解直角三角形[下学期]
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文档简介
§19.1 测量
【教学目标】
一、知识目标
1. 复习巩固相似三角形知识。
2. 回顾有关直角三角形的知识。
二、能力目标
1、通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。
2、在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。
三、情感态度目标
通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。
【重点难点】
重点：学生通过探究，概括出测量的一般方法。
难点：用不同的方法解决同一实际问题。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高．
【课时安排】1课时。
【教学过程】
1.情境导入
观察导图，并思考：
三角形是测量中经常用到的平面图形，我们已经知道直角三角形的哪些特征呢？
2、课前热身
根据观察的结果以前所学知识，请说出几个属于三角形性质的结论。
3、合作探究
（1）整体感知
利用多媒体演示直角三角形在现实生活中的广泛应用。
讨论应用太阳光线和其他器材测量旗杆高度的方法。
讨论应用太阳光线测量旗杆高度的方法。
鼓励学生运用自己设计的方法测量旗杆的高度。
（2）四边互动
互动1：
师：观察本章导图，它向我们展示了本章将学到的哪些内容？
生：学生讨论交流。
明确：本章告诉我们如何利用直角三角形来解决有关的测量问题。
互动2：
师：导图中的旗杆高度都在直角三角形中吗？
生：举手回答。
明确：测量过程中，为了达到目的，通常将高度分成两部分，使一部分在直角三角形中，另一部分在四边形中。
互动3：
师：你知道直角三角形中的边之间的关系吗？角之间呢？
生：举手回答。
明确：直角三角形的三边满足勾股定理，两锐角之和等于90度，出示课本第98页图。19.1.1。
互动4：
师：在图19.1.1中为了测量旗杆的高度，除了知道有太阳光线外，还需要我们测量哪些值？
生：讨论举手回答。
明确：测量出人的影长和旗杆的影长，人自己的身高通常是知道的，这就知道了AC、，而△ABC∽△，所以，解出BC的长度。
互动5：
师： 出示课本第98页图19.1.2图，你能按照要求画出符合条件的图形吗？
生：学生动手操作。
师：在你所画的图形中测量一下的长度是多少？
生：小组交流、讨论，然后举手回答。
明确：1、图上三角形与实际三角形是相似的。
2、比例尺=
4、达标反馈
（1） 直角三角形的三边之间存在的关系式
（2） 三角形三个内多之和等于 ，直角三角形的两个锐角之和等于
（3） 利用太阳光线测量是运用太阳光线是
（4） 运用照相机辅助测量是运用 与 是相似的。
5、学习小结
（1）内容总结
①有阳光时怎么测量旗杆高度？
可利用同一时刻太阳光线可以看作是平行的，这时物体在地面上投影长度与物体高度成正比．
②阴雨天气如何测旗杆高度？
阴雨天气，不能利用阳光，只能测量角度制造相似．
③怎样利用照相机测量河的宽度？
利用照相机所拍摄成的相片与实物是相似的。
（2）方法归纳
研究测量要以实际条件为基础考虑测量方案来解决实际问题。
6、实践活动：设计两种方案分别测量教学楼的高度，并比较结果．与你的同伴交流。
7、巩固练习：课本第99页19.1。
【板书设计】
第十九章解直角三角形19.1测量如何测量旗杆高度？1．运用测角仪测仰角，利用直角三角形求解．2.利用太阳光线测倾斜角，运用三角形相似求解．3.运用位似图形测量和求解．4.利用照相机拍照，运用相似形求解． 投影幕
§19.2 勾股定理
【教学目标】
一、知识目标
1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标
1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标
学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入
从观察课本中图19.2.1和图19.2.2入手引入勾股定理。
2、课前热身
观看图19.2.1和图19.2.2，数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。
3、合作探究
（1）整体感知
由观察课本中图19.2.1和图19.2.2入手得出勾股定理；通过在图19.2.3中动手操作证实勾股定理；通过对本课本第101页例1的探索求解巩固勾股定理。
（2）四边互动
互动1：
师：你们能数出图19.2.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳： ,即两直角边的平方和等于斜边的平方.
互动2：
师：你们能数出图19.2.2中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看．
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
师生共同归纳, ,即两直角边的平方和等于斜边的平方．
互动3：
师：由上述操作你发现了一般规律了吗？
生：略
明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。
互动4：
师：展示课本中图19.2.3.
师：在上图中画出直角三角形ABC，用直尺量量斜边是多长好吗？
生：每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理：.
