19.4解直角三角形[下学期]
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课件37张PPT。第19章 解直角三角形锦城三中： 林 虎 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材从工作和生活中经常遇到的测量（§19.1）入手，联系相似三角形的有关知识，给学生创设学习情境，提出本章的研究课题.接着研究直角三角形三边之间的关系——勾股定理（§19.2）和直角三角形中边与角的关系——锐角三角函数（§19.3），最后一节是解直角三角形（§19.4），运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决一些简单的实际问题. 教材分析 锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是学习三角形的基础。因此，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等三角知识。同时，解直角三角形的知识既可广泛应用于测量等问题，也有利于培养我们数形结合的思想。因此，应针对性地加强学习，做到切实掌握。 本章的学习重点是勾股定理、锐角三角函数和直角三角形的解法，特殊的三角函数值也很重要，应该牢牢记住。锐角三角函数的概念是本章的难点也是学好本章的关键。说它是难点，是因为我们首次接触以角度为自变量的三角函数，初学不易理解；说它关键是因为只有三角形中边与角之间的关系以及运用这些关系解直角三角形，也只有掌握直角三角形的这些关系，才能用之解决一些实际问题。 本章特点 1．在呈现方式上，突出实践性与研究性．
2．突出学数学、用数学的意识与过程．勾股定理和三角函数的应用尽量都和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．
3．对实际问题的选取，注意联系学生的生活实际．
4．注意扩大学生的知识面．
5．注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重．
6．重视计算器的使用． 本章的教学时间大约需要13课时，建议分配如下：
§19.1 测量-----------------1课时
§19.2 勾股定理-------------2课时
§19.3 锐角三角函数---------2课时
§19.4 解直角三角形---------4课时
复习------------------------2课时
课题学习--------------------2课时
课时安排§19.1 测量 教学目的 1．了解和感受测量物体的高度是现实生活中经常遇到的问题。
2．经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力． 教学建议 1．本课时实际上是作为本章内容学习的一个引子，所以本课时的学习，应该以介绍性质为主。测量旗杆的高度方法比较多，课本例举了两种不同的方法，以第一种反复法来复习相似三角形的有关知识，以第二种方法来引出三角函数。在课堂教学中，可以不必拘泥于此，可以让学生想更多的办法来测量。 2．由于是测旗杆，所以有一种非常简单的方法，就是利用国旗来进行测量：把国旗升到顶时，绳子到底部的地方作好记号，然后把国旗放下来，量出记号到国旗顶端的绳子处的绳子长度，就可以知道旗杆的高度了。测量旗杆的最大难度在于没有办法爬到旗杆顶上去。而课本中的方法也解决了这个问题，它的思路是爬不上去，就想法子把它缩小，使我们不必爬上去。不同的思路引出不同的反复法，要向学生说明这一点。 3．本课时的教学活动中，存在着一个契机。当教师提出问题“如何测量旗杆的高度”时，有学生往往会说“把旗杆横下来一量”。——这是个契机。三角函数的一个作用就是把竖的变成横的，把不可测的变成可测的，这也是课本例举的第二中方法的思路所在。 §19.2 勾股定理（第一课时） 教学目的 1．经历探索勾股定理及验证定理的过程，发展合情合理推理能力，体会数形结合的思想。
2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单的实际问题．
