浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考
数学学科 试题
考生须如：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则的虚部是（ ）
A. -2 B. C. 2 D.
3. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时.当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
4. 平面向量与相互垂直，已知，且与向量的夹角是钝角，则（ ）
A. B. C. D.
5. 定义运算：，将函数的图象向左平移的单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“融金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局，双方约定，各出金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A. 甲48枚，乙48枚 B. 甲64枚，乙32枚
C. 甲72枚，乙24枚 D. 甲80枚，乙16枚
7. 若，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则
10. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A.三点共线
B. 平面
C. 直线与平面所成角的为
D. 直线和直线是共面直线
11. 已知顶点在原点的抛物线，过抛物线焦点的动直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，面积为8.下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线方程为 B. 若，则的中点到轴距离为4
C. 有可能为直角三角形 D. 的最小值为18.
12. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是等差数列的前项和，且，则_______________.
14. 写出一个满足下列条件的正弦型函数：_____________.
（1）最小正周期是；（2）在上单调递增，（3），都存在使得
15.点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_______________.
16. 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为__________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，角的对边分别为，已知：。
（1）求边的长和三角形的面积；
（2）在边上取一点，使得，求的值.
18.（12分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，绘制得到如下的频率分布直方图：
（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；
（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率.
19.（12分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列}的前项和.
20.（12分）
如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点是的中点，且满足.
（1）求证：平面；
（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
21.（12分）
已知双曲线过点，且右焦点为.
（1）求双曲线的方程：
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求三角形的面积的取值范围.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间：
（2）若有经过原点的切线，求的取值范围及切线的条数，并说明理由.
（3）设函数的两个极值点分别为，且满足.求实数的取值范围.
浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考
数学学科 参考答案
参考答案
一、单选题（每题5分共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D C C D D
二、多选题（每题5分，少选2分，错选0分）
9 10 11 12
AB ABC ABD AC
三、填空题（每题5分）
13. 14. 都可以
15. 16.
17.【解答】解：（1）在中，由余弦定理知，，
∴，解行或-1（舍），
∴，
∴的面积.
（2）在中，由正弦定理知，，
∴，∴
∵，∴为锐角，
∵.∴
∴
由图可知，为锐角，
∴
∴.
18.【解答】解：（1）由直方图可得，样本落在的频率分别为0.02，
0.15，0.27，0.23，落在的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01. 因此，样本落在的频率为：样本中用电量在的用户数为；
（2）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，则从6户中任取2户的样本空间为：，共有15个样本点.设事件“走访对象来自不同分组”，
则，
所以，从而.
19.【解答】（1）解：∵
∴当时，有
两式相减得：，即，
又当时，有也适合上式.
∴
说明：不验证的情况扣1分.
（2）证明：由（1）可得：
∴.
20.【分析】（1）只要证明垂直于平面内两相交直线即可：（2）寻找二面角的平面角，转化为解直角三角形问题.
【解答】（1）证明：是的中点，，所以
因为在底面ABC内的射影恰好是点，所以平面
因为平面.
所以
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：设，取中点，连接，
因为，所以
所以，
由（1）知平面，所以是在平面内投影，
所以，
所以是二面角的平面角，
由（1）知平面，所以是在平面内投影，
所以是直线与底面所成角，
所以
因为四边形是平行四边形，所以
又因为
所以，因为，所以.
故二面角的大小45°
说明：建立直角坐标系（2分），平面的法向量（1分），平面法向量（3分），答案（1分）。
21.（12分）【解答】（1）依题意，双曲线的左焦点为，
由双曲线定义知，的实轴长
因此
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
依题意，直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，
由，消去并整理得：，设，
则
而点，则，
因为，则有，即，同理，
所以，为定值.
（3）由（2）知，点，，，
因为，令，而函数在上单调递减，即，
因此，所以.
22.【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）设切点为，根据导数的几何意义和斜率公式可得，再构造函数，利用导数求出函数g（x）的值域，再分类讨论即可求出切线的条数和a的范围：
（3）根据函数的两个极值点分别为x_{1}，x_{2}，可得，不妨设，代入化简，则要证明，只要证再构造函数令，利用导数求出的范围，即可求出的范围.
【解答】解：（1）当时，∴
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
（2），显然原点不在曲线上，
设切点为，
∵，
∴
∴，
即，
显然，
∴
设
∴，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴当，即时，不存在切线；
当时，，此时不存在过原点的切线，
当或，即或时，有且仅有一条切线，
当，即时，存在两条切线；
综上所述：时，不存在切线，或时，有且仅有一条切线，时，存在两条切线.
（3）
∴
∵，是函数的两个极值点，
∴，是方程的两个正根.
∴，即
不妨设，
则，
∴，
要证明
只要证
即证
令
∴
∴在上单调递增，且，
∴，
∴，
∴.