例题教学：例1：如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）
师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看
生：操作后相互交流。
明确：在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：在实际问题中往往需要求取近似值。
解：略。
4、达标反馈
（1）在直角△ABC中，∠C=，a=3，b=4，则c值是 ，理由是
（2）在直角△ABC中，∠B=，a=3，b=4，则c值是 ，理由是
（3）在△ABC中， a=3，b=4，c=5，则△ABC是
5、学习小结
（1）内容总结
直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、巩固练习：课本第104页第19.2中第1、2题。
【板书设计】
19.2勾股定理1.以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 投影幕
第二课时
【本课目标】
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。
【教学过程】
1.情境导入
多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。
2、课前热身
让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。
3、合作探究
（1）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。
（2）四边互动：出示课本中图19.2.5和19.2.6。
图19.2.5
图19.2.6
互动1：
师：你会拼出如图19.2.6所示的图形吗？
生：讨论交流，举手回答问题。
师：你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
互动2：出示课本中图19.2.7和19.2.8.
图19.2.7
图19.2.8
师：你会拼出图19.2.7吗
生：动用操作
师：你会用面积等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答并说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
互动3：
师：出示如图19-2-2所示的图形．
你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？
生：独立尝试后，在小组之间交流，并举手回答问题．
师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理．
明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。
②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。
③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。
④结论是。
例题教学：例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
图19.2.9
解 在直角三角形ABC中，
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
= 96（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米.
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：
4、达标反馈
配套练习。
5、学习小结
（1）内容总结
可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；
运用勾股定理可以解决许多实际问题；
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。
（2）方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7、巩固练习：课本第104页
【板书设计】
19.2 勾股定理你会利用四块直角形三板中若干个进行拼图说明勾股定理吗？ 投影
§19.3 锐角三角函数
【教学目标】
一、知识目标
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握等特殊角的三角函数值。
3.学会运用计算器求任意角的三角函数值。
二、能力目标
1.掌握三角函数定义式：sinA=，，tanA=，cotA=
2.理解定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、情感态度目标
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性养成科学的、严谨的学习态度。
【重点难点】
重点：三角函数定义的理解。
难点：解直角三角形在实际生活中的应用。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：观察操作-概括归纳-说理论证-应用提高。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握等特殊角的三角函数值。
3．掌握三角函数定义式：sinA=，，tanA=，cotA=
【教学过程】
1.情境导入
利用多媒体演示相似三角形的对应边成比例。
2、课前热身
以相互对答方式回顾相似三角形的性质；以提问的方式巩固直角三角形的三边关系---勾股定理。
3、合作探究
（1）整体感知
通过演示直角三角形在一个锐角大小不变的情况下，两个直角三角形就相似，得出同一直角三角形在一个锐角不变的情况下，三边之间存在一定的比例关系，接着定义锐角三角函扮，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=，然后探索等特殊角的三角函数值以及在“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
（2）四边互动
互动1：
师：展示课本第107页中图19.3.1.大家看大屏幕，我们先对有关直角三角形下个定义好吗？
生：交流讨论后，熟悉直角三角形的斜边、邻边、对边。
明确：直角三角形中最长的边叫斜边，与锐角相邻的直角边叫邻边，与锐角相对的边叫对边。
互动2：
师：展示课本上图19.3.2，在锐角不变的情况下，我们过它的一边上一些点分别向另一边作垂线，垂足分别为……得到三角形A,三角形A,三角形A……那么这些三角形相似吗？
生：思考讨论后，举手回答问题
师：请同学们拿出一张方格纸，在上面画一个锐角，动手操作看看能不能得到刚才问的一组三角形相似呢？
生：动手操作，举手回答发现的现象。
明确：一组直角三角形在一个锐角相等时，它们彼此相似．进一步得到一个直
角三角形中三边之间成一定的比例关系。
互动3：
师：我们怎么来描述直角三角形三边之间的比值与一个锐角的规律呢？
生：动手操作，交流发现的结论，定义三角函数。
明确：
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。
互动4：
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，文流结果，举手板演．
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
互动5：
师：我们一起探讨一下同一个角的正切函数值与余切函数值的关系好吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题：
明确：tan A cot A=1
例题教学：课本第108页中例1.
