似变换的性质解答即可．
此题主要考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或
7.【答案】D;
【解析】解：如图，过点作于点，作交的延长线于点，
则，
四边形是正方形，
，，
是边中点，
，
在和中，
，
，
，，
设，且，
则，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
当时，有最小值，即的最小值为，
，
当或时，有最大值，即的最大值为，
故选：
如图，过点作于点，作交的延长线于点，结合正方形的性质可证，得出：，，设，且，则，由勾股定理可得，再运用二次函数的性质即可求得答案．
本题是几何综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，解答该题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8.【答案】C;
【解析】
解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
是的平分线．
，这时有最小值，即的长度，
，，，
．
，
，
即的最小值为．
故选：．

过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线．得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值．
这道题主要考查了轴对称问题，解答该题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．
9.【答案】C;
【解析】解：连接，
、切于点、，则，
由圆周角定理知，，
，

故选：
连接，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为度求解，是中考常见题型．
10.【答案】D;
【解析】
该题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
由正方形的性质得出，，证出，由证明≌，得出，正确；证明四边形是矩形，得出，正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，正确；证出∽，得出对应边成比例，得出，正确．

解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，正确；
，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，正确；
，，
，正确；
易证，
，，
∽，
，
，正确；
故选D．
11.【答案】9.8;
【解析】解：，
，
解得：，
则，
故答案为：
根据，可以先求出的长，即可得到的长．
此题主要考查了比例的基本性质，在比例式中，已知三个就可求得第四个的量．
12.【答案】（，）;
【解析】解：与是位似图形，
，，所以其位似比为：
点的坐标为，
所以点的坐标为
故答案为：
由图中数据可得两个三角形的位似比，进而由点的坐标，结合位似比即可得出点的坐标．
此题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够利用位似比求解一些简单的计算问题．
13.【答案】;
【解析】解：垂足为点，
，
，，
，
垂足为点，
，
平分，
，
∽，
，
，
，
故答案为：
根据勾股定理得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解答该题的关键．
14.【答案】①③④;
【解析】解：过点作，垂足为，交于点，

四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
在中，，
在中，，
，
故②不正确；
，
，
，
，
故③正确；
，
四边形是矩形，
，，，
，
设，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
故④正确，
所以，正确结论的序号有：①③④，
故答案为：①③④．
过点作，垂足为，交于点，根据正方形的性质可得，，，再根据，，从而可得，进而可证，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可判断①；在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，即可判断②，由①可得，从而可得，即可判断③，根据题意易证四边形是矩形，从而可得，，，进而可得，然后设，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后再证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质即可判断④．
此题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及正方形的十字架模型是解答该题的关键．
15.【答案】5;
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
：：：：，∽，
，，，
，
故答案为．
由于四边形是平行四边形，那么，，根据平行线分线段成比例定理的推论可得∽，再根据是中点，易求出相似比，从而可求的面积，再利用与是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求的面积，由此即可解决问题；
该题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解答该题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出的面积．
16.【答案】9;
【解析】解：由题意得，，
∽，
，
即，
解得．
故答案为：．
根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
该题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解答该题的关键．
17.【答案】;
【解析】该题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解答该题的关键．
根据相似三角形的性质求出的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出的长，得到答案．
解：点，的坐标分别为，，
，．
∽，
，即，
解得．
∽，
，即，
解得，则点的坐标为．
故答案为．
18.【答案】解：当两个矩形ABCD和EFGH相似时，，
即：，
整理得：，
故当时两个矩形相似．;
【解析】
利用相似多边形的对应边的比相等列出比例式即可求得尺寸满足的条件．
此题主要考查了相似多边形的性质，解答该题的关键是根据题意列出比例式，难度不大．
19.【答案】证明：（1）∵∠ACB=90°，CN⊥AM，
∴∠ACB=∠MNC，
∵∠NMC=∠CMA，
∴△MCN∽△MAC；
（2）由（1）得：△MCN∽△MAC，
∴，
∴MC2=MN MA，
∵AM是BC边的中线，
∴MB=MC，
∴MB2=MN MA，
∵∠BMN=∠AMB，
∴△MNB∽△MBA，
∴∠NBM=∠BAM．;
【解析】
根据两个角相等的两个三角形相似可直接证明；
由得：∽，则，再根据，以及，可证∽，从而解决问题．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用两边成比例且夹角相等证明∽是解答该题的关键．
20.【答案】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴=①．
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD．
∴=②．
由①与②，得=，
∴AD2=AF AB=4×6=24．
∴AD=2．;
【解析】
由，，得∽，可得∽分别得，，进而可证得，便可求得答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：（1）∵．
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAE=∠BAE=22°，
∴∠BAD=44°；
（2）△ADE∽△ACB，理由如下：
∵，
∴，
又∵∠DAC=∠BAE，
∴△ADE∽△ACB．;
【解析】
通过证明∽，可得，即可求解；
由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证明∽
此题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答该题的关键．
22.【答案】（1）证明：如图，连接OC，

