05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第十一讲 解直角三角形
主要概念：
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，
1.已知∠A和边c，则∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA；
2. 已知∠A和边a，则∠B=90°－∠A，b=a·cotA，；
3. 已知∠A和边b，则∠B=90°–∠A，a=b·tanA，.
A组题
1.一个斜坡的坡度i＝l∶，则坡角α的正弦值为 。
2.边长为α的等边三角形，高为__，面积为___。
3.如图，一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成30°角，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树高为12_米.
4.如图：有一个直角梯形零件ABCD、AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长是____cm.
5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在C的北偏东60°，灯塔B在C的东南方向，则灯塔A在灯塔B的（ D）
A．北偏东7.5° B．北偏西7.5°
C．南偏东7.5° D．南偏西7.5°
6.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（D）
A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米
7. 根据下列条件解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90°,
⑴c=20，∠A=45° ⑵a=36，∠B=30°
解：∠B=90°－∠A==45° 解：∠A=90°－∠B==60°
a=c·sinA=，b=c·cosA=； b=a·tanB=，
⑶ a=19，c= ⑷a= b=
解：∵sinA=，∴∠A=45° 解：∵tanA=，∴∠A=30°
∠B=∠A==45°，a=b=19 ∠B=90°－∠A==60°，
B组题
8.如图，在中，是边上的高，，，，那么AD的长是（ B ）
A. B. 1 C. D.
9.已知等腰三角形顶角为120°，底上的高为5，则一腰上的高为（ C ）
a. 5 b. 5 c. 5 d. 10
10.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的相交的锐角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ A ）
A. B. C. sinα D .1
11.如图，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（ C ）
A. B.
C. D.
12.如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°.若梯子顶端距离地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子的宽AB是（ D ）
A.米 B.米 C.b米 D.a米
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝cm,求∠B，AB，BC. 解：∵cos∠DAC==，∴∠DAC=30°，∠BAC=2∠DAC=60°，
∠B=90°－∠BAC=30°，AB==10，BC=AC·cotB=5
14.甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。解：如图，延长CD交水平线AE于点E，Rt⊿ABC中，
AB=BC·tan∠ACB=50；Rt⊿ADE中，
DE=AE·tan∠EAD=，∴CD=
15.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
解：设AH为x米，Rt⊿ABH中，BH=AH·cot∠B=x；Rt⊿ACH中，CH=AH·cotC=x，∵BC=BH+CH，
∴x+x=1000，x=500()
又∵500()＞300，∴公路不会穿过森林公园
16.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A,在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度.
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD为x米，
与15题同理，CD=x，CH=x
∵BC=BD+CD，
∴x+x=200，x=300()
17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东3O°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解：（1）过点A作AD⊥BC于D，Rt⊿ABD中，AD=AB·sin B=110(千米)，∵12－110÷20=6.5＞4
∴城市会受到这次台风的影响
（2）风力为四级时，距台风中心的距离是：(12－4)×20=160
在BC上取点E、F使AE=AF=160(千米)，Rt⊿ADE中，AD2+DE2=AE2
∴DE=DF=30，∴EF=60，∴t=EF÷15=2(小时)，
（3）最大风力：12－110÷20=6.5
选做题
18.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。
解：延长CA过点B作BE⊥CA的延长线于点E，
∠BAE=180°－∠BAC=60°，Rt⊿ABE中，BE=AB·sin∠BAE=，
∴CE=5.5；由⊿BCE∽⊿DCF，及⊿BCE∽⊿DCF 得：
，设AF=x，则CF=3－x，得：，解得：x=
Rt⊿ADF中，AD=
19.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60°，∠CDA＝135°，。求AD边的长。
解：点B作BE⊥CA于点E，延长CD过点A作AF⊥CD的延长线于点F，在Rt⊿BCE 中，BE=BC·sin∠BCA=，S⊿ABC=AC·BE=，∴AC=16；∵BC⊥CD，∴∠ACD=90°－60°=30°，
在Rt⊿ACF 中，AF=AC·sin∠DCA=8；在Rt⊿ADF 中，∠ADF=180°－135°=45°，AD=
20.泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段,在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图,路基原横断面为等腰梯形ABCD,AD∥BC,斜坡DC的坡度为i1,在其一侧加宽DF=7.75米,点E、F分别在BC、AD的延长线上,斜坡FE的坡度为i2(i1⑴已知i2=1:1.7,h=3米,求ME 的长.
⑵不同路段的i1、i2、、、h是不同的,请你设计一个求面积S的公式(用含i1、i2的代数式表示).(通常把坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度.坡度常用字母i表示,即i=,通常写成1:m的形式)
解：⑴点F作FG⊥BE于点G，
i2=1:1.7=FG:EG，∴EG=5.1(米)
又∵矩形DMGF, ∴NC=DF=7.75米，∴ME=EG+GM=12.85(米)
⑵设加宽a米，即DF=a，由⑴：ME=a+，MC=，∴CE=a+h()
∴
G
F
A
E
E
F
E
D
D
D
B
C
C
E
B
A
30°
60°
乙
甲
B
C
M
E
A
D
F05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第十一讲 解直角三角形
主要概念：
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，
1.已知∠A和边c，则∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA;
2. 已知∠A和边a，则∠B=90°－∠A，b=a·cotA，
；
3. 已知∠A和边b，则∠B=90°–∠A，a=b·tanA，.
A组题
1.一个斜坡的坡度i＝l∶，则坡角α的正弦值为 。
2.边长为α的等边三角形，高为_________，面积为__________。
3.如图，一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树高为_________米.
4.如图：有一个直角梯形零件ABCD、AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则该零件另一腰AB的长是__________cm.
5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在C的北偏东60°，灯塔B在C的东南方向，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东7.5° B．北偏西7.5°
C．南偏东7.5° D．南偏西7.5°
6.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米
7. 根据下列条件解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90°,
⑴ ⑵
⑶ ⑷ =
B组题
8.如图，在中，是边上的高，，，，那么AD的长是 （ ）
A. B. 1 C. D.
9.已知等腰三角形顶角为120°，底上的高为5，则一腰上的高为（ ）
a. 5 b. 5 c. 5 d. 10
10.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的相交的锐角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. sinα D .1
11.如图，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°.若梯子顶端距离地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子的宽AB是（ ）
A.米 B.米 C.b米 D.a米
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝cm,求∠B，AB，BC。
14.甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。
15.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
16.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A,在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度.
17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东3O°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
选做题
18.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。
19.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60°，∠CDA＝135°，。求AD边的长。
20.沪杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段,在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图,路基原横断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC,斜坡DC的坡度为i1,在其一侧加宽DF=7.75米,点E、F分别在BC、AD的延长线上,斜坡FE的坡度为i2(i1⑴已知i2=1:1.7,h=3米,求ME 的长.
⑵不同路段的i1、i2、、、h是不同的,请你设计一个求面积S的公式(用含i1、i2的代数式表示).(通常把坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度.坡度常用字母i表示,即i=,通常写成1:m的形式)
A
B
C
B
C
M
E
A
D
F
