第四章 因式分解同步练习（含解析）北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册 第四章 因式分解
一、单选题
1．在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
5．多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （　　）
A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1
C．a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2
7．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
8．已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式的值是（　　）
A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．大小不确定
9．下列多项式中，能因式分解得到（x+y）(x﹣y)的是（　　）
A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．﹣x2﹣y2 D．-x2+y2
10．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式：4a2b﹣b＝　 　．
12．已知a－b=2，ab=1，则a2b－ab2的值为　 　．
13．分解因式：　 　．
14．如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是　 　．
三、计算题
15．因式分解：.
16．分解因式：
四、解答题
17．因式分解：
18．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了a，分解结果为，乙看错了b，分解结果为．求多项式分解因式的正确结果．
19．先化简再求值：，其中．
20．已知a+b＝，ab＝﹣，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3.
五、综合题
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.
解：设，
原式
回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果　 　；
（2）以上方法叫做“换元法”.请你模仿以上方法对进行因式分解.
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是　 　．
（2）若分解，则结果是　 　．
（3）依照上述方法分解因式：（n为正整数）．
23．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）用含，的代数式表示中能使用的面积　 　；
（2）若，，求比多出的使用面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B．选项的右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
C．选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D．选项的右边是整式积的形式，是因式分解，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，属于整式乘法，故本选项不符合题意；
B、 ，不属于因数分解，故本选项不符合题意；
C、 ，不属于因数分解，故本选项不符合题意；
D、，属于因数分解，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】A、分解不正确，应为p2-4=（p+2）（p-2），故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、分解不正确，应为-x2+3x=-x（x-3），故本选项错误；
D、x2+2x+1=（x+1）2是因式分解，正确.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：在多项式中，系数4、6的最大公约数为2，相同字母的最低次幂是，所以多项式的公因式是．
故答案为：D．
【分析】利用公因式的定义求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫因式分解，根据因式分解的定义分别进行判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
＝10，
＝10，
∵a+b+c＝5，
∴＝10，
解得a+b﹣c＝2.
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式及平方差公式分解可得=10，据此即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三角形的边长，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系可得a+c＞b，a-b＜c，则a+c-b＞0，a-b-c＜0，进而利用平方差公式将所给代数式分解因式，最后根据有理数的乘法法则可判断其正负.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-y2=（x+y）（x-y），符合题意；
C、-x2-y2，无法分解因式，故此选项不符合题意；
D、-x2+y2=-（x+y）（x-y），故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如下图：
，
故答案为：C．
【分析】利用图形列出算式即可得到答案。
11．【答案】b（2a+1）（2a﹣1）
【解析】【解答】解： 4a2b﹣b＝ b（4a2-1）=b（2a+1）（2a-1）.
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）.
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵a－b=2，ab=1，
∴a2b－ab2=ab（a-b）=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】先把原式提公因式变形为ab（a-b），再代入进行计算，即可得出答案.
13．【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】2或4
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
15．【答案】解：
.
【解析】【分析】首先提取公因式2y，然后利用平方差公式分解即可.
16．【答案】解：原式=
=
=
【解析】【分析】先展开并合并同类项，再利用完全平方公式因式分解即可。
17．【答案】解：
=
=
【解析】【分析】根据提取公因式法和平方差公式即可求解．
18．【答案】解：∵，甲看错了的值，
∴，
又∵，乙看错了的值，
∴，
∴多项式．
故答案为：．
【解析】【分析】先根据甲的结果求出b的值，再根据乙的结果求出a的值，最后利用十字相乘法因式分解即可。
19．【答案】解：
当时，．
【解析】【分析】通过因式分解进行化简，最后代入求值
20．【答案】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
∵a+b＝，ab＝﹣，
∴原式＝﹣×（）2＝.
【解析】【分析】对待求式先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得ab(a+b)2，然后将已知条件代入进行计算.
21．【答案】（1）不彻底；
（2）解：设，
，
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴该同学因式分解的结果不彻底，
故答案为：不彻底，；
【分析】（1）由于x2-4x+4还可以利用完全平方公式法分解，据此即可作答；
（2）设x2-2x=y，首先用y替换原式中的x2-2x，进而整理成二次三项式的一般形式，接着利用完全平方公式分解因式，进而用x2-2x替换y，再将底数x2-2x+1利用完全平方公式分解即可.
22．【答案】（1）提公因式法
（2）（x+1）2022
（3）解：按照上面规律，可知：
（n为正整数）
=
【解析】【解答】解：（1）
上述分解因式的方法是提公因式法．
故答案为：提公因式法
（2）
则需应用上述方法2021次，结果是
故答案为：；
【分析】（1）利用提公因式的方法求解即可；
（2）根据题干中的计算方法可得答案；
（3）根据题干中的计算方法可得规律。
23．【答案】（1）
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
【解析】【解答】（1）解： 中能使用的面积为 ，
故答案为： ．
【分析】（1）利用边长为a的正方形的面积减去M，列式即可.
（2）利用边长为b的正方形的面积减去M，可表示出B的面积；再列式可得到A的面积-B的面积，列式计算，然后将其转化为（a+b）（a-b），整体代入求值.