【大单元教学】鲁教版2023年六年级大单元大教研 第9章变量之间的关系 大单元设计

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《变量之间的关系》大单元教学设计和作业设计
教材分析
变量之间的关系是继学习代数式求值、探索规律后运用各变量之间的关系解决具体实际问题。在本章的学习中学生已经分别利用表格、图像、表达式等多种方法表示变量之间的关系上，进一步依据学生实际创新的情景，解决实际问题。此外从本章开始，学生的数学学习从常量进入了变量的世界，由于是刚刚接触一种新的思维方式，学生对于变量之间的关系的理解停留在表象上，事实上我们期望通过本章对变量和变量之间的关系的丰富经历，为学生以后顺利的过度到函数学习打下基础，而为了发展学生对函数的理解，必须使他们对函数的多种表示有相当丰富的经历，结合本章的学习，学生的抽象思维将不断加强，对数学知识的认识将上升到新的境界。
整体结构
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，在六年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想，而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系,主要是让学生联系实际背景了解变量以及量与量之间变化的规律，为以后顺利过渡到函数学习打下基础。从木章开始学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。
本单元主要内容是两个变量之间的关系及表示方法,能确是其中的自变量或因变量，能够正确写出变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测，通过表格、图像、表达式获取信息解决实际问题。本章的重点是用表格、表达式和图像表示变量之间的关系，难点是从表格、表达式和图像中分析变量之间的关系，并进行变化规律的预测。
三．对应课标
①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。
②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析(例68)。
③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。
④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义(例69)。
⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
学情分析
国际上对数学课程的研究，以及数学课程开展的趋势说明，儿童早期对函数的丰富经历是十分重要的，因此对变量的学习、对变化规律的探索和描述应从低年级开场.当然鉴于学生的认知水平和数学准备，这种对变量和变量之间关系的研究应该是从一种非形式化的研究开场，即引导学生注意周围的变化的事物、分析变量之间的关系，初步地对变量之间的关系进展描述和用数学的方法进展表示、初步地体验数学模型的思想.
五．主题单元学习目标
知识目标：
1.经历探索具体情景中两个变量之间关系的过程，探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
2.在具体情景中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
3.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
能力目标：
1.学生在探讨小车下滑时间与支撑物高度之间的关系的过程中，进一步发展符号感和抽象能力，通过观察、实验、猜想得到结论。
2.能根据具体情况，用表达式表示某些变量之间的关系
3.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；
情感目标：
1.能根据表达式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系
2.通过联系生活实际的学习， 学生体会到变量之间的关系， 体验数学活动充满着探索性和创造性。
六．教法分析
1.设置问题情景展现问题的知识的发生发展过程.
2.针对教材特点，将观察、操作等实践活动以及实践活动的思考与交流贯穿于教学过程的始终。
3.认真备课，把握好重、难点，有针对性的讲解与练习。
七．学法分析
1.尽量从实际问题引入，选择实际问题帮助学生理解变量之间的关系。
2.注重学生的活动，特别是小组合作的活动。
3.努力挖掘学生生活中的素材，有关数据要真实可靠。
4.强调学生观察、操作、探索和交流，满足学生个性化的学习要求
5.教会学生分析题目。拓展学生的思维。
八．思维导图
九．主题单元问题设计
1.变量之间的关系有哪些表示方法？、
2.变量之间的关系表示方法各有什么特点？
十．专题划分
专题一 用表格表示变量之间的关系（课内1课时）
专题二 用表达式表示变量之间的关系（课内1课时）
专题三 用图像表示变量之间的关系（课内3课时）
十一．专题一 活动设计
教学课题 用表格表示变量之间的关系 授课班级
教学用时 1课时 授课时间
教学目标 知识目标： 经历探索具体情景中两个变量之间关系的过程，探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。 在具体情景中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。 能力目标： 学生在探讨小车下滑时间与支撑物高度之间的关系的过程中，进一步发展符号感和抽象能力，通过观察、实验、猜想得到结论。 情感目标： 通过联系生活实际的学习，学生体会到变量之间的关系，体验数学活动充满着探索性和创造性。
教学重点与难点 教学重点：1.理解变量之间的关系。 2.找问题中的自变量和因变量。 教学难点：寻找自变量和因变量之间的对应关系。
突破措施 教师出示自学提纲，学生根据自学提纲自主讨论学习，对于不理解的问题，教师给予适当的点拨。
教学方法 讲练结合 学习方法 自主探索，小组交流
教学用具 多媒体 课堂类型 新授课