互动6：
师：在图中我们能求出斜边AB的长度吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题．
师：你会求∠A的四个三角函数值吗？求求看，并与同伴交流好吗，
生：通过思考、操作后与同伴交流。
明确：，sin A=，cos A=，tan A=，cot A=。
互动7：
师：sin是一个常数吗 cos呢？你会求tan,cot 吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题．
师生：共同活动得出sin＝=
师：谁能试着叙述含有角的直角三角形三边之间的数量关系？
生：回答略。
明确：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
互动8：
师：你能借助两块三角板求出的四个三角函数值吗？
生：通过思考、交流回答上述问题。
为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）
4、达标反馈
（1）在△ABC中，∠A=，AB=24，AC=7，则sinB= ，cosB= ，
tanB= ,cotB=
（2）如图19.3.1所示，sinα= ，cosα= ，tanB= ,cotB= 。
（3）tan·cot=
5、学习小结
（1）内容总结
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。tanA·cotA=1。
（2）方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解。
6、实践活动：如图，请你设计一种方案测量河宽。
7、巩固练习：课本第109页练习。
【板书设计】
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。tanA·cotA=1。 投影幕
第二课时
【本课目标】
学会用计算器求任意角的三角函数值。
【教学过程】
1.情境导入
如图19-3-6所示，有一斜坡，现在要在斜坡AB植树造林，要保持两棵树水平间距为2米，那么沿斜坡方向应每隔几米挖坑？（已知斜坡面的倾角为18'）
2.课前热身
拿出计算器，熟悉计算器的用法．
3.合作探究
（1）整体感知
通过四个例题展示用计算器求已知锐角三角函数值的一般方法。会根据角的大小求三角函数值；会根据三角函数值的大小求锐角的大小。
（2）四边互动：
互动1：
师：你会将计算器设置成度的状态吗？认真阅读你的计算器的说明书从中吸取知识。
生：看说明书后分组讨论交流，最后就自己的计算器回答问题。
注意：不同的计算器有不同的规定。
明确：许多知识来源于阅读与自主探索。
展示：sin，cos。
互动2：
师：你会用计算器求出sin吗？看看说明书上告诉我们怎样做？
生：看说明书后举手回答．
师：你会用计算器求出cos 吗？看说明书上告诉我们怎样？
生：看说明书思考后，举手回答．
明确：不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。
展示：已知：tanx=0.7410，coty=0.1950，求锐角x,y的值
互动3：
师：你会用计算器求出tanx=0.7410中x的值吗？看看说明书上是怎样告诉我们的。
生：看说明书后举手回答．
师：你会用计算器求出coty=0.1950中y的值吗？看看说明书上是怎样告诉我们做的。
生：着说明书思考后，举手回答．
师：请你们分组活动，每人出两道题让你的同位用计算器算算好吗？
生：分组活动，教师参与其中，解决困难．
明确：不同的计算器操作顺序不一样，按键定义也不一样（可要求学生统一购买与教材内容配套的科学计算器），同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
4、达标反馈
课本第111页练习第1、2题。
5、学习小结
（1）内容总结
不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
（2）方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。
6、实践活动：下表是学校兴趣小组测量教学楼高的实验报告的部分内容。
（1） 完成上表中的平均数据。
（2） 若测量仪器高度为1.52米，根据上表数据求教学楼高AB（精确到0.01米）
7、巩固练习：课本第19.3中第4、5题
【板书设计】
19.3.2用计算器求锐角的三角函数不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。 投影
§19.4 解直角三角形
【教学目标】
一、知识目标
1、 巩固直角三角形中的三角函数定义。
2、 选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。
二、能力目标
1. 应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯 。
2. 将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。
三、情感态度目标
经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。
【重点难点】
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高 。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
【教学过程】
1.情境导入
大屏幕展示课本第112页例1。
2、课前热身
分组练习，互问互答巩固上节课的内容。
3、合作探究
（1）整体感知
从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（2）四边互动
互动1：
师：展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空：
sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。
∠A= － , ＋
生：独立思考，交流。
明确：sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。
互动2：
例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
师：展示课本中第112页例1(图19.4.1）．我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究．那么，怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？
生：动手尝试，分组交流后，举手回答。
师生共同画图转化为直角三角形。
明确：对于现实总是通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想。
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26＋10＝36（米）.
所以，大树在折断之前高为36米.
互动3：
师：通过例1，我们知道在直角三角形中已知一些元素，求另一些未知元素的方法.像这样的过程我们称之为解直角三角形.你知道了吗？
生：分组讨论得出解直角三角形的两种情况：
（1）已知两条边长；
（2）已知一条边长和一锐角.
