人教版六年级上册 数与形 教案
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文档简介
《数与形》学历案
【主题与课时】
人教版六年级上册第八单元第一课《数与形》
【课标要求】
《义务教育数学课程标准（2022年版）》的“课程目标”部分，提出小学阶段11个核心素养的主要表现，“几何直观”便是其中之一。几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。在其内涵描述中，特别强调“根据语言描述画出相应的图形；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”。
【关键问题设计】
一、基于教材梳理明确关键问题
“数与形” 是人教版小学《数学》教材六年级上册第八单元“数学广角”的内容，本单元教材以“1+3+5+7+...+(2n-1)=n2 ”和“ + + + + + ...=1”,引导学生认识利用数与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。具体安排如下图：
从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层次。
一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。
二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2中，解决“ + + + + + ...”的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。
数形结合是研究“数式”与“图像”之间对应关系和转化关系，“以形助数”和“以数解形”是其内涵的两个基本维度。
教材例1呈现了三个图形、三个算式，引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，再把正方形图与下面的算式对照，寻找它们之间的关系，最后运用规律解决相应的问题。
这样的编排比较开放，给教师创造性地使用教材留下了空间：教学时可以由“形”到“数”，也可以由“数”到“形”，当然还可以二者同时呈现。但从思维含量上讲，三种情况是有明显区别的，笔者认为由“数”到“形” 难度最大，思维含量最高。因此，本课设计从数的规律进入，借助图形解释规律为主线展开。通过关键问题“在方格中画图表示1+3+5，怎样画图，能一眼看出和是多少？”把从1开始的连续奇数求和化繁为简开始探索。
二、基于学情分析敲定关键问题
数形结合思想是小学数学中最常见、应用最广泛的数学思想，学生对其并不陌生,在以前的学习中己经有所感悟，只不过是分散的、隐性的而己。从年龄特征和思维水平上讲，六年级的学生虽然仍处在直观形象思维向抽象思维的过渡阶段，但已经具备一定的抽象能力和探索能力。
为了更准确地了解到学生的知识储备、探究能力水平，笔者进行了前测调研。
前测对象为本校六年级三个班，共收到有效答卷132份。
【前测1：学生是否主动寻求数列与正方形图的联系】
前测分析：有近70%的学生能三道做全对，基本用等差数列的方法解决，而剩下30%的学生做错或不会的原因是等差数列公式不会或忘记了。从个别学生的访谈中感受到这部分学生对等差数列公式是知其然而不知其所以然。
【前测2：学生发散思维及知识沟通的能力。】
前测分析：从测试结果来看大约还有30%的学生只会用一种方法，约有30%的优生可以用三种方法；从答卷上看出绝大部分孩子很努力想用多种方法表达点子图，但都停留在拆数分解的方法上，本质上都属于5个5的思维模式。
从整体上看，六年级学生主动运用数形结合思想解决问题的意识还是比较欠缺。
三、基于学习活动细化关键问题
思考一：数与形结合的意义究竟是什么？
思考二：如何在活动中体会数与形的关系，感受优越性？
就本节课的等差数列而言，孩子可以利用以往计算的经验解决问题，为什么要学习“数与形”呢？如何凸显数形结合的优势？
笔者认为一组有规律的数可以表现为形，而形的直观性要起到解释规律的作用，也就是当我们要求解释“其中的道理”的时候，看数、看算式就无济于事了。
