致远高中2022学年第二学期期中教学评估
高二数学
考试时间：120分钟 满分150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合A＝，B＝，则＝_______．
2．不等式的解集为___________.
3．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为___________
4．设等差数列的前项和为，若，则__________.
5．已知射手甲击中目标的概率为0.8，射手乙击中目标的概率为0.7，若甲、乙两人各向目标射击一次，则射手甲或射手乙击中目标的概率是______________
6.函数的驻点为
7.已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为________．
8.设是函数的最小值点，则曲线在点处的切线方程是________________.
9.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_．
10.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.
11．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.
12． 已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y＝f（x）的导函数是f'（x），当x≥0时，y＝f（x）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
8
二. 选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.下列关于散点图的说法中，正确的是（ ）
A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图
B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C．从散点图中可以看出两个量的因果关系
D．从散点图中无法看出数据的分布情况
14． 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8
15．等比数列{an}中的项a7，a99是函数f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣2的极值点，则a53＝（ ）
A．3 B． C． D．
16.在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．线段最小值为 D．的取值范围为
三、 解答题（本大题共5题，共14+16+16+16+18=78分）
17.（6+6）已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．
(1)求数列{}的通项公式；(2)求Sn．
18.（4+6+6）某互联网公司计划派500位企业员工组团参加2023年在广州举行的第十六届中国广州网络信息技术设备展览会.团队按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
区间
人数 50 50 a 150 b
(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数a、b的值；
(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1、2、3组的人数分别是多少？
(3)因会务需要，现从第1、2、3组中抽取6人组成经验交流小组（其中第1组1人，第2组1人，第3组4人），在这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率.
19.（4+6+6）在如图所示的几何体中，四边形是正方形四边形是梯形，，平面平面，且 .
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)已知点在棱上，且异面直线与所成的夹角为，求的取值范围.
20.（8+8）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
21.（4+6+8）已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线 的斜率分别为 .
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.致远高中2022学年第二学期期中教学评估
高二数学
考试时间：120分钟 满分150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合A＝，B＝，则＝_______．
【答案】
【分析】根据交集定义直接求得结果即可.
【详解】由交集定义可得：
故答案为：
2．不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】由不等式，可得，
结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
3．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为___________
【答案】200
4．设等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】26
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.
【详解】由已知，所以.
则.
故答案为：.
5．已知射手甲击中目标的概率为0.8，射手乙击中目标的概率为0.7，若甲、乙两人各向目标射击一次，则射手甲或射手乙击中目标的概率是______________
【答案】
函数的驻点为 .
【分析】首先求得导函数的解析式，然后确定函数的驻点即可．
【解答】解：由函数的解析式可得，
令可得x＝0，
故函数的驻点为x＝1．
故答案为：1．
7.已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.
【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2，
由题可知，过一三象限的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
又，∴，
∴．
故答案为: .
8.设是函数的最小值点，则曲线在点处的切线方程是__________________________ .
【答案】
【详解】函数，
当且仅当，即时等号成立，
则函数的最小值点，
则切点为，
，则切线斜率，
故切线方程为：，
故答案为：.
9.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________________．
【答案】
【详解】解：设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，
则由题意知，，解得．
又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且．
则圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时，等号成立．
所以，．
故答案为：．
10.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.
【答案】92
【详解】由频率分布直方图知，
由得：.
因为，
所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为，
则由，解得.
故答案为：92.
11．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.
【答案】84
【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，芒种日晷长为2.5尺，记为，
因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列，
数列的公差，
因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为，
又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为，
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为(尺).故答案为：84
12．已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y＝f（x）的导函数是f'（x），当x≥0时，y＝f（x）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为___________
【答案】{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}
二. 选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.下列关于散点图的说法中，正确的是（ ）
A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图
B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C．从散点图中可以看出两个量的因果关系
D．从散点图中无法看出数据的分布情况
【答案】B
【分析】根据散点图的概念判断即可.
【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；
散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；
散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.
故选：B
14． 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A. 2，5 B. 5，5 C. 5，8 D. 8，8
【答案】C
【详解】由题意得，，选C.
15．等比数列{an}中的项a7，a99是函数f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣2的极值点，则a53＝（ ）
A．3 B． C． D．
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣2，所以f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
当x＞3或x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，所以x＝1，x＝3为函数的极值点，
即a7＝1，a99＝3或a7＝3，a99＝1，又，所以a53＞0且；
故选：D．
16.在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．线段最小值为 D．的取值范围为
【答案】D
【分析】根据题意取中点，连接，， ，结合图形对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
取中点，连接，， ，则有平面平面，
∴平面，即在线段上.
当在时夹角为45°，故A错；
.故B错.
线段的最小值为等腰三角形腰上的高，，故C错.
因为，.
当为点时最大，的最小.
此时为最小，当最小值为直角三角形斜边的高，即，此时为最大，故D正确.
故选:D
三、 解答题（本大题共5题，共12+16+16+16+18=78分）
17.（6+6）已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)求Sn．
【答案】(1)an＝8﹣2n；；(2).
【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）由等差数列前n项和公式求Sn.
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a1＝6，a3+a5＝0，则6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，
因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，
所以{an}的通项公式为an＝8﹣2n．
（2）由题意知：，
18.（4+6+6）某地区水务局计划派500位企业员工组团参加2023年在广州举行的第十六届中国广州国际水处理技术设备展览会.团队按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
区间
人数 50 50 a 150 b
(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数a、b的值；
(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1、2、3组的人数分别是多少？
(3)因会务需要，现从第1、2、3组中抽取6人组成经验交流小组（其中第1组1人，第2组1人，第3组4人），在这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率.
【详解】（1）由题设可知，，，所以，.
（2）因为第1，2，3组共有人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，
所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.
（3）设第1组的1位员工为A，第2组的1位员工为B，第3组的4位员工为，，，，则从6位中抽两位员工有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，所以，至少有1人年龄在第3组的概率为.
19.（4+6+6）在如图所示的几何体中，四边形是正方形四边形是梯形，，平面平面，且 .
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)已知点在棱上，且异面直线与所成的夹角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)；（3)
【详解】（1）∵平面平面，平面平面，平面，.
∴直线平面.
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，，，
，，.
因为四边形是正方形，所以.
因为，,面,面,
所以面.
所以是平面的一个法向量.
又，∴，
又∵直线QB平面PDC，∴平面.
（2）∵.
设）为平面PBC的法向量，
则即
不妨设，可得.
设）为平面PBQ的法向量，
又∵
则即 不妨设，可得，
∴. 二面角的正弦值为.
（3）设 ，则，又，
又，即，.
令，
所以恒成立，所以在区间[0，2]上单调递增，
所以，
所以.
20.（8+8）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
【答案】(1)，；(2)见解析
【详解】（1）设该容器的体积为，则，又，所以
因为，所以.
所以建造费用，
因此，.
（2）由（1）得，.
由于，所以，令，得.
若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.
若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.
21.（4+6+8）已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线 的斜率分别为 .
（i）求证：为定值；
（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；所以，，
则.所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
因此轨迹方程为.
（2）（i）设，，.由题可知，，如下图所示：
则，，而，于是，
所以，又，则，
因此为定值.
（ii）设直线的方程为，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，
化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，因此直线经过定点.
