【大单元教学】鲁教版2023年九年级大单元教学 第三章二次函数 课件（64张PPT）

(共64张PPT)
第三章　二次函数
1.教材分析
2.课程标准
3.教学目标
4.学情分析
5.重难点解析
7.教学建议
8.单元教学设计
9.课例展示
教材分析
本章的主要内容有：二次函数的概念、二次函数的图像和性质、二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的应用。
本章是在学习了正比例函数、一次函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流等有形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章知识从现实生活出发，以喷泉喷出的水为例导出二次函数，不仅使学生充分认识到数学和现实生活的联系，体会数学从实践中来，激发学生学习数学的兴趣，积极性，求知欲。再通过实例正方体表面积的计算先认识最简单的二次函数， 然后逐渐深入到一般形式，经历这种从特殊到一般，从简单到复杂的学习过程，并且在学生原有的知识一次函数的基础上来类比学习，让学生体会知识点时间的联系。发展学生的数学思维，逐步提高分析问题，解决问题的能力，增强学好数学的信心。
课程标准
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
教学目标
知识目标：
1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
3、知道不共线的三点的坐标可以确定一个二次函数函数。
4、会用配方法将二次函数一般式化为顶点式，能由此得到二次函数的相关性质，并解决简单的实际问题。
5、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，能理解二次函数与相应一元二次方程及不等式的关系；
能力目标：
1、经历通过观察、归纳、类比、概括，获得二次函数概念和图像，利用数形结合理解二次函数的性质，培养学生的观察概括能力、类比学习的能力．
2、能将实际问题数学化，建立函数模解决简单的二次函数实际问题，用数学的眼光发现问题，提出问题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识. 能够在解决问题的过程中选择合适的方法。
学情分析
在学生所学知识的掌握程度上，整个年级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握。比如，二次函数与一次函数、反比例函数都属于函数，一元二次方程已学习，他们之间的关系。 一般而言，九年级学生的思维处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡时期，这是一个关键时期，需要由类比、归纳方法逐步向演绎方法过渡的教学方法支持。对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学生的逻辑推理思维能力，计算能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强．需要得到加强，以提升学生的整体成绩；
重难点解析
重点：1.理解二次函数的图像与性质。
2.能正确求出二次函数的解析式。
3.运用二次函数的性质解决实际问题。
难点：1.二次函数的图像与性质。
2.把实际问题转化为数学问题
在直观演示中充分体验“数形结合”，形成解题通法。
教学建议
1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程。
　 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程。
函数的概念，描点法画函数的图象，配方法等在本章中都要用到.因此，要注意复习已学过函数内容，帮助学生学好二次函数.
3.关注数形结合的研究方法
对二次函数的图象和性质的讨论运用了关于数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质.把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。
4.加强对实际问题的分析
运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之同的关系是重要的一个环节.加强对实际问题的分析，能帮助学生顺利解决实际问题。
单元教学设计
单元问题设计:
1.函数的定义是什么？二次函数的一般形式是什么？
2..如何研究函数的性质
3.求函数表达式的方法是什么
4.函数的实际应用问题
5.二次函数与一元二次方程的关系？与不等式的关系？
课时安排：（14课时）
课时内容 课时数 备注
1.二次函数的定义 1
2.如何研究函数的性质 4
3.求函数表达式 1
4.函数的实际应用问题 4
5.二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系 2
6.本章小结 2
思维导图
课例展示
　二次函数的图象和性质
课标要求
1. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
4.知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
图像
应用
概念
性质
图像
性质
图像
性质
应用
应用
知识梳理
一、二次函数的概念和图象的画法
一般式 一般地,形如①　　　　　　　　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②　　　　时, y=ax2+bx+c是二次函数
顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),函数图象的对称轴为直线③　　　　,
顶点坐标为④　　　　
图象的画法 (1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
y=ax2+bx+c
a≠0
x=h
(h,k)
二、二次函数的性质
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)
对称轴 x=⑤　　　　或x=⑥　　　　(其中x1,x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标)
顶点坐标
(1)利用顶点坐标公式⑦　　　　 　求解;
(2)用配方法把一般式转化为顶点式y=(x-h)2+k求解;
(3)将对称轴x=x0代入函数解析式求解
(续表)