基于以上思考，我将《数与形》一课中的问题链层次设计如下图， 通过问题链层层递进，引导学生由浅入深地经历探究过程，从形上理解数的涵义，用数的规律解决形的问题，真实体验数形结合的优势，建立数形结合的数学思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，发展学生的高阶思维，从而起到优化解决问题途径的目的。
【学习目标】
经历探索规律的过程，发现算式中蕴藏的数学规律。
2.经历观察、验证、归纳等活动，感悟数形结合对解决问题的便捷性，进一步积累用数形结合解决问题的活动经验。
3. 体会数形结合的数学思想方法的价值，激发用数形结合解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
【评价任务】
1.完成任务一（检测目标 1）
2.完成任务二（检测目标 2）
3.完成任务三（检测目标 2、3）
4.完成任务四（检测目标 3）
5.完成检测与练习（检测目标 1、2、3）
【资源与建议】
1.学生对于“数与 形”的知识有着零散的学习经验，这些经验又是学习本课知识的重要经验基础。在课前可以安排让学生整理学过的“数与形”的知识，有利于学生从整体上回顾“数与形”的知识，也有利于学生对本课知识的学习。
2.本课的学习进程：计算挑战，激发兴趣——活动操作，发现规律 ——拓展延伸，沟通联系——课堂回顾，总结经历。
3.本课学习的重难点：
重点：经历探索规律的过程，通过观察、操作、归纳等活动在数与形之间建立联系，发现并运用规律进行计算。
难点：通过活动积累经验，提升用数形结合思想解决问题的能力。
【学习过程】
任务一：计算挑战，激发兴趣（检测目标 1）
1.师生PK赛
师：听说我们班的计算能力不错，现在来一场师生PK赛，你们敢接受挑战吗？
课件依次出示：
1+3+5+ 7+9=，1+3+5+7+......+17=，1+3+5+7+.....(20个连续奇数）=
预设：后面两题学生无法短时间计算出来，学生认为只有老师出题不公平。
请几位学生照样子出题，师生再次计算PK。
引发思考
思考①：老师的计算为什么这么快？
思考②：观察算式的特点，你有什么发现？
揭示课题
师：其实，老师刚刚看到这些算式、这些数时，脑中想到的是一些图形。将数和形相结合，就能很快地帮助我们找到答案。你们肯定很好奇，老师脑中想的是一个怎样的图形呢？这就是我们今天要研究的内容。（板书：数与形）
【设计意图： 在“计算挑战”中，问题从易到难，学生解答问题由快到慢。当已有的知识技能不能更好、更快地解决问题时，教师的“表演秀”就轻松地调动了学生的学习欲望，这时再介绍解决问题的新途径——数形结合，激发了学生学习的兴趣。】
任务二：活动操作，发现规律 （检测目标 2）
（一）活动一：在方格中画图表示“1+3+5”。
1.想一想：如果用1个小正方形来表示1，怎样画图，能一眼看出和是多少？
2.独立操作画图；（教师巡视并找出具有代表性的作品进行交流评价，如图1、2、3）。
（图1） (图2 ) (图3）
3.集体交流：观察同学的三种种不同方法。
思考①：每幅图的1，3，5分别在哪？
思考②：3幅图都能表达1+3+5的意思，你认为哪种画法能一眼看出和？
预设：方法3组成的图形是一个大正方形，很容易知道一共有3×3= 9个，9=32。
（学生交流反馈，随机板书算式：1+3+5=9=32）
思考③：你认为这个3是什么？（指生上台在算式和正方形里标注解释）
修正画图
思考①：这个正方形是怎样一层一层拼出来的？如果再包一层，想象一下图形。请大家画下来。（同时一学生上来用磁力片摆一摆）
思考②：现在拼了几层，最外层有几个小正方形？每层的形状像什么？（7字形）
（板书算式：1+3+5+7=16=42）
【设计意图：借助几何图形把复杂的数学问题变得直观、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果，通过摆一摆、画一画提高了学生的学习兴趣，让学生感受“形”的威力，将“数”与“形”有机地联系起来 。】
（二）数形沟通，发现规律
