【大单元教学】鲁教版2023年七年级大单元 代数部分 教学设计

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七年级下册代数部分大单元教学研训
数与代数是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界。
初中阶段数与代数领域包含“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题。在六年级及七年级上册的学习中，学生已经掌握了实数及它们的四则运算、代数式、一元一次方程、一次函数等内容。七年级下册代数部分包括二元一次方程组（第七章）和一元一次不等式与一元一次不等式组（第十一章）。
第一部分 二元一次方程组
一、《课标》要求：
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程、函数进行表述的方法，体会模型的思想，建立符号意识.
2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
3.能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
4.掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组和简单的三元一次方程组.
5.体会一次函数与二元一次方程（组）的关系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
二、学情分析
在六年级及七年级上册，学生已经学习了一元一次方程和一次函数的相关知识，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础，因此，本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识.
二、教材分析
本章共5节。第1节二元一次方程：通过丰富的实例，建立二元一次方程和二元一次方程组，观察归纳出有关概念，并从中体会方程的模型思想；第2节解二元一次方程组：通过具体实例总结出二元一次方程组的两种基本方法：代入消元法和加减消元法；第3节二元一次方程组的应用：再次根据问题情境，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练。使学生在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养列方程解决现实问题的意识和能力，在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能；第4节二元一次方程与一次函数，通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“图形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组，并通过待定系数法，利用二元一次方程组确定一次函数的表达式；第5节三元一次方程组的基本解法为选学内容，是对解二元一次方程组的拓展提升。
三、教学目标
1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想，发展学生灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养学生良好的数学应用意识.
2.了解二元一次方程(组)的有关概念，会解简单的二元一次方程组(数字系数)；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.
3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系，会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想.
三、教学重难点
1.理解“消元”思想，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；
2、能利用二元一次方程组解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；
3、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解。
4、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
四、知识盘点
（一）定义
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程.
注意：判断一个方程是否是二元一次方程，有时需先将方程变形，将其转化为ax+by=c（其中a,b,c是常数，且a≠0,b≠0)的形式再判断.
2、二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一 次方程所组成的一组方程.
注意：整个方程组中共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数.
3、二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值.
4、二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解.
注意：一般情况下，二元一次方程的解有无数组，二元一次方程组的解只有一组.
验证：将一组数值分别代入方程的两边，看两边的值是否相等，若相等，则这组数值是方程组的解，否则不是。
（二）代入消元法
1、定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从消元而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法。
2、步骤：一变、 二代、 三求、四回代 、五再求、六写解
（三）加减消元法
1、定义：通过将两个方程相加(诚)消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.。
2、步骤：观察系数定方法、加减转化为一元 、解出相应未知数、代入求解另一未知数、写出方程组的解
（四）二元一次方程组的应用
1、列二元一次方程组解应用题的步骤
题型归纳
题型 等量关系
鸡兔同笼 (1)鸡的只数+兔的只数=头数；
(2)鸡的只数×2+兔的只数×4=脚的只数.
和差倍分 (1)两数和=较大的数+较小的数；
(2)较大的数=较小的数×倍数±多(或少)的数
配套问题 如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即甲产品数/a=乙产品数/b
销售问题 (1)销售额=售价×销量(2)利润率=利润/进价
(3)总利润=总销售额-总成本=（售价-进价)×销量（4）打折后的价格=原价×折数×1/10
行船问题 顺流速度=静水速度+水流速度；
逆流速度=静水速度-水流速度；
顺流路程=顺流速度×顺流时间；
逆流路程=逆流速度×逆流时间.
相遇问题 速度 时间 路程
甲 x t xt
乙 y t yt
等量关系 路程之和等于总路程：s=xt+yt
追及问题 速度 时间 路程
甲 x t xt
乙 y t yt
等量关系 路程之差等于相距的路程：s=|xt-yt|
上下坡问题
数字问题 (1）求解数字问题时一般采用间接设元法，即通常设组成这个多位数的各个数位上的数字.
(2)一个三位数,百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c，则这个三位数可表示为100a+10b+c.
(3）设x是一个两位数,y是一个三位数，若将x放在y的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为1000x+y.
（五）二元一次方程与一次函数的关系
（1）二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)是一一对应关系，即每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，反之亦然。
（2）二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)图象上点的坐标是一一对应的。
（3）一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
（六）二元一次方程与一次函数的关系
(1)一般地，从图象的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。
(2)如果二元一次方程组无解，那么对应的两个一次函数的图象平行(无交点)；如果二元一次方程组有一组解，那么对应的两个一次函数的图象相交（有一个交点）；如果二元一次方程组有无数个解，那么对应的两个一次函数的图象重合(有无数个交点).
（七）待定系数法
（1）设出函数表达式为y=kx+b；
（2）把已知条件代入，得到关于k，b的方程组
（3）解方程组，求出k，b的值；
（4）将k，b的值代入并写出函数表达式.
五、考点精析
例1 ：已知方程 是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.
解析：由题意，得n-1＝1，且m-3≠0，m2-8＝1，
解得n＝2，m＝-3.