明确：什么叫解直角三角形；解直角三角形的两种情况。
互动4：
师：展示例2，你会画方向角吗？动手操作将例2转化为数学模型。
生：画图并尝试解题。
明确：会用锐角三角函数关系式解直角三角形。
例2 如图19.4.2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
图19.4.2
解 在Rt△ABC中，因为
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
所以 BC＝AB tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又因为 ，
所以 AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
4、达标反馈
课本第113页练习。
5、学习小结
（1）内容总结
会用锐角的三角函数关系式解直角三角形。
所求的边长通常作为分子比较好些。
（2）方法归纳
让学生体验从实际生活中建立数学模型，运用直角三角形知识解决生活中的问题。
6、实践活动：（1）如图19－4－2所示，是某单位的停车棚上方的角钢固定架．若BC=15米，∠B=28度，D,E,F将BC四等分。问制成这样的钢架共需角钢多少米？（不考虑焊接损失，结果保留到1米）
（2）已知两条线段的长度，请你以这两条线段为边长做一直角三角形。（画画看有几种不同的图形）。
7、巩固练习：课本第116页习题19.4中1题。
【板书设计】
19.4解直角三角形会用锐角的三角函数关系解直角三角形。所求的边长通常作为分子比较好些。 投影幕
第二课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习仰角与俯角。
【教学过程】
1.情境导入
展示课本第114页中“读一读”，使学生体验两个名词概念：仰角与俯角。
2.课前热身
分组练习，互问互答巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内角。
3.合作探究
（1）整体感知
从“读一读”体验两个数学名词术语：仰角与俯角。
从例3教学中体验仰角的具体应用和解直角三角形的现实作用。
从课堂巩固练习中体验到俯角的用处，进一步熟悉直角三角形的解。
（2）四边互动：
互动1：
师：展示课本第114页“读一读”，你看懂图19.4.3了吗？
生：口头回答。
由此我们得出两个数学名词术语：仰角、俯角。
明确：仰角是视线方向在水平线上方，这时视线
与水平线的夹角；俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
互动2：
师：展示课本第114页例3(图19.4.4).你能根据例题中的文字画出几何图形吗？画画看。
例3 如图19.4.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
解 在Rt△BDE中，
BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以 AB＝BE＋AE
＝BE＋CD
＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
答： 电线杆的高度约为10.4米．
4、达标反馈
课本第114、115页练习第1、2题。
5、学习小结
（1）内容总结
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。
（2）方法归纳
认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
6、实践活动：如图19-4-3所示，一飞机在1500米的高空中测得地面控制塔的俯角为，求这时收音机距指挥塔的直线距离是多少米？
7、巩固练习：课本第19.4中第2、3题和第120页复习题中第10题第121页中第14题。
【板书设计】
19.4解直角三角形仰角是视线方向向水平线上方，这时视线与水平线的夹角．俯角是视线向水平线下方，这时视线与水平线的夹角．梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）． 投影
第三课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习仰角与俯角。
5.学习坡度、坡角。
【教学过程】
1.情境导入
展示课本第115页中“读一读”，使学生体验两个名词概念：坡角与坡度。
2.课前热身
分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容；掌握仰角与俯角等概念。
3.合作探究
（1）整体感知
从“读一读”出发让学生体验坡角与坡度概念；
从例4“求路基下底的宽”这个具体情境中理解运用“坡角”与“坡度”。
学会将四边形“梯形”分解成矩形与三角形来解题的方法。
（2）四边互动：
互动1：
师：展示课本第115页中“读一读”，你看懂图19.4.5了吗？
生：口头回答。
由此我们得出两个专业名词术语：坡角、坡度。
明确：坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平
距离的比值。 坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）
互动2：
师：我们现在研究一下坡角与坡度之间的关系好吗？
生：分组交流后，举手回答．
师生共同归纳得出：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡．
明确：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
互动3：
师：展示课本第115页中例4(图19.4.6).我们
在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢？
例4 如图19.4.6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到
0.1米）
生：尝试分割．小组选出代表发言．
师：运用多媒体演示多种不同的分割方法（如图19－4－4所示）。
师生共同活动，确定这道题的解法。
明确：利用直角三角形来解决梯形总是通常作两条高线，把它化为一个矩形和两个直角三角形来解决。
4、达标反馈
（1） 一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为
（2） 坡度通常写成1： 的形式。如果一个坡度为1 :2.5,则这个坡角为
（3） 等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底长为 ，坡度为
（4） 梯形的两底长分别为为5和8，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是
（5） 如图19-4-5所示，在等腰梯形ABCD中，AB//DC, CB//EA。已知AB=5，DC=8，DA=3，求△CEB的周长和坡角的度数．
5、学习小结
（1）内容总结
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）
（2）方法归纳
在涉及梯形间题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形（直角三角形）、平行四边形（矩形），再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
6、实践活动：某居民生活区有一块等腰梯形空地，经测量得知，梯形上底与腰相等，下底是上底的2倍。现计划把这块空地划分成形状和面积完全相同的四个部分，种上不同颜色的花草来美化环境．请你帮助画出设计的草图．
7、巩固练习：课本习题19.4中第1-4题。
【板书设计】
19.4解直角三角形坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）梯形通常化为矩形或直角三角形来处理。 投影
【教学目标】
一、知识目标
1. 复习巩固相似三角形知识。
2. 回顾有关直角三角形的知识。
二、能力目标
1、通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力。