1.梳理思考：观察课件，刚才研究的3层、4层，如果一层一层剥离（2层，1层），算式怎么表达？
2.思考：观察图中的数和形，你有什么发现？
同桌交流，预设：
和就是正方形面积；
有几个数相加，和就是几的平方。
加数的个数就是正方形的边长；
这些数都是平方数。
集体交流小结：原来从1开始连续奇数相加的和是一个正方形数，也就是一个平方数。（板书：平方数（正方形数））。
3.概括规律：把自己发现的规律用一句话写一写。
小结板书：从1开始，连续奇数相加的和等于加数个数的平方。
（三）活动二：探究层数、最外层个数、总数的关系
1.师：有了刚才研究得到的规律，你能解决开始的那些计算问题吗？
预设：在不知道加数个数（正方形层数）时，还是有困难。
思考：正方形的层数、最外层的个数和总数有怎样的关系？
2.活动二：探究层数、最外层个数和总数之间的关系。
独立完成后，小组内交流自己的想法。
集体交流：借助图形说明自己发现的规律，
预设：展示不同层次，如包6层、包10层、包n 层；
梳理小结：包n层，最外层是（2n-1） 个小正方形，小正方形总数的算式是：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2。
【设计意图：从6层、10层...n层，探究规律从特殊到一般化，促进迁移应用，渗透符号化思想，拓展问题维度，进一步促进学生深度学习，有效提升学生素养。】
（四）问题解决
1.课前挑战题：说一说自己想象到的图形。
①1+3+5+ 7+9=（ ）；
②1+3+5+......+15+17=（ ）：
③1+3+5+7+..... =（ ）。
(20个连续奇数）
提升练习：先想象图形，再计算。
( )=82
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
（3）9+11+13+15+17=（ ）
学生练习单上完成，集体交流数形结合。
【设计意图：本节课的练习中既有基础训练，又有变式训练。教学中，教师有意识地追问学生“脑中有图吗？”“脑中有什么样的图？”，学生脑海中的图形也渐渐地随着数的变化而发生变化。由1个正方形，到出现2个组合的正方形，再到有空缺的正方形……学生在这样的练习中，将数与形紧密地结合在一起，有数就有形，形中能见数。】
任务三：拓展延伸，沟通联系（检测目标 1、2）
1.活动三：如何数点子？
出示 5×5 个小圆点，思考：今天我们从这样的角度构造，得到了 25=1+3+5+7+9 的算式。如何数点子 还能设计其他构造，用不同的式子表示吗？
学生思考后进行选择：
2．认识“形数”。
师：今天我们认识的这些数都是正方形数。
拓展认识:三角形数、五边形数、四面体数。
了解毕达哥拉斯的“形数”：我们把这样的有形状的数叫做形数，最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯 。
【设计思考：一个 5×5 的正方形点子图，从不同角度进行挖掘，拓展了思维，让学生感受数学的美。教学中在充分认识正方形数后，接着又让学生认识了三角形数、五边形数……渗透了数学文化。】
3.回忆：在以往的数学学习中，有没有印象深刻的数形结合的地方？
学生举例交流。
教师小结：在计算时，常借助形解释算理；解决问题中，常用形分析题意，理解数量关系；在找规律中，用数表示形或借助形去思考，像这样的例子还有很多。希望同学们今后碰到问题时，都能从数和形的角度一起思考。
任务四：课堂回顾，总结经历（检测目标 3）
师：静静地回顾这节课的学习，你还有什么新的问题？
最后在华罗庚先生的关于“数与形”的名言中结束课堂。
（出示：数缺形时少直观，形少数时难入微。）。
【设计意图：通过回顾总结并提出了自己的问题，让学生体会到“数”与“形 ” 的完美结合，通过“数”与“形”的对应关系，互相印证结果，通过华罗庚 名言让学生感受数学文化的魅力，引导学生力求做到见“数”思“形”，见“形”想“数”。】
【作业与检测】
1.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？★
照这样的规律画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？