易错分析：解答此题时，容易只注意x，y的次数为1，而忽略了x的系数不为零，从而导致错误.
例2：用代入法解二元一次方程组
解：由①得y＝2x＋11，③
把③代入②，得4x＋3（2x＋11）＝3，解得x＝-3，
把x＝-3代入③，得y＝5，
∴原方程组的解为
例3：用加减法解二元一次方程组
解：化简整理得：
由①-②得:y=7,
把y=7代入①得 x=5.
由此可得二元一次方程组的解为
【归纳拓展】
①代入消元法是将其中的一个方程写成“y=”或“x=”的形式，并把它代入另一个方程，得到一个关于x或y的一元一次方程求得x或y值.
②加减消元法是通过两个方程两边相加（或相减）消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.
例4：若 和的和是单项式，则a+b=（ ）。
解：根据题意得：
由①+②得3a=9
a=3
把a=3代入①得：b=0
所以a+b=3
例5 ：已知关于x，y的方程组 和
有相同解，求(-a)b的值 .
解：因为两组方程组有相同的解，所以可得方程组
和（2）解方程组（1）得（3）
把（3）代入方程组（2）得：解得
所以（-a）b＝（-2）3＝-8.
点拨:
因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组重组，将不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值.
例6 ：A、B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为 y km/h，根据题意得：
解得
所以这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h.
点拨：
解本题的关键是找到顺水速度、逆水速度和船在静水中的速度、水流速度之间的关系，再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组.
例7： 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象相交于点（2，-1），则关于x、y的方程组的解是
例8： 如图所示，已知点A（6，0）、点B（0，2）.
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）若C为直线AB上一动点，当△OBC的面积为3时，试求点C的坐标.
解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），
根据题意，得解得
∴直线AB所对应的函数表达式为
（2）∵B（0，2），∴OB＝2.
又∵△OBC的面积为3，
∴△OBC中OB边上的高为3
∴点C的横坐标为-3或3.
当x=-3时，y =3 ;当x=3时， y =1
∴点c的坐标为（-3，3）或（3，1）。
例9：解方程组
中考链接：（2021年泰安中考14题）
《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而 钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱， 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也为 50。问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列方程组为 。
第二部分
一元一次不等式与一元一次不等式组
一、《课标》要求：
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解不等式；掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用不等式进行表述的方法.
2.通过用不等式表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识.
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.
4.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.
5.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
二、学情分析：
学生在学习本章之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数，开始研究简单的不等关系。通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的，面对大量的同类量，最容易想到的就是它们有大小之分。并且学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的“数学化”过程，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，以此为基础展开不等式的学习，顺理成章.
教材分析
本章共6节。第1节不等关系：用实例引入，使学生在归纳的过程中认识不等式模型，体会到生活中的不等关系大量存在，并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节不等式的基本性质：类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，让学生经历类比猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程，探索不等式的三条基本性质，使学生能够将不等式进行简单转化.第3节不等式的解集：用实例引入，在建立不等式之后研究其解集及数轴表示，让学生结合实际意义来理解不等式的解集，并引导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节一元一次不等式：经历认识一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式，以及应用一元一次不等式的过程，逐步积累数学活动经验.第5节一元一次不等式与一次函数：研究一元一次不等式与一次函数的联系，发展学生对数学的综合认识，建立数学学科内部知识之间的联系，完善学生的认知结构，并运用这种联系解决一些简单的实际问题，发展学生的应用意识.第6节一元一次不等式组：将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题，再借助数轴确定其解集。
四、教学目标
1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型思想，建立符号意识.
2.结合具体问题，了解不等式的意义.
3.探索并掌握不等式的基本性质.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会用数轴确定其解集.
5.通过用数轴表示不等式(组）的解的过程，发展几何直观.
6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理，发展应用意识.
7.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.
8.进一步感受数学和生活的联系，体会数学的价值.
五、教学重难点
1、掌握不等式的基本性质，能熟练的运用不等式的基本性质进行不等式的变形；
2、能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
3、会用不等式和数轴两种方法确定不等式的解集；
4、会利用数轴求一元一次不等式组的解集；
5、能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的问题。
六、知识盘点
（一）不等式
定义：用不等号(＞，＜，≥，≤）连接而成的式子叫作不等式.
注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给的式子是否含有不等号，与不等式是否成立无关。
列不等式的意义：列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系.
列不等式的步骤：1、分析题意，找出题中的各种量；2、弄清各种量之间的不等关系；3、用代数式表示各种量；4、用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来.
基本语言与符号表示
1、若x是正数,则x＞0 2、若x是负数,则x＜0.
3、若x是非负数，则x≥0 4、若x是非正数，则x≤0
5、若x大于y，则x＞y 6、若x小于y，则x＜y.
7、若x不大于y，则x≤y 8、若x不小于y，则x≥y.
9、若x,y同号，则xy＞0,(或x/y＞0）
（二）不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变.用字母表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c；如果a＜b，那么a±c＜b±c.
基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.用字母表示：如果a＞b,c＞0，那么ac＞bc 或（ ）如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc 或（ )
基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.用字母表示：如果a＞b,c＜0，那么ac＜bc 或（）如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc 或（ )
其他性质：（1）对称性：若a＞b，则b＜a.