3．了解勾股定理悠久的历史，重大意义和古代人民的聪明才智，体会勾股定理的文化价值。教学建议 1．数学史的发展与人的思维发展有着一种惊人的相似性，勾股定理作为几何学中最古老的重要定理之一，被人理解和接受应当是相对容易的。本课时的教学，一方面可以重现古人对勾股定理的探索、发现过程，另一方面应当适当地穿插数学史，特别是中国古代数学史的内容。
2．勾股定理的证明方法非常多，常见的比较简捷的方法是利用面积法来证明，本课时不宜对证明作过多的时间逗留，应当把时间放在应用上。3．本课时的教学设计，情景建立——探索、讨论——形成结论、语言表述——勾股史话——例题应用——练习——小结。 §19.2 勾股定理（第二课时） 教学目的 1．证明勾股定理。
2．感受勾股定理证明方法的多样性。
3．比较熟练地应用勾股定理来解决一些简单实际问题。 教学建议 1．由于有了上一课时的铺垫，本课时中对勾股定理的证明，学生容易找到思路。证明过程中，要强调思路的获得，要指出用计算方法来证明几何命题的优点。
2．上一课时中的证法，事实上可以由课本图19.2.6中的图形，从中间划开来得到，而课本“读一读”中的“弦图”，则是完全不一样的两种思路。 3．面积证法的获得，事实上可以由公式（a+b）2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2来反演得到。
4．除了面积证法以外，用相似三角形的知识也可以证明勾股定理
5．勾股定理的应用及运算技巧，需要多花时间。 §19.3 锐角三角函数（第一课时） 教学目的 1．通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA、tanA、cotA)的概念。
2．知道30°、45°、60°角的三角函数值。
3．会利用直角三角形求出锐角的三角函数值。 教学建议 1．锐角三角函数的引入是由相似三角形开始的，而相似三角形不仅仅只有直角三角形，选取直角三角形是因为更容易研究。
2．锐角三角函数的研究离不开直角三角形有关，可以说初中前段的有关题目，十有八九跟直角三角形有关，所以必须强调这一点，并要根据字面意思搞清一只角的对边、邻边以及斜边之间的关系。3．根据相似三角形得到三角函数定义之后，可以根据英语原词的音标给出锐角三角函数的读法。我们读书时，三角函数的读法是由老师口口相传的，所以谬误很多，直到现在还改不过来。所以读法一定要规范。
4．根据锐角三角函数的定义，我们马上可以得到它们的取值范围。应当把正切和余切取值范围的数学表达式tanA>0,cotA>0也告诉学生。 5．300角的四个三角函数值，可以让学生通过对等边三角形的思考来得到，同时得到600角的四个三角函数，然后再介绍450角的四个三角函数值，最后填表。在要求学生记忆的过程中，要求学生把有关的两个直角三角形记牢，并记住三边之比。 §19.3 锐角三角函数（第二课时） 教学目的 1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值。
2．会使用计算器由已知三角函数值求它对应的锐角． 教学建议 1．本课时讲解时要先复习锐角三角函数的定义，要再次确认三角函数的值是确定的，是个实数。
2．对同角三角函数之间的关系式tanαcotα=1,要有一定量的训练量。
3．在上一课时中，我们已经提及到了锐角三角函数的增减性，在这一课时中，我们仍然可以进一步揭示这种增减性。 4．本课时的内容很清楚地分成两个部分，第一部分相对简单，第二部分则优点难度，尤其在求角时，涉及到一个角的近似值的取得在这里平常的“四舍五入”是行不通的。因为它要求精确到1′，而由秒到分的进制是60，不是10，所以相对应地，不到30″则舍去，等于或超过30″，就往上进1′。 §19.4 解直角三角形（第一课时） 教学目的 1．能初步运用直角三角形中的边、角关系解决一些简单的实际问题。
2．理解直角三角形中边角、边边关系，并能利用已知条件，求出直角三角形中未知的边角量。 教学建议 1．在本课时讲解之前，应先复习直角三角形的有关边角关系的运算。勾股定理在已知两条边的情况下，可以求出第三条边，而锐角三角函数则是边角之间进行的运算。
2．在正式讲解之前，可以先对直角三角函数进行一些简单的变式训练。学生在一些简单的变式练习后，将获得在解直角三角形时第一手的感性知识，此时教师不必进行系统的总结。 3．三角形的边、角共有6个量，直角三角形中至少知道一个角为直角，还留有5个量，这5个量中，至少要知道一条边的长度，然后再加一个条件（边或角），把其余3个未知量求解出来，就是解直角三角形。