教 学 过 程 二次备课
教 师 活 动 学 生 活 动
一、创设情境 生活实例：今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了.在这一过程中，谁知道，什么在发生变化？ 你能从生活中找到一些发生变化的例子吗？ 你能大概描述一下是怎样变化的吗？ 一天的气温在发生变化.一般情况下，早晨3时，温度最低；然后温度就渐渐地升高；到了下午2或3时温度升到最高；最后温度就逐渐的下降. 我们就生活在这样一个变化的世界中.从今天开始，我们就从数学的角度研究这些变化的过程，将有助于我们更好地认识我们这个世界. 这节课我们就来研究变量之间的关系中的用表格来表示 二、探索新知 支撑物高度/厘米102030405060708090100小车下滑时间/秒4.233.002.452.131.891.711.591.501.411.35
下面是王波学习小组得到的数据： 根据上表来试着回答下列问题串：（出示投影片） （1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？ （2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t变化趋势如何？ （3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？ （4）估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？ 读表可知：当支撑物高度为70厘米时，小车下滑的时间是1.59秒. 从表中可以看出：第一行是支撑物高度h的值，从左往右逐渐增大；第二行是小车下滑的时间t的值，从左往右逐渐减小.由此可知，支撑物h越高，小车下滑时间t越短. ［师］从表格中我们得出上述结论，根据我们做的实验和经验，谁来解释为什么会有支撑物h越高，小车下滑时间t越短呢？这儿我给大家提供演示课件. 图6－1 从演示课件不难发现：小车是从同一块木板上滑下的，也就是说，小车滑行的长度就是木板的长度.当木板支撑得越高，它形成的坡度越陡，下滑的速度越快，所用的时间自然就会随着坡度的升高而逐渐减小. ［师］很好.我们接着来分析表格中的数量关系.通过观察和计算，h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？ 不相同.当支撑物高度从10厘米变化到20厘米，小车下滑的时间缩短了4.23－3.00=1.23秒；当支撑物高度从20厘米变化到30厘米时，小车下滑的时间缩短了3.00－2.45=0.55秒；……当支撑的高度从90厘米变化到100厘米时，小车下滑的时间缩短了1.41－1.35=0.06秒. ［师］看第（4）个问题，根据（3）你能估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是如何估计的. 由（3）可知，h从10厘米开始增加时，所用的时间t变化较快；当h从60厘米开始增加时，每增加10厘米，所用时间t每次减少约0.09秒、0.09秒、0.06秒.因此当h=110厘米时，t的值可以是1.35秒到1.29秒中任意一个值. ［师］由以上问题串可知，h和t是两个变化的数量，而h的每一次变化，都会引起t的变化，下滑时间和支撑物高度之间存在着相依关系. 接下来，我们再来看生活中的一个变化关系（出示投影片） 议一议 我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）： 时间/年194919591969197919891999人口/亿5.426.728.079.7511.0712.59
（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？ （2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？ 从表格的数据可知：随着x的增加，y也增加. 从1949年起，1949~1959年，我国人口增加1.30亿；1959~1969年，我国人口增加1.35亿；1969~1979年，我国人口增加1.68亿;；1979~1989年，我国人口增加1.32亿；1989~1999年，我国人口增加1.52亿. 也可以说，从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加1.5亿左右. ［师］在前一个问题中，支撑物高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量. 在第二个问题中，我国人口总数y随时间x 的变化而变化，x是自变量，y是因变量. 而因变量随自变量的变化而变化的情况，借助于表格就可以表示出来. 生活中有哪些例子也反映了变量之间的关系？并指出哪一个是自变量？哪一个是因变量？ ［师］同学们要举的例子很多很多，说给你的同伴听听. 3.课堂小结 ［师］通过今天的学习，同学们有何收获和体会. 今天的学习，使我认识到我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度用表格表示两个变量之间的关系，并且能从表格中获得变量之间的信息，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测. ［生］在具体的情境中理解了什么是自变量、因变量，并能反映变量之间关系的例子. 4.课堂练习 研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮服的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷）03467101135202259336404471土豆产量/（吨/公顷）15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？ （3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由. （4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响. 学生自学后小组讨论交流 教育引导学生学习知识 .
