2022-2023学年苏科版七年级下册数学第十章二元一次方程组单元检测卷（含解析）

第十章二元一次方程组单元检测卷
(满分： 100分 考试时间：120分钟)
一、单选题（每题3分，共30分）
1．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程组，错误的解法是（ ）
A．先将①变形为，再代入② B．先将①变形为，再代入②
C．将，消去 D．将，消去
3．若是关于、的二元一次方程，则的值是（ ）．
A．1 B．任何数 C． D．
4．若是方程mx+ny=5的一个解，则m+2n等于（ ）．
A．5 B．10 C．12 D．-5
5．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
6．某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x辆车，共有y名学生．则根据题意列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知如果x与y互为相反数，那么（ ）
A．k＝0 B．k＝－ C．k＝－ D．k＝
8．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（每题3分，共30分）
11．已知是方程kx﹣y＝2的解，那么k＝_____．
12．方程组的解是______．
13．已知方程，用含的代数式表示，则__________．
14．二元一次方程的正整数解共有_________个．
15．若和都是方程的解，则_______．
16．关于x、y二元一次方程组的解满足，则k的值为______．
17．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
18．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②当时x，y的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；其中正确的个数是_____（填序号）．
19．某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为____．
20．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图：将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图二，则这9个数的和为______．
三、解答题（共40分）
21．若关于的方程与有相同的解，求的值．
已知方程组的解满足，求m的取值范围．
23． 已知关于x,y的方程组的解是正数
（1）求a的取值范围
（2）化简：|4a+5|-|a-4|
某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利2200元其中甲种商品每件进价60元，售价70元；乙种商品每件进价50元，售价65元．求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
25．甲、乙、丙三人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，甲、乙两人购买的数量及总价分别如表：
甲 乙
笔记本（本） 20 15
钢笔（支） 12 25
总价（元） 312 330
（1）求笔记本和钢笔的单价；
（2）丙购买24本笔记本和若干支钢笔共花去526元，甲发现丙的总价算错了，请通过计算加以说明．
26．某公司决定从甲、乙、丙三个工厂共购买100件同种产品A．计划从丙厂购买的产品数量是从甲厂购买的产品数量的2倍；从丙厂购买的产品数量的与从甲厂购买的产品数量之和，刚好等于从乙厂购买的产品数量．
（1）求该公司从三个工厂各应购买多少件产品A；
（2）已知这三个工厂生产的产品A的优品率分别为甲：，乙：，丙，求快乐公司所购买的100件产品A的优品率（优品率优品数÷总数）；
（3）在第（2）题的基础上，你认为该公司在购买总数100件不变的情况下，能否通过改变计划，调整从三个工厂购买产品A的数量，使购买产品A的优品率上升．若能，请求出所有可能的购买方案；若不能，请说明理由（各厂购买的优品件数是整数且三个公司都要有购买）．
27．放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本．这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠．小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元．
（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元
（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢 请通过计算说明．
28．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
参考答案：
1．D
【分析】利用加减消元法或代入消元法解此二元一次方程组，即可得出结论．
【详解】解：，
②-①得，，
∴，
把代入②中得，
∴方程组的解为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法或代入消元法解二元一次方程组是解题的关键 ．
2．A
【详解】将①变形为，再代入②，故A错，B正确；
故选A.
3．C
【分析】利用二元一次方程的定义列式求解即可．
【详解】解：∵是关于、的二元一次方程，
∴且，
∴，
故选C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
4．A
【分析】将代入方程mx+ny=5求解即可．
【详解】∵是方程mx+ny=5的一个解，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的含义．
5．A
【分析】等量关系为：生产镜片工人数量+生产镜架工人数量=60，镜片数量=2×镜架数量，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，
由题意，得
故选：A．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．
6．B
【详解】试题分析：设计划租用x辆车，共有y名学生，根据如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，列方程组即可．
解：设计划租用x辆车，共有y名学生，
由题意得，．
故选B．
7．C
【分析】先通过解二元一次方程组，用含k的代数式表示出x，y的值后，再代入，建立关于k的方程而求解的．
【详解】，
∴，
与y互为相反数，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了含参二元一次方程组的解法，解题的关键是用含k的代数式表示出x，y的值.解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，消元的方法有加减消元法和代入消元法两种.