你能解释其中的道理吗？
2.你能利用右面的图发现(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？
利用你所学的面积计算的知识，探索一下。★★
3.画图研究：2+4+6+8+10+12+14＝？ ★★★
【设计思考：本节课的作业设计了三个层次的探究题。从具体数表示到字母表示，渗透代数思想，和初中数学进行衔接。从正方形数拓展到长方形，打破了学生对数与形的认知局限，数形结合思想在学生的脑海中生根发芽，让学生对原有的概念认知赋予新的理解。 】
【学后反思】
本节课的学习目的不是单纯地理解某个知识点，或者硬性地提高某一类问题的解决能力，而是学生对数形结合思想有更深的感悟，今后数学学习能自觉应用。
一、寓数于形，建构模型
通过在方格里画图表示1+3+5的探究，学生对构造成正方形后可以用“平方”的方法来方便计算有了初步的体会，接着再让学生继续尝试画图计算1+3+5+7时，正方形的优越性就自然而然地体现出来了。放手让学生自主构造形，体会形虽然有多种，但数与形却一一对应，感受数与形之间的联系、发展与变化，学生体会到了“数中有形”，更加深入地感悟“形中有数”。
二、以形释数，沟通联系
在探索规律环节，教师引导学生从一个算式到一组算式，从一幅图到一组图，
通过观察算式和所对应图形之间的联系，尝试发现其中的规律。当想要计算出小正方形的个数时，通过计算正方形面积的方法就能很快地获得结果。原来，图形的直观性，在这里起着解释的作用，这就是几何直观的解释力，数形结合的意义在此得到了充分的发挥。
在小组不断分享的过程中引导学生梳理发现，逐步总结“从 1 加起，几个连续奇数的和就是几的平方”的规律。这样的学习，既有尝试和发现，又有验证和思考，学生在感知、观察、操作和解决问题的过程中逐步发现、认识并总结规律，有助于学生思维能力的充分提升。
数形互补，拓展思维
比如在 5×5 的小圆圈点阵图中，不同的构造可以表示成不同的加法算式，接着继续引导学生思考，如果不同的构造，可以表示出哪些形， 哪些数和形是相对的等等，在数和形关系的不断交流中，将学生的思考引向深入。
【主题与课时】
人教版六年级上册第八单元第一课《数与形》
【课标要求】
《义务教育数学课程标准（2022年版）》的“课程目标”部分，提出小学阶段11个核心素养的主要表现，“几何直观”便是其中之一。几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。在其内涵描述中，特别强调“根据语言描述画出相应的图形；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路”。
【关键问题设计】
一、基于教材梳理明确关键问题
“数与形” 是人教版小学《数学》教材六年级上册第八单元“数学广角”的内容，本单元教材以“1+3+5+7+...+(2n-1)=n2 ”和“ + + + + + ...=1”,引导学生认识利用数与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。具体安排如下图：
从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层次。
一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。
二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2中，解决“ + + + + + ...”的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。
数形结合是研究“数式”与“图像”之间对应关系和转化关系，“以形助数”和“以数解形”是其内涵的两个基本维度。
教材例1呈现了三个图形、三个算式，引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，再把正方形图与下面的算式对照，寻找它们之间的关系，最后运用规律解决相应的问题。