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵E为BD的中点，
∴BE=CE=DE，
∴∠ECB=∠EBC，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠OBC+∠EBC=90°，
∴∠OCB+∠ECB=90°，
∴∠OCE=90°
∴OC⊥CE，
又∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，

∵∠D=∠D，∠BCD=∠ABD，
∴△BCD∽△ABD，
∴=，
∴BD2=AD CD，
∴（3）2=5AD，
∴AD=9，
∵E为BD的中点，AO=BO，
∴OE=AD=．;
【解析】
由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得，可证，可得结论；
通过证明∽，可得，可求的长，由三角形中位线定理可求解．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键．
23.【答案】解：（Ⅰ）由题意得BM=AM=m，
∵A（-，0），B（0，1），
∴OB=1，OA=，
∴OM=-m，
由勾股定理得：
BM2=OB2+OM2，
∴=12+（-m）2，
即=1+3-2m+，
m=，
∴OM=，
∴M（-，0）；

（Ⅱ）S=，，
由（1）知，使A'落在第一象限，
则m＞，
∵OA=，
∴，
∵△MNA'是由△AMN翻折 得到，
∴S=S△AOB-S△AMN-S△MOC
∵OA=，OB=1，
∴S△AOB=，AB==2，
∵AM=m，
∴M（-+m，0），
∵MN⊥AB，
∴Sin∠BAO=，
∴，
∴MN=，
∴AN=，
∴S△AMN=，
∵sin∠BAO=，
∴∠BAO=30°，
∴∠AMN=∠A′MN=60°，
∴∠CMO=180°-∠AMN-∠A′MN=60°，
tan60°==，
∵MO=-m，
∴CO=，
∴S△CMO===
∴S=
=
=
=-+3m-，

（Ⅲ），
由（2）得：S=-+3m-，
当m=-时S取最大值，单调递减，
∵＞1，
∴顶点为抛物线的最高点，顶点的纵坐标为S的最大值，
Smax===，
S（m=1）=-，
=-，
∵＜S（m=1），
∴．;
【解析】
由坐标得、的长，再根据勾股定理得的值，从而求出的长，得到坐标；
因为使落在第一象限，，所以可以确定的取值范围；由图可得，所以分别求出三个三角形面积用含的式子表示，其中用到三角函数、勾股定理等；
根据得到的关于的二次函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点在部分，所以顶点的纵坐标是的最大值；再分别计算和时函数值，比较大小，从而求解．
本题属于几何代数综合题，考查勾股定理、三角函数、待定系数法求二次函数解析式及最值，解题关键是结合图形，分析题意综合运用以上知识点，计算比较繁琐．
24.【答案】3 3 仍然;
【解析】解：，，
是等边三角形，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：，；
，
理由如下：连接，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
；
仍然成立，
理由如下：连接，

由同理可得，∽，
，
，
，
，
，
由同理可得，，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
故答案为：仍然．
根据等边三角形的性质可得，再说明，可得答案；
连接，首先利用证明，得，则，再证明，得，从而证明结论；
连接，首先证明∽，得，则有，由同理可得，，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答该题的关键．