8．A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
9．D
【分析】①将代入，得到方程组，求解即可做出判断；②解方程组得：，把，代入，即可做出判断；③解方程组得：，根据为整数即可作出判断．
【详解】解：当时，方程组为，此时方程组无解；故①正确；
解方程组得：，
把，代入，方程左右两边相等，故②正确；
解方程组得：，
又为整数，若是整数，则，，2，，1，此时不是整数，
、不能均为整数，故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
10．B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形边长为：，
设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
小长方形的长为，宽为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．1
【分析】根据二元一次方程的解的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，3k﹣1＝2，
解得，k＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
12．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：，
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
13．
【分析】把y看做已知数表示出x即可．
【详解】解：，
移项得：，
系数化为1得：．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．3
【分析】由于二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数y=1代入，算出对应的x的值，再把y=2代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．
【详解】解：∵x+3y=10，
∴x=10-3y，
∵x、y都是正整数，
∴y=1时，x=7；
y=2时，x=4；
y=3时，x=1．
∴二元一次方程x+3y=10的正整数解共有3对．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
15．3
【分析】将和代入方程，得到关于m、n的方程组，求出方程组的解代入即可求出结果．
【详解】解：∵和都是方程的解，
∴，
解得，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的代入求值，正确计算是解题的关键．
16．8
【分析】转化方程组，求得解后，代入求值即可．
【详解】∵，
解得，
∴，
∴k=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练构造新方程组是解题的关键．
17．6．
【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，
∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，
则10x+9y+6z＝108，
∴x＝＝，
∵0＜x＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，
当z＝7时，y＝4，x＝3，
当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，
当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴6﹣2z＝3，
∴z＝（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
18．①②③
【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．
【详解】解：，
①-②得：4y=4-4a，
即y=1-a，
把y=1-a代入②得：x=2a+1，
当x=5，即2a+1=5时，a=2，此时y=-1，选项①正确；
假设x与y互为相反数，2a+1+1-a=0，
解得a=-2，选项②正确；
当a=1时，x=3，y=0，此时也是方程x+y=4-a的解，选项③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，将a看作常数，利用加减消元求出x，y的值时解本题的关键．
19．
【分析】根据三种糖果的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量和单价分别为2x、x、x；y、3y、4y，则10月份X、Y、C三种糖果的销售额比为2：3：4．因问题中涉及到X的10月销售数量，因此可以设11月份X增加的营业额为7x，则11月份总增加的营业额为15x；再根据X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，建立等式，求出x．可以根据十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3算出十一月份C种糖果增加的营业额即可求解．
【详解】解：设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，
∴10月份X、Y、C三种糖果的销售额分别为2xy，3xy，4xy；
∵X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，
∴设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z；
又X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，
∴（2xy +）：（9xy+z）=3：8，解得z=15xy，
∴十一月份X种糖果的营业额为9xy，三种糖果总营业额为24xy，
∴Y，C两种糖果的营业额之和为15xy，
若十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3，
则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy；
∴C种糖果增加的营业额为9xy-4xy=5xy，
∴十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为5xy：24xy=5:24．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
20．54
【分析】根据题意，先分析出第一行第一个数和第三行第一个数，即可进行解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
，
，
．
∵，
∴，
解得：，
∴第一列的和为：，
∴这9个数的和为：，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意设出未知数求解．
21．
【分析】根据题意得关于x、m的二元一次方程组，解方程组即可；
【详解】解：依题意得，
解得
∴．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意得方程组并正确求解是解题的关键．
22．m＜-3
【分析】通过加减，建立方程组和不等式的联系，而后解答．
【详解】解：，
①+②得：2x=2m-6，
解得：x=m-3，代入①，
解得：y=-2m-4，
∴x-2y=5m+5＜-10，
解得：m＜-3．
【点睛】本题是方程组与不等式的综合题目，考查了方程组与不等式的解法．
23．（1）-1（2）当－1【分析】（1）先把a看作已知，解方程组可得x、y关于a的代数式，再由方程组的解为正数可得关于a的不等式组，解之即得答案；
（2）根据（1）题的a的范围可判断绝对值里面的代数式的符号，再化简即可.
【详解】解：（1），
①+②得，2x=8a+8，
所以x=4a+4，
②－①得，2y=－2a+10，所以y=－a+5；
所以方程组的解是.
因为原方程组的解是正数，
所以，
解得；
（2）当－10，a－4≤0，
所以；
当40，a－4>0，
所以.
所以当－1原式=5a+1；
当4原式=3a+9.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键.
24．该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件．
【分析】设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据总进价＝每件的进价×购进数量结合总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件．
【点睛】根据题意列方程式，注意计算的准确性．
25．（1）笔记本的单价为12元，钢笔的单价为6元．（2）说明见解析．
【详解】试题分析：（1）可设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，根据等量关系：①买20本笔记本和12支钢笔共花去312元；②买12本笔记本和25支钢笔共花去330元；列出方程组求解即可；
（2）先根据错误的总价求出买钢笔的总钱数为238元，再根据数量=总价÷单价，求出钢笔的支数，再根据钢笔的支数是整数即可作出判断．
试题解析：（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，
依题意可知：，
解得．
答：笔记本的单价为12元，钢笔的单价为6元．
（2）526-24×12=238（元），
所以买钢笔的总钱数为238元，
所以钢笔的支数=238÷6=39，
这与钢笔支数为整数不符合，
故总价算错了．
考点：二元一次方程组的应用．
26．（1）甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40；（2）86%；（3）见解析
【分析】（1）根据题意所述的两个等量关系列出方程组，解出即可得出答案；
（2）先求出优品数量，然后除以100即可得出优品率；
（3）设从甲厂购买件，从乙厂购买件，则从丙厂购买件，根据优品的数量不变，可得出方程，解出即可．
【详解】解：（1）设从甲厂购买x件产品A，从乙厂购买y件产品A，
由题意得：，
解得：，
所以从甲、乙、丙购买的数量分别为20、40、40，
（2）优品量率为．
（3）设从甲厂购买件，从乙厂购买件，则从丙厂购买件，
，
化简得：
因为各厂购买的优品件数是整数，所以，要是整数，
所以当时，符合；则从甲购20件，乙购0件，丙购80件；
当时，符合；则从甲购10件，乙购20件，丙购70件；
当时，符合；则从甲购0件，乙购40件，丙购60件；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用性题目，一定要仔细审题，找到等量关系，然后运用方程思想进行解答．
27．（1）一支笔芯3元，一本笔记本6元；（2）小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品．
【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可；
（2）若想省钱，需合着买，计算两人合着买花的钱和原来所花的钱比较即可得出结论．
【详解】解：（1）若单独购买，设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据题意，可得
，解得 ，
所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元；
（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，
两人合起来，需要支付的总价钱为：
（元），
小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为3.8元；
小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为4.2元；
所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．能读懂题意中的等量关系，列出方程组是解题关键．
28．(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．