2022-2023学年天津市部分区高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市部分区高二（下）期中
数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，其导函数是，则( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数的导函数是，若，则( )
A. B. C. D.
4. 在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
5. 有人承担，，，，五种不同的工作，每人承担一种，且每种工作都有人承担若这人中的甲不能承担种工作，则这人承担工作的所有不同的方法种数为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7. 函数，，下列关于的说法中正确的是( )
A. 为极小值，为极小值 B. 为极大值，为极小值
C. 为极小值，为极大值 D. 为极大值，为极大值
8. 名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则名同学所有不同的站法种数为( )
A. B. C. D.
9. 已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10. 在展开式中，的系数是______ ．
11. 函数的导数 ______ ．
12. 已知，则 ______ ．
13. 有个志愿者名额全部分配给某年级的个班，若每班至少分配到一个名额，则所有不同的分配方法种数为______ ．
14. 一个集合的含有个元素子集的个数与这个集合的含有个元素子集的个数相等，则这个集合子集的个数为______ ．
15. 若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间．
17. 本小题分
在的二项展开式中，
若，且第项与第项相等，求实数的值；
若第项系数是第项系数的倍，求的值．
18. 本小题分
已知函数．
求的极大值点和极小值点；
求在区间上的最大值和最小值．
19. 本小题分
一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球．
若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；
已知取出一个红球记分，取出一个白球记分，若从口袋内任取个球，总分不少于分，求不同的取法种数．
20. 本小题分
已知函数，．
判断的零点个数，并说明理由；
若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以
则．
故选：．
先对函数求导，然后把代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用排列组合公式展开求解即可．
本题考查了排列组合公式的运用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据导数定义，将增量化成即可得到．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由二项式的展开式为，
又由二项式的展开式共有项，所以中间一项为第项，
所以中间一项的二项式系数为．
故选：．
根据二项展开式的性质，即可求得中间一项的二项式系数，得到答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：甲不能承担种工作，的安排方法有种，剩余人，全排列，
所以这人承担工作的所有不同的方法种数为：，
故选：．
先安排工作的人选，然后剩余人，全排列即可．
本题考查排列组合的简单应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以展开式的常数项为．
故选：．
根据二项式定理求出展开式的通项公式，然后令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
则，
令，得或，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值
故选：．
先求出导函数，根据的正负得到函数的单调性，进而求出的极值．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
8.【答案】
【解析】详解：让最高的同学站中间，再在剩余的人中选择人，放在左边，剩余人放在右边，
共有种站法．
故选：．
让最高的同学站中间，再在剩余的人中选择人，放在左边，剩余人放在右边，计算得到答案．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：令，则，
，，则单调递减，
又，，
，得．
的解集是．
故选：．
令，利用导数可得函数的单调性，由已知可得，则问题转化为，答案可求．
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以的系数为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合函数的求导公式及求导法则即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意令，则．
故答案为：．
令即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：个志愿者名额全部分配给某年级的个班，若每班至少分配到一个名额，
可将个志愿者名额看作个相同的元素，分为组，每组至少一个元素，
因此在这个元素之间形成的个空中，选个插入挡板即可，
故有种不同的分配方法种数．
故答案为：．
采用挡板法，即将个志愿者名额看作个相同的元素，分为组，每组至少一个元素，在这个元素之间形成的个空中，选个插入挡板即可．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设集合含个元素，根据题意得，，即，解得，
这个集合子集的个数为：．
故答案为：．
设该集合有个元素，从而根据条件得出，然后根据组合数公式求出的值，然后根据子集个数的计算公式求出子集的个数即可．
本题考查了组合数公式，子集个数的计算公式，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设切点坐标为，，
由，得，
则过切点的切线方程为，
取，可得，取，得，
与坐标轴围成三角形的面积，，
令，，
则，
当时，，可得．
故答案为：．
设切点坐标为，，利用导数可得过切点的切线方程，求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，再由导数求最值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题．
16.【答案】解：，
所以，，
故曲线在点处的切线方程，即；
，
易得当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
【解析】求出导函数，得出切线斜率，再计算出，由点斜式写出切线方程，整理即得；
由得增区间，得减区间．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值问题，属于中档题．
17.【答案】解：当时，可得展开式的通项，
令，可得，令，可得，
因为第项与第项相等，可得，解得．
由二项式展开式的通项，
可展开式中第项的系数为，第项的系数为，
因为第项系数是第项系数的倍，可得，
即，即，
可得，解得或舍去，
所以的值为．
【解析】当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解；
求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
18.【答案】解：函数可得，
令，可得，，当，时，，函数是增函数，时，，函数是减函数，
所以的极大值点为和极小值点为；
由可知，时，函数取得极大值：，时，函数取得极小值：，，
在区间上的最大值，
最小值：．
【解析】求出函数的导数，求解导函数的零点，通过导函数的符号判断函数的极值点即可．
利用的结论，结合函数的端点值，求解函数的最值即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，极值点的求法，是中档题．
19.【答案】解：先将个红球排成一排共，再将个白色小球插入到个空位中有，
所以白球互不相邻的排法种数为种；
当取出的小球为红白时得分，共种；
当取出小球为红白时得分，共种；
当取出小球都是红球时得分，共种．
所以口袋内任取个球，总分不少于分的取法共有种．
【解析】使用插空法可解；
分红白，红白，红三种情况，再结合分类加法计数原理，求解即可．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
20.【答案】解：函数，，可得，令，解得，
时，，函数是增函数，时，，函数是减函数，
所以函数取得极大值，
，
的零点个数为个．
对任意的，函数是减函数，，，
，可得，令，解得，舍去，，
当时，，函数是增函数，，恒成立，
对任意的，总存在，使得成立，
可得，解得．
的取值范围：．
【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，然后判断函数的零点的个数．
通过求解的值域，结合已知条件，求解的最值，列出不等式求解即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
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