2、在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力。
三、情感态度目标
通过运用相似及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，唤起学生学习后续内容的积极性。
【重点难点】
重点：学生通过探究，概括出测量的一般方法。
难点：用不同的方法解决同一实际问题。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：直观感知-操作确认-合情说理-应用提高．
【课时安排】1课时。
【教学过程】
1.情境导入
观察导图，并思考：
三角形是测量中经常用到的平面图形，我们已经知道直角三角形的哪些特征呢？
2、课前热身
根据观察的结果以前所学知识，请说出几个属于三角形性质的结论。
3、合作探究
（1）整体感知
利用多媒体演示直角三角形在现实生活中的广泛应用。
讨论应用太阳光线和其他器材测量旗杆高度的方法。
讨论应用太阳光线测量旗杆高度的方法。
鼓励学生运用自己设计的方法测量旗杆的高度。
（2）四边互动
互动1：
师：观察本章导图，它向我们展示了本章将学到的哪些内容？
生：学生讨论交流。
明确：本章告诉我们如何利用直角三角形来解决有关的测量问题。
互动2：
师：导图中的旗杆高度都在直角三角形中吗？
生：举手回答。
明确：测量过程中，为了达到目的，通常将高度分成两部分，使一部分在直角三角形中，另一部分在四边形中。
互动3：
师：你知道直角三角形中的边之间的关系吗？角之间呢？
生：举手回答。
明确：直角三角形的三边满足勾股定理，两锐角之和等于90度，出示课本第98页图。19.1.1。
互动4：
师：在图19.1.1中为了测量旗杆的高度，除了知道有太阳光线外，还需要我们测量哪些值？
生：讨论举手回答。
明确：测量出人的影长和旗杆的影长，人自己的身高通常是知道的，这就知道了AC、，而△ABC∽△，所以，解出BC的长度。
互动5：
师： 出示课本第98页图19.1.2图，你能按照要求画出符合条件的图形吗？
生：学生动手操作。
师：在你所画的图形中测量一下的长度是多少？
生：小组交流、讨论，然后举手回答。
明确：1、图上三角形与实际三角形是相似的。
2、比例尺=
4、达标反馈
（1） 直角三角形的三边之间存在的关系式
（2） 三角形三个内多之和等于 ，直角三角形的两个锐角之和等于
（3） 利用太阳光线测量是运用太阳光线是
（4） 运用照相机辅助测量是运用 与 是相似的。
5、学习小结
（1）内容总结
①有阳光时怎么测量旗杆高度？
可利用同一时刻太阳光线可以看作是平行的，这时物体在地面上投影长度与物体高度成正比．
②阴雨天气如何测旗杆高度？
阴雨天气，不能利用阳光，只能测量角度制造相似．
③怎样利用照相机测量河的宽度？
利用照相机所拍摄成的相片与实物是相似的。
（2）方法归纳
研究测量要以实际条件为基础考虑测量方案来解决实际问题。
6、实践活动：设计两种方案分别测量教学楼的高度，并比较结果．与你的同伴交流。
7、巩固练习：课本第99页19.1。
【板书设计】
第十九章解直角三角形19.1测量如何测量旗杆高度？1．运用测角仪测仰角，利用直角三角形求解．2.利用太阳光线测倾斜角，运用三角形相似求解．3.运用位似图形测量和求解．4.利用照相机拍照，运用相似形求解． 投影幕
§19.2 勾股定理
【教学目标】
一、知识目标
1.在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标
1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。
3.学会简单的合情推理与数学说理，能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标
学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】
重点：在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入
从观察课本中图19.2.1和图19.2.2入手引入勾股定理。
2、课前热身
观看图19.2.1和图19.2.2，数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。
3、合作探究
（1）整体感知
由观察课本中图19.2.1和图19.2.2入手得出勾股定理；通过在图19.2.3中动手操作证实勾股定理；通过对本课本第101页例1的探索求解巩固勾股定理。
（2）四边互动
互动1：
师：你们能数出图19.2.1中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看.
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳： ,即两直角边的平方和等于斜边的平方.
互动2：
师：你们能数出图19.2.2中三块面积P、Q、R的数值吗？数数看．
生：根据图形进行操作．
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
师生共同归纳, ,即两直角边的平方和等于斜边的平方．
互动3：
师：由上述操作你发现了一般规律了吗？
生：略
明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。
互动4：
师：展示课本中图19.2.3.
师：在上图中画出直角三角形ABC，用直尺量量斜边是多长好吗？
生：每人画出一个三角形，并动手测量后在小组中交流讨论，然后举手回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理：.
例题教学：例1：如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）
师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看
生：操作后相互交流。
明确：在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：在实际问题中往往需要求取近似值。
解：略。
4、达标反馈
（1）在直角△ABC中，∠C=，a=3，b=4，则c值是 ，理由是
（2）在直角△ABC中，∠B=，a=3，b=4，则c值是 ，理由是
（3）在△ABC中， a=3，b=4，c=5，则△ABC是
5、学习小结
（1）内容总结
直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角，再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、巩固练习：课本第104页第19.2中第1、2题。
【板书设计】
19.2勾股定理1.以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 投影幕
第二课时
【本课目标】
1.通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能。
【教学过程】
1.情境导入
多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。
2、课前热身
让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。
3、合作探究
（1）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验，让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性，通过运用勾股定理解题，训练培养学生应用知识的技能，通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。
（2）四边互动：出示课本中图19.2.5和19.2.6。
图19.2.5
图19.2.6
互动1：
师：你会拼出如图19.2.6所示的图形吗？
生：讨论交流，举手回答问题。
师：你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
互动2：出示课本中图19.2.7和19.2.8.