（2）传递性：若a＞b，且b＞c，则a＞c.
（3）相加法则：若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d.
（4）相减法则：若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d.
（5）相乘法则，若a＞b＞0.c＞d＞0，则ac＞bd.
（三）不等式组的解集
1、概念：解——能使不等式成立的未知数的值，称为这个不等式的解.
解集——把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
解不等式——求不等式的解集的过程叫作解不等式.
不等式的解集在数轴上的表示：
不等式组的解集在数轴上的表示：
一元一次不等式的解法
变形名称 具体做法 依据
去分母 不等式两边都乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2、3
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律、去括号法则
移项 把含未知数的项都移到不等号的左边，常数项都移到不等号右边 不等式的基本性质1
合并同类项 同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 合并同类项法则
系数化为1 在不等式的两边都除以未知数的系数（或乘以未知数系数的倒数），将不等式化为“x＜a（x≤a）”或“x＞a（x≥a）” 不等式的基本性质2、3
一元一次不等式与一次函数
(1)不等式kx+b>0(k≠0)的解集 直线y=kx+b(k≠0)在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
(2)不等式kx+b<0(k≠0)的解集 直线y=kx+b(k≠0)在x轴下方的部分所对应的x的取值范围.
(3)不等式kx+b>a(k≠0)的解集 直线y=kx+b(k≠0)在直线y=a上方的部分所对应的x的取值范围.
(4)不等式kx+b(5)不等式k1x+b1＞k2x+b2(k1k2≠0)的解集 直线y=k1x+b1(k1≠0)在直线y=k2x+b2(k2≠0)上方的部分所对应的x的取值范围.
(6)不等式k1x+b1＜k2x+b2(k1k2≠0)的解集 直线y=k1x+b1(k1≠0)在直线y=k2x+b2(k2≠0)下方的部分所对应的x的取值范围.
6、一元一次不等式组的应用
（1)审：分析题目中的已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系.
（2）设：设出合适的未知数.
（3）列：根据题中的不等关系，列出一元一次不等式组
（4）解：解不等式组，可以借助数轴，也可以用口诀.
（5）验：检验所求出的不等式组的解集是否符合题意及实际意义.
（6）答：写出答语，
注意：与列方程(组)解决实际问题一样，列一元一次不等式组时，单位要统一.
七、考点精析
例1 根据不等式的基本性质将3-2（x-1）＜1化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
解析 去括号，得3-2x＋2＜1，
合并同类项，得5-2x＜1，
根据不等式的基本性质1，两边都减去5，得-2x＜-4，
根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得x＞2.
例4 解不等式 ，并把此不等式的解集表示在如图所示的数轴上.
解：去分母，得3（x-1）＋6≥2（2x＋1），
去括号，得3x-3＋6≥4x＋2，
移项、合并同类项，得-x≥-1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示不等式的解集，如图所示:
点拨 解一元一次不等式的一般步骤:1.去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1.它与解一元一次方程的步骤一样，只是解不等式时，将不等式两边都乘（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向.
例5 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＞3，求满足条件的m的取值范围.
解：
①-②，得x＋y＝3m-6，
∵x＋y＞3，∴3m-6＞3∴m＞3.
点拨 方程组的两个方程相减表示出x＋y，代入已知不等式即可求出m的取值范围.
例8 随着网络电商与快递行业的飞速发展，越来越多的人选择网络购物.“双十一”期间，某网店为了促销，推出了普通会员与VIP会员两种销售方式，普通会员的收费方式:若所购商品的金额不超过300元，则客户还需支付快递费30元；若所购商品的金额超过300元，则所购商品给予9折优惠，并免除30元的快递费.VIP会员的收费方式:缴纳VIP会员费50元，所购商品给予8折优惠，并免除30元的快递费.
（1）请分别写出按普通会员、VIP会员购买商品应付的金额y（元）与所购商品x（元）之间的函数关系式；
（2）某网民是该网店的VIP会员，计划“双十一”期间在该网店购买x（x＞300）元的商品，则他应该选择哪种购买方式比较合算？
解：（1）普通会员购买商品应付的金额y（元）与所购商品x（元）之间的函数关系式:
当0＜x≤300时，y＝x＋30；当x＞300时，y＝0.9x.
VIP会员购买商品应付的金额y（元）与所购商品x（元）之间的函数关系式为y＝0.8x＋50.
（2）当0.9x＜0.8x＋50时，解得x＜500；
当0.9x＝0.8x＋50时，x＝500；
当0.9x＞0.8x＋50时，x＞500，
∴当购买商品x满足300＜x＜500时，按普通会员购买合算；
当购买商品x满足x＞500时，按VIP会员购买合算；
当购买商品x满足x＝500时，两种方式购买一样合算.
中考链接
（2022年泰安中考19题）
（2021年泰安中考19题）
（2020年泰安中考19题）
3(x-1)=4(y-4)
5(y-1)=3(x+5)
3x-4y=-13 ①
3x-5y=-20 ②
X=5
Y=7
2a+b=6 ①
a-b=3 ②




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