【大单元教学】鲁教版2023年九年级大单元教学 第三章二次函数 教学设计课件（50张PPT）

二 次 函 数

单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题——单元——课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。而课堂教学中落实核心素养的四大策略，即为学生积累常见的基础模型，教学中增强题目的变式训练，教学中引导学生积极探索、发散思维，教学中注重数学抽象与建模的培养。
整
体
结
构

《二次函数》是鲁教版九年级第三章的内容，是前面学过的一次函数和反比例函数的延续，是对函数及其应用知识学习的深化和提高，也是中考考察的重点、热点和难点，同时又是高中数学学习的基础，是解决现实问题的重要模型。因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着至关重要的作用。本主题分为二次函数概念、图象与性质 ，二次函数与一元二次方程，二次函数的应用三个专题，其中二次函数的图像与性质是重点，二次函数的应用是难点，采用数形结合以及类比的学习方式，使学生感受到二次函数的应用价值，不能把本章内容的教学纯函数化，利用纯粹的函数教学方法要求和约束学生，以至于使学生深陷函数的概念和抽象的理论而不能自拔。应该让学生更多地感悟函数的实用价值，同时让学生体会函数与现实生活的密切联系，从而提高兴趣，培养能力。
主
题
单
元
学
习
目
标
知识与技能：
???? 会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。?
?
主
题
单
元
学
习
目
标
?
? 过程与方法：
通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识。? ? ? ?
主
题
单
元
学
习
目
标
?
? 情感态度与价值观：
?
感悟数学的价值，能够从问题解决的过程中获得数学活动经验，产生对数学的好奇心和求知欲，增强学习数学的兴趣，建立学习数学的自信心。能过在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具有一定的创新意识。? ?

对
应
课标

①、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
②、能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；
③、会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题；
④、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
主
题
单
元
问
题
设
计
1.二次函数的定义、图象和性质
2.二次函数的实际应用
3.平面直角坐标系中二次函数的最值问题
4.二次函数的综合运用
01
专题一
03
专题三
02
专题二
二次函数的图象和性质
二次函数的实际运用
二次函数的各类最值问题
专题划分
04
专题四
二次函数的综合运用
1
专题一
二次函数的图象和性质
（课内1课时，课外1课时）
专题学习目标
1.掌握二次函数的定义；
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为????=(?????????)????+k的形式；
3. 会利用一些特殊点画出二次函数的草图，通过图象掌握二次函数的性质；
4.掌握二次函数的系数和图象的关系
?
1
2
3
4
5
复习二次函数的定义
复习二次函数图象的画法
根据图象复习二次函数的性质
复习二次函数解析式的求法
典例精讲
6
归纳小结
专题问题设计
7
随堂检测
学 习 活 动 设 计
1、梳理知识点：
考点1：二次函数的定义
技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数
是2，且二次项的系数不为0.
学习活动设计
考点2：二次函数的图象与性质
技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶
点坐标为（?????????????,?????????????????????????????).③求对称轴，然后代入函数解析式。
(2)画抛物线y＝a????????＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶
点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．

?
学习活动设计
典例精讲：
例1若????=(????+????)??????????????????????????是二次函数，则m＝(　　)
A．7 B．－1 C．－1或7 D．以上都不对
例2 (1)用配方法把二次函数y＝????????－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
例3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（ ）A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5 D.x＜-1或x＞5
?
学习活动设计
典例精讲
例4：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（包含端点），下列结论:①3a＋b＜0；②-1≤a≤-????????；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于的方程ax2＋bx＋c＝n-1有两个不相等的实数根。其中正确结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
例5: 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ????????，求二次函数的解析式．
?
学习活动设计
归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数的概念、图象及画法及其性
质。
学习活动设计
随堂检测：
1、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有(　　)
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
2、设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=4.9t一3.5t2 (t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是 ( )
A. 0．71 s B 0．70 s　　　　 C. 0．63 s D 0．36 s
4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2．
5、二次函数????=??????????????????????的最小值是_______.
6、函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时，x=______.
7、 已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为 _______.
?
小结心得
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用。
2
专题二
二次函数的应用
（课内1课时，课外1课时）
专题学习目标
1、会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题；?
2、在运用知识解决实际问题的过程中体会二次函数的应用意义和数学转化思想；?
1
2
3
4
5
知识梳理
题型、技巧归纳
利用二次函数解决抛物线形问题
二次函数在营销问题方面的应用
6
二次函数在几何图形中的应用
专题问题设计
归纳小结
学习活动设计
1、知识梳理： ?
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．
第一课时 菱形的性质 活动1：温故知新
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
学习活动设计
2、题型、技巧归纳：
考点1利用二次函数解决抛物线形问题
技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点2二次函数在营销问题或面积方面的应用
技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润或面积的最大问题．
第一课时 菱形的性质 活动1：温故知新
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
学习活动设计
3、典例精讲：
例1 ：如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
学习活动设计