三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系
a 决定抛物线的开口方向 a>0 抛物线开口⑩　　　　;
a<0 抛物线开口向下
b,a 决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴为y轴;
左同右异
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 抛物线过点(0,0);
c>0 抛物线与y轴交于正半轴;
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
向上
左侧
四、二次函数解析式的确定
用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:
已知 所设表达式 顶点+其他 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点在原点: 　　　　(a≠0)
顶点在y轴上: 　　　　(a≠0)
顶点在x轴上: 　　　　 (a≠0)
与x轴的两个交点(x1,0), (x2,0)+其他 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
(续表)
已知 所设表达式 与x轴的一个交点(x1,0) +对称轴x=h+其他 (1)y=a(x-h)2+k(a≠0),当对称轴为y轴时, 　　　　(a≠0); (2)由对称轴x=h与(x1,0)求出抛物线与x轴的另一个交点(x2,0)(x2=2h-x1),设解析式y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0) 任意三个点 y=ax2+bx+c(a≠0) 过原点: 　　　
y=ax2+k
y=ax2+bx
图形表示 示例
【温馨提示】平移前,抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)需用配方法化成y=a(x-h)2+k (a≠0)的形式.二次函数图象平移时,二次项系数不变 二次函数y=2x2+4x+3,将该函数化为顶点式为 　 　　　;
(1)其图象向左平移2个单位后的解析式为 　　 　　;
(2)其图象向右平移2个单位后的解析式为 　　　　;
五、二次函数图象的平移
y=2(x+1)2+1
y=2(x+3)2+1
y=2(x-1)2+1
图形表示 示例
【温馨提示】平移前,抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)需用配方法化成y=a(x-h)2+k (a≠0)的形式.二次函数图象平移时,二次项系数不变 (3)其图象向上平移2个单位后的解析式为 　 　　　;
(4)其图象向下平移2个单位后的解析式为 　　　
(续表)
y=2(x+1)2+3
y=2(x+1)2-1
六、二次函数与一元二次方程及不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的 　　　　坐标.
(2)判别式Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ>0 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 抛物线与x轴有 　　　个交点;
②Δ=0 方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 抛物线与x轴有 　　　　个交点;
③Δ<0 方程ax2+bx+c=0没有实数根 抛物线与x轴没有交点.
横
两
一
2.二次函数与不等式
不等式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0(a>0)
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
观察方法 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围
解集
xx2
x11.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是 (　　)
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
对点演练
题组一　必会题
B
D
3.抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得新抛物线的解析式为 (　　)
A.y=(x+2)2+3 B.y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-2)2-3
B
4.若抛物线y=(x-m)2+m+1的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (　　)
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-15.填空:
(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x<　　　　时,
y随x的增大而减小,当x>　　　　时,y随x的增大而增大;
(2)已知函数y=-2x2+x-4,当x<　　　　时,y随x的增大而增大,当x>　　　　时, y随x的增大而减小.
-1
-1
B
6.若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=　　　　.
4
[解析]二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,说明“Δ=b2-4ac=0”,即(-4)2-4×1×n=0.所以n=4.
7.如图14-1,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是　　 　　.
图14-1
x<-1或x>4
[解析]由函数图象可知,在点A的左侧和点B的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值.
∵A(-1,p),B(4,q),
∴关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是
x<-1或x>4.
9.在-2≤x≤4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
8.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,则h=　　　　,k=　　　　.