图19.2.7
图19.2.8
师：你会拼出图19.2.7吗
生：动用操作
师：你会用面积等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答并说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是。
互动3：
师：出示如图19-2-2所示的图形．
你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？
生：独立尝试后，在小组之间交流，并举手回答问题．
师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流，举手回答问题，并尝试说理．
明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。
②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。
③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。
④结论是。
例题教学：例2 如图19.2.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
图19.2.9
解 在直角三角形ABC中，
AC＝160，BC＝128，
根据勾股定理可得
= 96（米）
答：从点A穿过湖到点B有96米.
明确：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：
4、达标反馈
配套练习。
5、学习小结
（1）内容总结
可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理；
运用勾股定理可以解决许多实际问题；
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。
（2）方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：动手制作直角三角形，并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7、巩固练习：课本第104页
【板书设计】
19.2 勾股定理你会利用四块直角形三板中若干个进行拼图说明勾股定理吗？ 投影
§19.3 锐角三角函数
【教学目标】
一、知识目标
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握等特殊角的三角函数值。
3.学会运用计算器求任意角的三角函数值。
二、能力目标
1.掌握三角函数定义式：sinA=，，tanA=，cotA=
2.理解定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、情感态度目标
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性养成科学的、严谨的学习态度。
【重点难点】
重点：三角函数定义的理解。
难点：解直角三角形在实际生活中的应用。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：观察操作-概括归纳-说理论证-应用提高。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握等特殊角的三角函数值。
3．掌握三角函数定义式：sinA=，，tanA=，cotA=
【教学过程】
1.情境导入
利用多媒体演示相似三角形的对应边成比例。
2、课前热身
以相互对答方式回顾相似三角形的性质；以提问的方式巩固直角三角形的三边关系---勾股定理。
3、合作探究
（1）整体感知
通过演示直角三角形在一个锐角大小不变的情况下，两个直角三角形就相似，得出同一直角三角形在一个锐角不变的情况下，三边之间存在一定的比例关系，接着定义锐角三角函扮，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=，然后探索等特殊角的三角函数值以及在“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
（2）四边互动
互动1：
师：展示课本第107页中图19.3.1.大家看大屏幕，我们先对有关直角三角形下个定义好吗？
生：交流讨论后，熟悉直角三角形的斜边、邻边、对边。
明确：直角三角形中最长的边叫斜边，与锐角相邻的直角边叫邻边，与锐角相对的边叫对边。
互动2：
师：展示课本上图19.3.2，在锐角不变的情况下，我们过它的一边上一些点分别向另一边作垂线，垂足分别为……得到三角形A,三角形A,三角形A……那么这些三角形相似吗？
生：思考讨论后，举手回答问题
师：请同学们拿出一张方格纸，在上面画一个锐角，动手操作看看能不能得到刚才问的一组三角形相似呢？
生：动手操作，举手回答发现的现象。
明确：一组直角三角形在一个锐角相等时，它们彼此相似．进一步得到一个直
角三角形中三边之间成一定的比例关系。
互动3：
师：我们怎么来描述直角三角形三边之间的比值与一个锐角的规律呢？
生：动手操作，交流发现的结论，定义三角函数。
明确：
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。
互动4：
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，文流结果，举手板演．
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
互动5：
师：我们一起探讨一下同一个角的正切函数值与余切函数值的关系好吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题：
明确：tan A cot A=1
例题教学：课本第108页中例1.