4．在解直角三角形的过程中，会有较多的近似运算，再注意提醒学生，在能够利用原始数据的时候，一定要尽量利用原始数据。
5．在运算过程中，还有一个原则就是能用乘就不用除。 §19.4 解直角三角形（第二课时） 教学目的 1．了解仰角、俯角的概念。
2．能运用直角三角形的边、角关系解决一些简单的实际问题。 教学建议 1．在新课之前，应先复习前一课时中的解直角三角形的内容，师生共同复习，回顾如何利用直角三角形中的已知量求未知量，回顾近似计算中的两个原则。
2．在有关仰角和俯角的教学中，要注意仰角和俯角都是视线和水平线的夹角，尤其是俯角，学生容易想当然理解为视线与铅垂线的夹角，要提醒学生。
3．本课时的内容相对较少，要有适当补充。 §19.4 解直角三角形（第三课时） 教学目的 1．了解坡面的坡度的感念。
2．能应用坡度概念，结合解直角 三角形的知识解决一些简单的实际应用问题。
3．熟练掌握解直角三角形。 1．本课时坡面的坡度，主要是应用在实际计算中的，其几何模型常常是一个梯形。事实上，本课时主要解决了一个解梯形的问题。
2．梯形的解法，主要是要添出两条高线，从而出现直角三角形，或者说，是把梯形分割成两个直角三角形再加上一个矩形。 教学建议 3．坡面的坡角的正切和坡面的坡度值是相等的，要学生理解“坡度越大，坡角α越大”这一点，就要做好三角函数的增减性的复习。
4．课本例题中辅助线的添加仍然是实践，要向学生说明，辅助线的添加往往是虚线，要养成良好习惯。
5．本课时要适当的例题补充。 课题学习
该课题是对第18章和19章的小结。通过这两章的学习，对一个测量问题，学生一般可以有几种不同的方法来解决，但在实际问题中，由于条件的限制，常常需要寻找一个切实可行的方法。正是基于这一点，安排了这一个课题学习。在研究的过程中，教师应让学生充分发表意见，让学生自己去体会各种方法的优劣，而不能简单地把自己的评判标准强加给学生。选择生活中的实际问题，评价学生用
数学的意识
利用适量的开放题，评价学生的思维
水平
通过写读后感，评价学生对数学的认识
开展小组活动，评价学生的合作能力
提供成果展示机会，评价学生的交流能
力及学习数学的自信心
评价建议谢 谢国家实验区评价改革的一些举措
1.试卷形式注意趣味性、教育性
填空题——耐心填一填
选择题——精心选一选
计算题——细心算一算
解答题——用心想一想
2.试题注意贴近学生的生活实际
例：足球世界杯，四个队一个组，进行两两循环赛，取积分前两名进入16强。每个组有几场比赛？一个队积分6分，一定能出线吗？为什么？
3.试题注意开放性
①给出问题情境，让学生自己编题
②答案不惟一，富有挑战性和探索性
4.注意考查学生的情感和情绪体验.
如：①你最想给你的数学老师提出的建议是-----
②在本期的数学活动中，你感触最深的是-------
5.增加了开卷部分（课题研究）或制作部分（动手）
2．突出学数学、用数学的意识与过程．勾股定理和三角函数的应用尽量都和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．
3．对实际问题的选取，注意联系学生的生活实际．
4．注意扩大学生的知识面．
5．注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重．
6．重视计算器的使用． 本章的教学时间大约需要13课时，建议分配如下：
§19.1 测量-----------------1课时
§19.2 勾股定理-------------2课时
§19.3 锐角三角函数---------2课时
§19.4 解直角三角形---------4课时
复习------------------------2课时
课题学习--------------------2课时
课时安排§19.1 测量 教学目的 1．了解和感受测量物体的高度是现实生活中经常遇到的问题。