1
2
16
0
考向一　二次函数的图象与性质
精练1[2020·阜新]已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是 (　　)
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是(1,3)
C.当x<1时,y随x的增大而增大
D.图象与x轴有唯一交点
C
精练2[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则(　　)
A.y3C.y2B
A
图14-2
图14-3
精练4 已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是 (　　)
A.当a=1时,函数图象经过点(-1,0)
B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方
D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大
D
[解析]A.当a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,当x=-1时,y=1+2-1=2,
∴当a=1时,函数图象经过点(-1,2),∴A选项不符合题意;
B.当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1,
令y=-2x2+4x-1=0,则Δ=42-4×(-2)×(-1)=8>0,∴当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,∴B选项不符合题意;
C.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,
∴二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当-1-a<0时,有a>-1,∴C选项不符合题意;
D.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的对称轴为直线x=1.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,∴D选项符合题意.故选D.
精练5[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3内的取值范围,下列说法正确的是 (　　)
A.有最大值-1,有最小值-2
B.有最大值0,有最小值-1
C.有最大值7,有最小值-1
D.有最大值7,有最小值-2
D
[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2, ∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.
考向二　求二次函数的解析式
精练[2020·临沂]已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1考向三　抛物线的平移
例3[2020·绥化]将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是 (　　)
A.y=2(x-6)2
B.y=2(x-6)2+4
C.y=2x2
D.y=2x2+4
C
[解析] 原抛物线的顶点是(3,2),平移后的顶点是(0,0),因此平移后所得抛物线的解析式是y=2x2.
精练3[2020·衢州]二次函数y=x2的图象平移后经过点(2,0),则下列平移方法正确的是 (　　)
A.向左平移2个单位,向下平移2个单位
B.向左平移1个单位,向上平移2个单位
C.向右平移1个单位,向下平移1个单位
D.向右平移2个单位,向上平移1个单位
C
[解析] 由于A选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2,当x=2时,y=14,所以它不经过(2,0);B选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2,当x=2时,y=11,所以它不经过(2,0);
C选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1,当x=2时,y=0,所以它经过(2,0);
D选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1,当x=2时,y=1,它不经过(2,0),因此本题选C.
考向四　二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系
>
图14-4
例4函数y=ax2+bx+c的图象如图14-4所示,则:a　　　　0,b　　　　0,c　　　　0, a+b+c　　　　0,a-b+c　　　　0,b2-4ac　　　0.(用“>”或“<”填空)
>
<
>
<
>
精练[2020·常德]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-5所示,下列结论:
①b2-4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a-2b+c>0.
其中正确结论的个数是 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
B
图14-5
考向五　二次函数与方程、不等式的关系
例5若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为(　　)
A.x1=-3,x2=-1
B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3
D.x1=-3,x2=1
C
[解析] ∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0).
∴方程ax2-2ax +c=0的解为x1=-1, x2=3.故选C.
精练1[2015·柳州]如图14-6,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x的取值范围是(　　)
A.x<-2
B.-2C.x>0
D.x>4
图14-6
B
精练2[2014·柳州]小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图14-7,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 (　　)
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4
图14-7
[解析] ∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的坐标分别是(-1,0), (4,0), ∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D.
D
精练3[2020·安顺]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0A.-2或0 B.-4或2
C.-5或3 D.-6或4
[解析] ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,
∴当y=0时,0=ax2+bx+c的两个根为-3和1,函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1.
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.
∴方程ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个根为-5,函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0B
与抛物线对称轴有关的问题
教材母题——人教版九上P47习题T4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0), (3,0),求这条抛物线的对称轴.
【方法点析】本题的已知条件简洁,结论明了,似乎没有什么可挖掘或拓广的,其实此题目乃平中见奇,内涵丰富,不但解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还需分情况讨论.适当改变条件,可得出许多新颖的题目.
方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点坐标是(-1,0),(3,0),∴抛物线的解析式可设为y=a(x+1)·(x-3)(a≠0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0).∴抛物线的对称轴为直线x=1.
方法三:∵抛物线是关于对称轴对称的,且其对称轴与x轴垂直,
∴对称轴必过点(-1,0),(3,0)的中点.∴抛物线的对称轴为直线x=1.
图14-8
解:(1)∵点C(-1,m)和D(5,m)的纵坐标相等,
∴点C和点D为抛物线上的对称点,
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
图14-8
图14-8
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？
畅所欲言