数学考试参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。多选题漏选得2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A B C D B C AB AC AC BD
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．38 14． 15．72 16．
四、解答题
17.(1)解：设等差数列的公差是d，依题意得，
解得, ∴数列的通项公式为 …………4分
（2）解：∵，∴
∵
= …………10分
18.（1）在中，，，由余弦定理得：
， ……1分
则，即，有， ……2分
因平面，平面，则，而，平面，
于是得平面，又平面， 所以．……5分
（2）因平面，平面，则，由（1）知，射线两两垂直，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ……6分
则，，……7分
设为平面一个法向量，则，令，得，……8分
设是平面的一个法向量，
则，令，得， ……9分
设二面角的大小为，则，……11分 所以二面角的正弦值为．……12分
19.（1）解：设A表示“螺钉是次品”,B1表示“螺钉由Ⅰ号机器生产”,B2表示“螺钉由Ⅱ号机器生产”,B3表示“螺钉由Ⅲ号机器生产”,则P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,
P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021, …………8分
（2）所以P(B2|A)===. …………12分
20．(1)由题表中数据及题意,得q=, 所以q=. 又+p+q=1, 所以p=. …………3分
(2)设事件M=“甲、乙选择不同车型”,
则P(M)=×1+. …………6分
(3)根据题意,X的可能取值为7,8,9,10,
则P(X=7)=, P(X=8)=,
P(X=9)=, P(X=10)=,
所以X的分布列为
X 7 8 9 10
P
…………12分
21.解：（1）若，定义域为， …………1分
， …………2分
由可得，由可得，
所以在单调递减，在单调递增， …………3分
所以的最小值为； …………4分
（2） …………5分
①当时，，由可得，由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为， …………7分
②当时，由可得或，由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和， …………9分
③当时，恒成立，此时的单调递增区间为， …………10分
④当时，由可得或，由可得，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和， …………12分
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，
当时， 的单调递增区间为，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和
22.（1）由题意得，解得，所以，所以的方程为.…………4分
（2）（ⅰ）由题意得整理得，设，
，直线的方程为，
代入整理得，，
设，则，所以，
，即，同理.
，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点. …………10分
（ⅱ）因为，所以与正负相同，且，所以，
当取得最大值时，取得最大值.
由时，；
所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，
此时直线的方程为 …………12分新会第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学考试试卷
本试卷共4页, 满分150分, 考试时间为120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．在等比数列中，已知 ，则（ ）
A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32
4．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ）
A．243 B．125 C．128 D．264
5．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（ ）
A．10 B． C． D．
8．关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点
②函数有且只有1个零点
③存在正实数，使得成立
④对任意两个正实数，且，若，则
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知曲线.则曲线过点P(1，3)的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等比数列中，满足，，则（ ）
A. 数列是等比数列 B.数列是递增数列
C. 数列是等差数列 D. 数列中，、、是等比数列
11．关于的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中的二项式系数之和为2048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大
12．已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（ ）
A. 若，则为双曲线，且渐近线方程为
B. 若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆
C. 若点的坐标为，线段与轴垂直，则
D. 若直线，的斜率分别为，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等差数列中, 则__________________．
14．若，，则__________________．
15．由数字1，2，3，4，5可以组成_______个没有重复数字的五位奇数．（用数字作答）
16．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为_________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)已知数列是等差数列，其前项和为
(1)求数列的通项公式； （2）求和：.
18．(12分)如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值．
19．(12分)一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%.
（1）求从这批螺钉中任取一件是次品的概率；.
（2）现从这批螺钉中抽到一颗次品,求该次品来自Ⅱ号机器生产的概率.
20．(12分)甲、乙两人决定各购置一辆纯电动汽车.经了解,目前市场上销售的主流纯电动汽车按行驶里程数R (单位:km)可分为三类车型.A类:80≤R<150,B类:150≤R<250,C类:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲,乙二人选择各类车型的概率如下表:
A B C
甲 p q
乙 0
若甲、乙都选C类车型的概率为.
(1)求p,q的值;
(2)求甲、乙选择不同车型的概率;
(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:
车型 A B C
补贴金额/(万元/辆) 3 4 5
记甲、乙两人购车所获得的补贴和为X万元,求X的分布列.
21．(12分)已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）求函数的单调区间.
22. (12分)已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.
(1)求的方程；
(2)设点，直线与分别交于点
（ⅰ）判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由；
（ⅱ）记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.