2．经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力． 教学建议 1．本课时实际上是作为本章内容学习的一个引子，所以本课时的学习，应该以介绍性质为主。测量旗杆的高度方法比较多，课本例举了两种不同的方法，以第一种反复法来复习相似三角形的有关知识，以第二种方法来引出三角函数。在课堂教学中，可以不必拘泥于此，可以让学生想更多的办法来测量。 2．由于是测旗杆，所以有一种非常简单的方法，就是利用国旗来进行测量：把国旗升到顶时，绳子到底部的地方作好记号，然后把国旗放下来，量出记号到国旗顶端的绳子处的绳子长度，就可以知道旗杆的高度了。测量旗杆的最大难度在于没有办法爬到旗杆顶上去。而课本中的方法也解决了这个问题，它的思路是爬不上去，就想法子把它缩小，使我们不必爬上去。不同的思路引出不同的反复法，要向学生说明这一点。 3．本课时的教学活动中，存在着一个契机。当教师提出问题“如何测量旗杆的高度”时，有学生往往会说“把旗杆横下来一量”。——这是个契机。三角函数的一个作用就是把竖的变成横的，把不可测的变成可测的，这也是课本例举的第二中方法的思路所在。 §19.2 勾股定理（第一课时） 教学目的 1．经历探索勾股定理及验证定理的过程，发展合情合理推理能力，体会数形结合的思想。
2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单的实际问题．
3．了解勾股定理悠久的历史，重大意义和古代人民的聪明才智，体会勾股定理的文化价值。教学建议 1．数学史的发展与人的思维发展有着一种惊人的相似性，勾股定理作为几何学中最古老的重要定理之一，被人理解和接受应当是相对容易的。本课时的教学，一方面可以重现古人对勾股定理的探索、发现过程，另一方面应当适当地穿插数学史，特别是中国古代数学史的内容。
2．勾股定理的证明方法非常多，常见的比较简捷的方法是利用面积法来证明，本课时不宜对证明作过多的时间逗留，应当把时间放在应用上。3．本课时的教学设计，情景建立——探索、讨论——形成结论、语言表述——勾股史话——例题应用——练习——小结。 §19.2 勾股定理（第二课时） 教学目的 1．证明勾股定理。
2．感受勾股定理证明方法的多样性。
3．比较熟练地应用勾股定理来解决一些简单实际问题。 教学建议 1．由于有了上一课时的铺垫，本课时中对勾股定理的证明，学生容易找到思路。证明过程中，要强调思路的获得，要指出用计算方法来证明几何命题的优点。
2．上一课时中的证法，事实上可以由课本图19.2.6中的图形，从中间划开来得到，而课本“读一读”中的“弦图”，则是完全不一样的两种思路。 3．面积证法的获得，事实上可以由公式（a+b）2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2来反演得到。
4．除了面积证法以外，用相似三角形的知识也可以证明勾股定理
5．勾股定理的应用及运算技巧，需要多花时间。 §19.3 锐角三角函数（第一课时） 教学目的 1．通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA、tanA、cotA)的概念。
2．知道30°、45°、60°角的三角函数值。
3．会利用直角三角形求出锐角的三角函数值。 教学建议 1．锐角三角函数的引入是由相似三角形开始的，而相似三角形不仅仅只有直角三角形，选取直角三角形是因为更容易研究。
2．锐角三角函数的研究离不开直角三角形有关，可以说初中前段的有关题目，十有八九跟直角三角形有关，所以必须强调这一点，并要根据字面意思搞清一只角的对边、邻边以及斜边之间的关系。3．根据相似三角形得到三角函数定义之后，可以根据英语原词的音标给出锐角三角函数的读法。我们读书时，三角函数的读法是由老师口口相传的，所以谬误很多，直到现在还改不过来。所以读法一定要规范。
4．根据锐角三角函数的定义，我们马上可以得到它们的取值范围。应当把正切和余切取值范围的数学表达式tanA>0,cotA>0也告诉学生。 5．300角的四个三角函数值，可以让学生通过对等边三角形的思考来得到，同时得到600角的四个三角函数，然后再介绍450角的四个三角函数值，最后填表。在要求学生记忆的过程中，要求学生把有关的两个直角三角形记牢，并记住三边之比。 §19.3 锐角三角函数（第二课时） 教学目的 1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值。