互动6：
师：在图中我们能求出斜边AB的长度吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题．
师：你会求∠A的四个三角函数值吗？求求看，并与同伴交流好吗，
生：通过思考、操作后与同伴交流。
明确：，sin A=，cos A=，tan A=，cot A=。
互动7：
师：sin是一个常数吗 cos呢？你会求tan,cot 吗？
生：通过思考、交流、讨论，回答上述问题．
师生：共同活动得出sin＝=
师：谁能试着叙述含有角的直角三角形三边之间的数量关系？
生：回答略。
明确：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
互动8：
师：你能借助两块三角板求出的四个三角函数值吗？
生：通过思考、交流回答上述问题。
为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）
4、达标反馈
（1）在△ABC中，∠A=，AB=24，AC=7，则sinB= ，cosB= ，
tanB= ,cotB=
（2）如图19.3.1所示，sinα= ，cosα= ，tanB= ,cotB= 。
（3）tan·cot=
5、学习小结
（1）内容总结
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。tanA·cotA=1。
（2）方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解。
6、实践活动：如图，请你设计一种方案测量河宽。
7、巩固练习：课本第109页练习。
【板书设计】
sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。tanA·cotA=1。 投影幕
第二课时
【本课目标】
学会用计算器求任意角的三角函数值。
【教学过程】
1.情境导入
如图19-3-6所示，有一斜坡，现在要在斜坡AB植树造林，要保持两棵树水平间距为2米，那么沿斜坡方向应每隔几米挖坑？（已知斜坡面的倾角为18'）
2.课前热身
拿出计算器，熟悉计算器的用法．
3.合作探究
（1）整体感知
通过四个例题展示用计算器求已知锐角三角函数值的一般方法。会根据角的大小求三角函数值；会根据三角函数值的大小求锐角的大小。
（2）四边互动：
互动1：
师：你会将计算器设置成度的状态吗？认真阅读你的计算器的说明书从中吸取知识。
生：看说明书后分组讨论交流，最后就自己的计算器回答问题。
注意：不同的计算器有不同的规定。
明确：许多知识来源于阅读与自主探索。
展示：sin，cos。
互动2：
师：你会用计算器求出sin吗？看看说明书上告诉我们怎样做？
生：看说明书后举手回答．
师：你会用计算器求出cos 吗？看说明书上告诉我们怎样？
生：看说明书思考后，举手回答．
明确：不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。
展示：已知：tanx=0.7410，coty=0.1950，求锐角x,y的值
互动3：
师：你会用计算器求出tanx=0.7410中x的值吗？看看说明书上是怎样告诉我们的。
生：看说明书后举手回答．
师：你会用计算器求出coty=0.1950中y的值吗？看看说明书上是怎样告诉我们做的。
生：着说明书思考后，举手回答．
师：请你们分组活动，每人出两道题让你的同位用计算器算算好吗？
生：分组活动，教师参与其中，解决困难．
明确：不同的计算器操作顺序不一样，按键定义也不一样（可要求学生统一购买与教材内容配套的科学计算器），同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
4、达标反馈
课本第111页练习第1、2题。
5、学习小结
（1）内容总结
不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
（2）方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。
6、实践活动：下表是学校兴趣小组测量教学楼高的实验报告的部分内容。
（1） 完成上表中的平均数据。
（2） 若测量仪器高度为1.52米，根据上表数据求教学楼高AB（精确到0.01米）
7、巩固练习：课本第19.3中第4、5题
【板书设计】
19.3.2用计算器求锐角的三角函数不同的计算器操作顺序不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。 投影
§19.4 解直角三角形
【教学目标】
一、知识目标
1、 巩固直角三角形中的三角函数定义。
2、 选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。
二、能力目标
1. 应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯 。
2. 将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。
三、情感态度目标
经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。
【重点难点】
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯
难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。
【教学设想】
课型：新授课
教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高 。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
【教学过程】
1.情境导入
大屏幕展示课本第112页例1。
2、课前热身
分组练习，互问互答巩固上节课的内容。
3、合作探究
（1）整体感知
从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（2）四边互动
互动1：
师：展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空：
sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。
∠A= － , ＋
生：独立思考，交流。
明确：sin A=叫∠A的正弦, cos A=叫∠A的余弦,
tan A=叫∠A的正切, cot A= 叫∠A的余切
一般地，在直角三角形ABC中，当∠C=时，sinA=，，tanA=，cotA=。
互动2：
例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
师：展示课本中第112页例1(图19.4.1）．我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究．那么，怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？
生：动手尝试，分组交流后，举手回答。
师生共同画图转化为直角三角形。
明确：对于现实总是通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想。
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26＋10＝36（米）.
所以，大树在折断之前高为36米.
互动3：
师：通过例1，我们知道在直角三角形中已知一些元素，求另一些未知元素的方法.像这样的过程我们称之为解直角三角形.你知道了吗？
生：分组讨论得出解直角三角形的两种情况：
（1）已知两条边长；
（2）已知一条边长和一锐角.