板书设计： 用表格表示变量之间的关系 常量 变量 自变量 因变量
课后反思： 这堂课大部分学生达到了预期的教学目标 以后的改进： 多加注意学生思维，有延伸，有些学生对表格的分析还不到位，让学生了解到它的本质，让学生有法可依先整体再局部。 1.学生的实际参与情况基本参与到了学习活动中来 2.知识的落实情况基本知识落实还可以，但是个别同学掌握不好
教学课题 用表达式表示变量之间的关系 授课班级
教学用时 1课时 授课时间
教学目标 知识目标：经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。 能力目标：能根据具体情况，用表达式表示某些变量之间的关系。 情感目标：能根据表达式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系
教学重点与难点 重点：学会用表达式整理试验得出的数据获得变量之间关系的信息 难点：能用表达式刻画简单实际问题中变量之间的关系。
突破措施 教师出示自学提纲，学生根据自学提纲自主讨论学习，对于不理解的问题，教师给予适当的点拨。
教学方法 引思探究，讲练结合 学习方法 合作探究
教学用具 多媒体、白板、三角板 课堂类型 新授课
教 学 过 程 二次备课
教 师 活 动 学 生 活 动
尝试导入、引定目标： 在用表格表示变量之间的关系中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。这节课我们尝试用另一种方法表示变量之间的关系（引入新课，认定目标） 新授 三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？ 1、操作多媒体，演示“三角形面积的变化” 2、问题探究：(1) 问题：决定一个三角形面积的因素有哪些？ (2) 课件演示：（高一定）变化中的三角形（如图4-1） 三、尝试探究、引导解惑 如果△ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？(1)这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果三角形的底边长x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米2）可以表示为 ________________。 （3) 当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_____平方厘米变化到_____平方厘米. 学生活动：(1)同学们能根据要求填写下列的表格吗？根据三角形的底边长为 x（厘米），和三角形的面积 y（厘米2）的关系式填表： X(cm)…10987654…Y(cm2)… …
(2)通过填表、探究，同学们能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？ 四、尝试自结、引导拓展 1、谈本节的收获和体会 2、主要探索了图形中的变量关系。能用表达式表示变量之间的关系。能根据表达式求值。 五、作业布置 1、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用来表示，根据这个关系式，当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果。 2、仿照“议一议”中的（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？ 学生记忆掌握，然后互相检查 学生自己动脑思考解答 学生自己操作 、讨论 学生思考，小组讨论再发言
板书设计： 用表达式表示变量之间的关系
课后反思： 新的数学课程理念认为：数学活动是学生探索、掌握、应用数学知识的过程。本节课遵循这种理念，在教师引导下，让学生在实际问题中发现问题，从数学角度去观察、思考、解决问题。学生基本上能准确地找到自变量和因变量，但是对于自变量由一个值变化到另一个值时，找随之而变化的因变量的值，有部分学生感到难以理解。
教学课题 用图象表示的变量间关系 授课班级 初一一班
教学用时 1课时 授课时间
教学目标 知识目标: 能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解； 能力目标：能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示； 情感价值：进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。
教学重点与难点 教学重点: 从图象上了解变量的变化情况。 教学难点: 利用图象解决实际问题。
突破措施 强化练习，从丰富的生活情景中经历概念，性质产生的过程，体会数学与现实生活的密切联系
教学方法 引思探究，合作交流 学习方法 合作探究
教学用具 多媒体、白板、三角板 课堂类型 新授课
教 学 过 程 二次备课
教 师 活 动 学 生 活 动
回顾思考 学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。 1.列表法 下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化： 降价（元）5101520253030日销量（件）7187878458959379731000
在这个表中反映了　　个变量之间的关系，　　是自变量，　　是因变量。 2.关系式法 某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是　　，因变量是　　，ｑ与t的关系式是　　。 3.图象法 下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。 （1）大约什么时刻港口的水最深？约是多少？ （2）A点表示什么？ （3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？ 二、讲授新课 例 汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。 （1）汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它最高时速是多少？ （2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ （3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？ （4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。 各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义（选2—3个小组代表讲解） 三、合作学习 1．柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？ 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间,汽车到达下一个车站。乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？(横轴表示时间,纵轴表示速度) 四、课堂小结 1.今天你有哪些收获？ 2.总结： 1．通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深了对图象表示的理解。 2．不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。 五、布置作业 1．一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）； 2．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）； 3．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）； 4．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系） 学生小组讨论， 学生自学如何发现变量之间关系 学生做练习 学生讨论，回答问题
板书设计：用表格表示变量之间的关系
课后反思：
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