例2:某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
⑴若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
学习活动设计

例3： 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
学习活动设计
4、随堂检测：
1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
小结心得
本部分内容要求熟练掌握会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题。对于如何确定二次函数的表达式较为灵活也是学生学得不好的地方，一是在书写过程中，步骤的不规范和计算基本功欠缺影响运算的准确性。
3
专题三
二次函数的最值问题
（课内1课时，课外1课时）
专题学习目标
1、 掌握几何中的几个重要定理及二次函数的有关知识，根据问题建构数学模型，解决二次函数背景下的线段和、差、面积等最值问题。
2、通过自己的参与和教师的指导，体会及感悟化归与转化、数形结合、数学建模等数学思想方法，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。
1
2
3
4
5
线段的最大值
周长的最大值
面积的最大值
比值的最大值
“将军饮马”模型的运用
专题问题设计
学习活动设计
1、题型展示：如图，抛物线y=?????????+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.求抛物线的表达式和抛物线的顶点坐标。
模型一：线段长度的最大值
（1）点D是抛物线上直线BC上的一个动点，过点D作DM?x轴，交直线BC于点M，求DM长度的最大值和点D的坐标。

（2）点D是抛物线上直线BC上的一个动点，过点D作DH?BC，垂足为点H，求DH的最大值. ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?
学习活动设计
模型二：周长的最大值:求△DHM周长的最大值
M
学习活动设计
模型三：面积的最大值
(1)求△CDB面积的最大值
（2）求四边形ACDB面积的最大值.
学习活动设计
模型四：比值的最大值
(1)若点F在线段OC上，且OF=OA，经过点F的直线在第一象限内，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求???????????????? 的最大值.
（2）若?????????????????=????????，?????????????????=????????，求????????????????的最大值；
?
学习活动设计
模型五：“将军饮马”
问题：（1）点 P?在对称轴上，PA+PC取最小值时，求点P的坐标；
（2）点P在对称轴上，△PAC周长最小，求点P的坐标，并求出这个最小值。
学习活动设计
达标测评：（2021泰安市中考数学试题）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：????????????????是否有最大值，如有请求出有最大值时点
P的坐标，如没有请说明理由．
?
小结心得
1.线段和的最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离
2.线段长度最值问题：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围），部分面积最值问题在此基础上加以延伸。
4
专题四
二次函数的综合运用
（课内2课时，课外2课时）
专题学习目标
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全等、相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
学习活动设计
例题解析：
例1：(2020·聊城)如图，二次函数y＝a????????＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E.垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点．
(1)求出二次函数y＝a????????＋bx＋4和BC所在直线的解析式；
(2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
(3)连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，
使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，
求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
?
专题学习目标
【方法点拨】1、平行四边形存在性问题的解题方法：
已知
问题
找点
求点坐标
已知三个点
已知平面上不共线的三点A，B，C，求一点P，使得A，B，C，P四点组成平行四边形
连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所求的点P
通过平行四边形对边平行且相等的性质，利用点的平移即可求得点P的坐标
学习活动设计
【方法点拨】 2、二次函数中的相似存在性问题一般涉及分类讨论思想、方程思想、函数思想等，一般利用两组对边分别对应成比例，且夹角相等的判定定理进行讨论相似三角形的存在性问题．分类讨论，千万不要忘记对结果进行检验．
学习活动设计
例2：(2022·泰安)若二次函数y＝a????????＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N.
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
?
学习活动设计
例3:(2020·淄博)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(－2，0)，B，C三点的抛物线y＝a????????＋bx＋c (a＜0)与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是?OABC的面积的????????，求点R的坐标；
(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
?
学习活动设计
随堂检测：1、如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式； (2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h； (3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值； (4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
小结心得
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．
二次函数是初中数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初中数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要的地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础，在历届考试题中二次函数都是不可缺少的内容。
谢
谢
大
家