这样的编排比较开放，给教师创造性地使用教材留下了空间：教学时可以由“形”到“数”，也可以由“数”到“形”，当然还可以二者同时呈现。但从思维含量上讲，三种情况是有明显区别的，笔者认为由“数”到“形” 难度最大，思维含量最高。因此，本课设计从数的规律进入，借助图形解释规律为主线展开。通过关键问题“在方格中画图表示1+3+5，怎样画图，能一眼看出和是多少？”把从1开始的连续奇数求和化繁为简开始探索。
二、基于学情分析敲定关键问题
数形结合思想是小学数学中最常见、应用最广泛的数学思想，学生对其并不陌生,在以前的学习中己经有所感悟，只不过是分散的、隐性的而己。从年龄特征和思维水平上讲，六年级的学生虽然仍处在直观形象思维向抽象思维的过渡阶段，但已经具备一定的抽象能力和探索能力。
为了更准确地了解到学生的知识储备、探究能力水平，笔者进行了前测调研。
前测对象为本校六年级三个班，共收到有效答卷132份。
【前测1：学生是否主动寻求数列与正方形图的联系】
前测分析：有近70%的学生能三道做全对，基本用等差数列的方法解决，而剩下30%的学生做错或不会的原因是等差数列公式不会或忘记了。从个别学生的访谈中感受到这部分学生对等差数列公式是知其然而不知其所以然。
【前测2：学生发散思维及知识沟通的能力。】
前测分析：从测试结果来看大约还有30%的学生只会用一种方法，约有30%的优生可以用三种方法；从答卷上看出绝大部分孩子很努力想用多种方法表达点子图，但都停留在拆数分解的方法上，本质上都属于5个5的思维模式。
从整体上看，六年级学生主动运用数形结合思想解决问题的意识还是比较欠缺。
三、基于学习活动细化关键问题
思考一：数与形结合的意义究竟是什么？
思考二：如何在活动中体会数与形的关系，感受优越性？
就本节课的等差数列而言，孩子可以利用以往计算的经验解决问题，为什么要学习“数与形”呢？如何凸显数形结合的优势？
笔者认为一组有规律的数可以表现为形，而形的直观性要起到解释规律的作用，也就是当我们要求解释“其中的道理”的时候，看数、看算式就无济于事了。
基于以上思考，我将《数与形》一课中的问题链层次设计如下图， 通过问题链层层递进，引导学生由浅入深地经历探究过程，从形上理解数的涵义，用数的规律解决形的问题，真实体验数形结合的优势，建立数形结合的数学思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，发展学生的高阶思维，从而起到优化解决问题途径的目的。
【学习目标】
经历探索规律的过程，发现算式中蕴藏的数学规律。
2.经历观察、验证、归纳等活动，感悟数形结合对解决问题的便捷性，进一步积累用数形结合解决问题的活动经验。
3. 体会数形结合的数学思想方法的价值，激发用数形结合解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
【评价任务】
1.完成任务一（检测目标 1）
2.完成任务二（检测目标 2）
3.完成任务三（检测目标 2、3）
4.完成任务四（检测目标 3）
5.完成检测与练习（检测目标 1、2、3）
【资源与建议】
1.学生对于“数与 形”的知识有着零散的学习经验，这些经验又是学习本课知识的重要经验基础。在课前可以安排让学生整理学过的“数与形”的知识，有利于学生从整体上回顾“数与形”的知识，也有利于学生对本课知识的学习。
2.本课的学习进程：计算挑战，激发兴趣——活动操作，发现规律 ——拓展延伸，沟通联系——课堂回顾，总结经历。
3.本课学习的重难点：
重点：经历探索规律的过程，通过观察、操作、归纳等活动在数与形之间建立联系，发现并运用规律进行计算。
难点：通过活动积累经验，提升用数形结合思想解决问题的能力。
【学习过程】
任务一：计算挑战，激发兴趣（检测目标 1）
1.师生PK赛
师：听说我们班的计算能力不错，现在来一场师生PK赛，你们敢接受挑战吗？
课件依次出示：
1+3+5+ 7+9=，1+3+5+7+......+17=，1+3+5+7+.....(20个连续奇数）=
预设：后面两题学生无法短时间计算出来，学生认为只有老师出题不公平。
请几位学生照样子出题，师生再次计算PK。
引发思考
思考①：老师的计算为什么这么快？