明确：什么叫解直角三角形；解直角三角形的两种情况。
互动4：
师：展示例2，你会画方向角吗？动手操作将例2转化为数学模型。
生：画图并尝试解题。
明确：会用锐角三角函数关系式解直角三角形。
例2 如图19.4.2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
图19.4.2
解 在Rt△ABC中，因为
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
所以 BC＝AB tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又因为 ，
所以 AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
4、达标反馈
课本第113页练习。
5、学习小结
（1）内容总结
会用锐角的三角函数关系式解直角三角形。
所求的边长通常作为分子比较好些。
（2）方法归纳
让学生体验从实际生活中建立数学模型，运用直角三角形知识解决生活中的问题。
6、实践活动：（1）如图19－4－2所示，是某单位的停车棚上方的角钢固定架．若BC=15米，∠B=28度，D,E,F将BC四等分。问制成这样的钢架共需角钢多少米？（不考虑焊接损失，结果保留到1米）
（2）已知两条线段的长度，请你以这两条线段为边长做一直角三角形。（画画看有几种不同的图形）。
7、巩固练习：课本第116页习题19.4中1题。
【板书设计】
19.4解直角三角形会用锐角的三角函数关系解直角三角形。所求的边长通常作为分子比较好些。 投影幕
第二课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习仰角与俯角。
【教学过程】
1.情境导入
展示课本第114页中“读一读”，使学生体验两个名词概念：仰角与俯角。
2.课前热身
分组练习，互问互答巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内角。
3.合作探究
（1）整体感知
从“读一读”体验两个数学名词术语：仰角与俯角。
从例3教学中体验仰角的具体应用和解直角三角形的现实作用。
从课堂巩固练习中体验到俯角的用处，进一步熟悉直角三角形的解。
（2）四边互动：
互动1：
师：展示课本第114页“读一读”，你看懂图19.4.3了吗？
生：口头回答。
由此我们得出两个数学名词术语：仰角、俯角。
明确：仰角是视线方向在水平线上方，这时视线
与水平线的夹角；俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
互动2：
师：展示课本第114页例3(图19.4.4).你能根据例题中的文字画出几何图形吗？画画看。
例3 如图19.4.4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
解 在Rt△BDE中，
BE＝DE×tan a
＝AC×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以 AB＝BE＋AE
＝BE＋CD
＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
答： 电线杆的高度约为10.4米．
4、达标反馈
课本第114、115页练习第1、2题。
5、学习小结
（1）内容总结
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。
（2）方法归纳
认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
6、实践活动：如图19-4-3所示，一飞机在1500米的高空中测得地面控制塔的俯角为，求这时收音机距指挥塔的直线距离是多少米？
7、巩固练习：课本第19.4中第2、3题和第120页复习题中第10题第121页中第14题。
【板书设计】
19.4解直角三角形仰角是视线方向向水平线上方，这时视线与水平线的夹角．俯角是视线向水平线下方，这时视线与水平线的夹角．梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）． 投影
第三课时
【本课目标】
1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
4.学习仰角与俯角。
5.学习坡度、坡角。
【教学过程】
1.情境导入
展示课本第115页中“读一读”，使学生体验两个名词概念：坡角与坡度。
2.课前热身
分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容；掌握仰角与俯角等概念。
3.合作探究
（1）整体感知
从“读一读”出发让学生体验坡角与坡度概念；
从例4“求路基下底的宽”这个具体情境中理解运用“坡角”与“坡度”。
学会将四边形“梯形”分解成矩形与三角形来解题的方法。
（2）四边互动：
互动1：
师：展示课本第115页中“读一读”，你看懂图19.4.5了吗？
生：口头回答。
由此我们得出两个专业名词术语：坡角、坡度。
明确：坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平
距离的比值。 坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）
互动2：
师：我们现在研究一下坡角与坡度之间的关系好吗？
生：分组交流后，举手回答．
师生共同归纳得出：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡．
明确：坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
互动3：
师：展示课本第115页中例4(图19.4.6).我们
在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢？
例4 如图19.4.6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到
0.1米）
生：尝试分割．小组选出代表发言．
师：运用多媒体演示多种不同的分割方法（如图19－4－4所示）。
师生共同活动，确定这道题的解法。
明确：利用直角三角形来解决梯形总是通常作两条高线，把它化为一个矩形和两个直角三角形来解决。
4、达标反馈
（1） 一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为
（2） 坡度通常写成1： 的形式。如果一个坡度为1 :2.5,则这个坡角为
（3） 等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高为4，则另一个底长为 ，坡度为
（4） 梯形的两底长分别为为5和8，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是
（5） 如图19-4-5所示，在等腰梯形ABCD中，AB//DC, CB//EA。已知AB=5，DC=8，DA=3，求△CEB的周长和坡角的度数．
5、学习小结
（1）内容总结
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）
（2）方法归纳
在涉及梯形间题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形（直角三角形）、平行四边形（矩形），再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
6、实践活动：某居民生活区有一块等腰梯形空地，经测量得知，梯形上底与腰相等，下底是上底的2倍。现计划把这块空地划分成形状和面积完全相同的四个部分，种上不同颜色的花草来美化环境．请你帮助画出设计的草图．
7、巩固练习：课本习题19.4中第1-4题。
【板书设计】
19.4解直角三角形坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a（i是坡度，h表示高度，l表示水平距离，a表示坡角）梯形通常化为矩形或直角三角形来处理。 投影