2．会使用计算器由已知三角函数值求它对应的锐角． 教学建议 1．本课时讲解时要先复习锐角三角函数的定义，要再次确认三角函数的值是确定的，是个实数。
2．对同角三角函数之间的关系式tanαcotα=1,要有一定量的训练量。
3．在上一课时中，我们已经提及到了锐角三角函数的增减性，在这一课时中，我们仍然可以进一步揭示这种增减性。 4．本课时的内容很清楚地分成两个部分，第一部分相对简单，第二部分则优点难度，尤其在求角时，涉及到一个角的近似值的取得在这里平常的“四舍五入”是行不通的。因为它要求精确到1′，而由秒到分的进制是60，不是10，所以相对应地，不到30″则舍去，等于或超过30″，就往上进1′。 §19.4 解直角三角形（第一课时） 教学目的 1．能初步运用直角三角形中的边、角关系解决一些简单的实际问题。
2．理解直角三角形中边角、边边关系，并能利用已知条件，求出直角三角形中未知的边角量。 教学建议 1．在本课时讲解之前，应先复习直角三角形的有关边角关系的运算。勾股定理在已知两条边的情况下，可以求出第三条边，而锐角三角函数则是边角之间进行的运算。
2．在正式讲解之前，可以先对直角三角函数进行一些简单的变式训练。学生在一些简单的变式练习后，将获得在解直角三角形时第一手的感性知识，此时教师不必进行系统的总结。 3．三角形的边、角共有6个量，直角三角形中至少知道一个角为直角，还留有5个量，这5个量中，至少要知道一条边的长度，然后再加一个条件（边或角），把其余3个未知量求解出来，就是解直角三角形。
4．在解直角三角形的过程中，会有较多的近似运算，再注意提醒学生，在能够利用原始数据的时候，一定要尽量利用原始数据。
5．在运算过程中，还有一个原则就是能用乘就不用除。 §19.4 解直角三角形（第二课时） 教学目的 1．了解仰角、俯角的概念。
2．能运用直角三角形的边、角关系解决一些简单的实际问题。 教学建议 1．在新课之前，应先复习前一课时中的解直角三角形的内容，师生共同复习，回顾如何利用直角三角形中的已知量求未知量，回顾近似计算中的两个原则。
2．在有关仰角和俯角的教学中，要注意仰角和俯角都是视线和水平线的夹角，尤其是俯角，学生容易想当然理解为视线与铅垂线的夹角，要提醒学生。
3．本课时的内容相对较少，要有适当补充。 §19.4 解直角三角形（第三课时） 教学目的 1．了解坡面的坡度的感念。
2．能应用坡度概念，结合解直角 三角形的知识解决一些简单的实际应用问题。
3．熟练掌握解直角三角形。 1．本课时坡面的坡度，主要是应用在实际计算中的，其几何模型常常是一个梯形。事实上，本课时主要解决了一个解梯形的问题。
2．梯形的解法，主要是要添出两条高线，从而出现直角三角形，或者说，是把梯形分割成两个直角三角形再加上一个矩形。 教学建议 3．坡面的坡角的正切和坡面的坡度值是相等的，要学生理解“坡度越大，坡角α越大”这一点，就要做好三角函数的增减性的复习。
4．课本例题中辅助线的添加仍然是实践，要向学生说明，辅助线的添加往往是虚线，要养成良好习惯。
5．本课时要适当的例题补充。 课题学习
该课题是对第18章和19章的小结。通过这两章的学习，对一个测量问题，学生一般可以有几种不同的方法来解决，但在实际问题中，由于条件的限制，常常需要寻找一个切实可行的方法。正是基于这一点，安排了这一个课题学习。在研究的过程中，教师应让学生充分发表意见，让学生自己去体会各种方法的优劣，而不能简单地把自己的评判标准强加给学生。选择生活中的实际问题，评价学生用
数学的意识
利用适量的开放题，评价学生的思维
水平
通过写读后感，评价学生对数学的认识
开展小组活动，评价学生的合作能力
提供成果展示机会，评价学生的交流能
力及学习数学的自信心
评价建议谢 谢国家实验区评价改革的一些举措
1.试卷形式注意趣味性、教育性
填空题——耐心填一填
选择题——精心选一选
计算题——细心算一算
解答题——用心想一想
2.试题注意贴近学生的生活实际
例：足球世界杯，四个队一个组，进行两两循环赛，取积分前两名进入16强。每个组有几场比赛？一个队积分6分，一定能出线吗？为什么？
3.试题注意开放性
①给出问题情境，让学生自己编题
②答案不惟一，富有挑战性和探索性
4.注意考查学生的情感和情绪体验.
如：①你最想给你的数学老师提出的建议是-----
②在本期的数学活动中，你感触最深的是-------
5.增加了开卷部分（课题研究）或制作部分（动手）