思考②：观察算式的特点，你有什么发现？
揭示课题
师：其实，老师刚刚看到这些算式、这些数时，脑中想到的是一些图形。将数和形相结合，就能很快地帮助我们找到答案。你们肯定很好奇，老师脑中想的是一个怎样的图形呢？这就是我们今天要研究的内容。（板书：数与形）
【设计意图： 在“计算挑战”中，问题从易到难，学生解答问题由快到慢。当已有的知识技能不能更好、更快地解决问题时，教师的“表演秀”就轻松地调动了学生的学习欲望，这时再介绍解决问题的新途径——数形结合，激发了学生学习的兴趣。】
任务二：活动操作，发现规律 （检测目标 2）
（一）活动一：在方格中画图表示“1+3+5”。
1.想一想：如果用1个小正方形来表示1，怎样画图，能一眼看出和是多少？
2.独立操作画图；（教师巡视并找出具有代表性的作品进行交流评价，如图1、2、3）。
（图1） (图2 ) (图3）
3.集体交流：观察同学的三种种不同方法。
思考①：每幅图的1，3，5分别在哪？
思考②：3幅图都能表达1+3+5的意思，你认为哪种画法能一眼看出和？
预设：方法3组成的图形是一个大正方形，很容易知道一共有3×3= 9个，9=32。
（学生交流反馈，随机板书算式：1+3+5=9=32）
思考③：你认为这个3是什么？（指生上台在算式和正方形里标注解释）
修正画图
思考①：这个正方形是怎样一层一层拼出来的？如果再包一层，想象一下图形。请大家画下来。（同时一学生上来用磁力片摆一摆）
思考②：现在拼了几层，最外层有几个小正方形？每层的形状像什么？（7字形）
（板书算式：1+3+5+7=16=42）
【设计意图：借助几何图形把复杂的数学问题变得直观、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果，通过摆一摆、画一画提高了学生的学习兴趣，让学生感受“形”的威力，将“数”与“形”有机地联系起来 。】
（二）数形沟通，发现规律
1.梳理思考：观察课件，刚才研究的3层、4层，如果一层一层剥离（2层，1层），算式怎么表达？
2.思考：观察图中的数和形，你有什么发现？
同桌交流，预设：
和就是正方形面积；
有几个数相加，和就是几的平方。
加数的个数就是正方形的边长；
这些数都是平方数。
集体交流小结：原来从1开始连续奇数相加的和是一个正方形数，也就是一个平方数。（板书：平方数（正方形数））。
3.概括规律：把自己发现的规律用一句话写一写。
小结板书：从1开始，连续奇数相加的和等于加数个数的平方。
（三）活动二：探究层数、最外层个数、总数的关系
1.师：有了刚才研究得到的规律，你能解决开始的那些计算问题吗？
预设：在不知道加数个数（正方形层数）时，还是有困难。
思考：正方形的层数、最外层的个数和总数有怎样的关系？
2.活动二：探究层数、最外层个数和总数之间的关系。
独立完成后，小组内交流自己的想法。
集体交流：借助图形说明自己发现的规律，
预设：展示不同层次，如包6层、包10层、包n 层；
梳理小结：包n层，最外层是（2n-1） 个小正方形，小正方形总数的算式是：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2。
【设计意图：从6层、10层...n层，探究规律从特殊到一般化，促进迁移应用，渗透符号化思想，拓展问题维度，进一步促进学生深度学习，有效提升学生素养。】
（四）问题解决
1.课前挑战题：说一说自己想象到的图形。
①1+3+5+ 7+9=（ ）；
②1+3+5+......+15+17=（ ）：
③1+3+5+7+..... =（ ）。
(20个连续奇数）
提升练习：先想象图形，再计算。
( )=82
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）
（3）9+11+13+15+17=（ ）
学生练习单上完成，集体交流数形结合。
【设计意图：本节课的练习中既有基础训练，又有变式训练。教学中，教师有意识地追问学生“脑中有图吗？”“脑中有什么样的图？”，学生脑海中的图形也渐渐地随着数的变化而发生变化。由1个正方形，到出现2个组合的正方形，再到有空缺的正方形……学生在这样的练习中，将数与形紧密地结合在一起，有数就有形，形中能见数。】
任务三：拓展延伸，沟通联系（检测目标 1、2）
1.活动三：如何数点子？
出示 5×5 个小圆点，思考：今天我们从这样的角度构造，得到了 25=1+3+5+7+9 的算式。如何数点子 还能设计其他构造，用不同的式子表示吗？
学生思考后进行选择：
2．认识“形数”。
师：今天我们认识的这些数都是正方形数。
拓展认识:三角形数、五边形数、四面体数。
了解毕达哥拉斯的“形数”：我们把这样的有形状的数叫做形数，最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯 。
【设计思考：一个 5×5 的正方形点子图，从不同角度进行挖掘，拓展了思维，让学生感受数学的美。教学中在充分认识正方形数后，接着又让学生认识了三角形数、五边形数……渗透了数学文化。】
3.回忆：在以往的数学学习中，有没有印象深刻的数形结合的地方？
学生举例交流。
教师小结：在计算时，常借助形解释算理；解决问题中，常用形分析题意，理解数量关系；在找规律中，用数表示形或借助形去思考，像这样的例子还有很多。希望同学们今后碰到问题时，都能从数和形的角度一起思考。
任务四：课堂回顾，总结经历（检测目标 3）
师：静静地回顾这节课的学习，你还有什么新的问题？
最后在华罗庚先生的关于“数与形”的名言中结束课堂。
（出示：数缺形时少直观，形少数时难入微。）。
【设计意图：通过回顾总结并提出了自己的问题，让学生体会到“数”与“形 ” 的完美结合，通过“数”与“形”的对应关系，互相印证结果，通过华罗庚 名言让学生感受数学文化的魅力，引导学生力求做到见“数”思“形”，见“形”想“数”。】
【作业与检测】
1.下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？★
照这样的规律画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？
你能解释其中的道理吗？
2.你能利用右面的图发现(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？
利用你所学的面积计算的知识，探索一下。★★
3.画图研究：2+4+6+8+10+12+14＝？ ★★★
【设计思考：本节课的作业设计了三个层次的探究题。从具体数表示到字母表示，渗透代数思想，和初中数学进行衔接。从正方形数拓展到长方形，打破了学生对数与形的认知局限，数形结合思想在学生的脑海中生根发芽，让学生对原有的概念认知赋予新的理解。 】
【学后反思】
本节课的学习目的不是单纯地理解某个知识点，或者硬性地提高某一类问题的解决能力，而是学生对数形结合思想有更深的感悟，今后数学学习能自觉应用。
一、寓数于形，建构模型
通过在方格里画图表示1+3+5的探究，学生对构造成正方形后可以用“平方”的方法来方便计算有了初步的体会，接着再让学生继续尝试画图计算1+3+5+7时，正方形的优越性就自然而然地体现出来了。放手让学生自主构造形，体会形虽然有多种，但数与形却一一对应，感受数与形之间的联系、发展与变化，学生体会到了“数中有形”，更加深入地感悟“形中有数”。
二、以形释数，沟通联系
在探索规律环节，教师引导学生从一个算式到一组算式，从一幅图到一组图，
通过观察算式和所对应图形之间的联系，尝试发现其中的规律。当想要计算出小正方形的个数时，通过计算正方形面积的方法就能很快地获得结果。原来，图形的直观性，在这里起着解释的作用，这就是几何直观的解释力，数形结合的意义在此得到了充分的发挥。
在小组不断分享的过程中引导学生梳理发现，逐步总结“从 1 加起，几个连续奇数的和就是几的平方”的规律。这样的学习，既有尝试和发现，又有验证和思考，学生在感知、观察、操作和解决问题的过程中逐步发现、认识并总结规律，有助于学生思维能力的充分提升。
数形互补，拓展思维
比如在 5×5 的小圆圈点阵图中，不同的构造可以表示成不同的加法算式，接着继续引导学生思考，如果不同的构造，可以表示出哪些形， 哪些数和形是相对的等等，在数和形关系的不断交流中，将学生的思考引向深入。